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出版者:

作者:Sullivan, Michael

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:

价格:144

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isbn号码:9780131356948

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 预微积分
• 高等数学
• 函数
• 三角函数
• 代数
• 解析几何
• 指数与对数
• 数列与级数
• 极限

好的，这是一份为一本名为《Precalculus》的书籍准备的、内容详实且避免提及该书名的图书简介。这份简介侧重于介绍代数和三角函数基础知识的衔接与深化，为高等数学学习打下坚实基础。 书名： 《高等数学预备：代数与函数系统进阶》 简介： 本书旨在为即将踏入微积分及更高级别数学领域的学生提供一个全面、深入且实用的知识桥梁。我们深知，从传统的代数与几何课程到微积分的抽象思维之间存在一道鸿沟。本书的核心目标便是系统性地填平这一鸿沟，通过对核心数学概念的细致剖析和大量实际问题的演练，确保读者在进入大学数学殿堂时，能够自信地应对复杂概念的挑战。 全书内容围绕两大主线展开：函数与代数结构的精深探索，以及三角学原理的构建与应用。我们摒弃了传统教材中将知识点机械堆砌的做法，转而采用一种基于概念理解和应用驱动的学习路径。 第一部分：代数基础的巩固与提升 我们从代数表达式的深入分析开始，但这远非简单的加减乘除。本部分重点强化了对多项式和有理函数的精细操作和行为预测。 1. 表达式的结构与变换： 我们详细探讨了多项式的根、因子定理的实际应用，并引入了代数分式（有理函数）的简化、加减乘除，以及最关键的——长除法和综合除法的熟练应用。理解如何通过除法将复杂有理函数分解为易于分析的形式（如斜渐近线和垂直渐近线的确定），是后续进行极限分析的基石。我们不仅展示了如何计算，更强调了“为什么”这样操作能揭示函数在特定区域的行为。 2. 方程与不等式的求解深度： 超越了基础的线性或二次方程，本书将重点放在了高次多项式方程的求解策略上。我们引入了有理根定理、笛卡尔符号法则等工具，指导学生系统性地寻找实数根和复数根。在不等式方面，我们强调了使用区间分析法来解决涉及绝对值和多项式不等式，确保读者能够准确判断解集。 3. 指数与对数系统的全面解析： 指数和对数不仅仅是计算工具，它们是描述自然界中增长与衰减现象的语言。本书对指数函数和对数函数的性质进行了详尽的梳理，特别是自然对数 $e$ 的引入和自然对数函数 $ln(x)$ 的重要性。我们通过大量实际场景（如复利计算、放射性衰减）来讲解如何将实际问题转化为对数方程，并熟练运用换底公式等技巧进行求解。 第二部分：函数概念的系统化与拓展 函数是贯穿高等数学的中心思想。本部分将函数的概念提升到更抽象和实用的层次。 1. 函数的深入剖析： 我们细致考察了函数的定义域、值域、奇偶性、周期性等核心属性。如何通过图形变换（平移、拉伸、反射）来预测新函数的图像，是本章的实践重点。更重要的是，我们引入了函数的复合与反函数的严格定义。反函数的存在性条件、如何代数地求解反函数，以及反函数在数学建模中的角色，都得到了充分的阐述。 2. 特殊函数家族的研习： 本书专门辟出章节探讨了几种在后续课程中频繁出现的函数类型：幂函数、绝对值函数以及分段函数。理解分段函数的连续性和图形的“断点”，是为学习导数中的不连续点做铺垫。 3. 序列、级数与数列极限的初探： 虽然严格的极限理论属于微积分范畴，但本书适当地引入了等差数列和等比数列的求和公式，并对无限级数收敛的基本概念进行了直观介绍。这有助于学生提前建立“无穷求和”的初步概念框架。 第三部分：三角学的几何与解析统一 三角学是连接平面几何与分析数学的另一关键桥梁。本书致力于打破学生对三角函数仅停留在“直角三角形边长比例”的狭隘认知。 1. 角度测量与单位圆： 我们从弧度制（Radiant Measure）的定义出发，强调其在微积分中的优越性。单位圆被确立为理解所有三角函数的基础模型。通过在单位圆上考察 $x$ 坐标与 $y$ 坐标，学生将直观理解正弦、余弦、正切等函数的周期性和对称性。 2. 三角函数的图像与性质： 详细分析了正弦、余弦、正切及其互反函数的图像特征，特别是它们的振幅、周期、相位移和垂直平移如何通过函数表达式的参数来控制。掌握如何从实际振动或周期现象中提取并构建相应的三角函数模型，是本章的实践目标。 3. 三角恒等式的构建与应用： 恒等式是三角代数的核心。本书系统地推导和应用了毕达哥拉斯恒等式、和角与差角公式、倍角公式及半角公式。关键在于教会学生如何识别何时需要应用这些公式，以及如何利用它们进行复杂的三角方程求解和代数表达式的简化。例如，如何使用降幂公式为后续的积分做准备。 4. 三角函数的反函数与应用： 对反正弦、反余弦和反正切函数进行了严格定义，明确了它们的主值域。通过实际几何问题，如定位、导航或工程中的角度测量，来巩固对这些反函数的理解和计算能力。 总结与展望 本书的最终目的是培养学生的数学建模思维和问题解决能力。每一个新的工具和公式都附带着大量的应用实例，这些实例横跨物理、工程、经济等多个领域。通过对函数、代数和三角学的深度整合，我们相信读者不仅能熟练掌握计算技巧，更能深刻理解这些数学语言背后的逻辑结构，为迎接微积分中的极限、导数和积分挑战做好最充分的准备。本书的每一页都致力于成为您通往更高阶数学学习旅程中最坚实可靠的垫脚石。

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不得不说，这本书的习题设计是其最大的亮点之一，它真正做到了“由浅入深，层层递进”。很多教材的习题要么过于简单，做完感觉和没做一样，要么就是一下子跳到那些让普通学生望而却步的难题。但这本《Precalculus》的习题分级做得极其到位。基础巩固的部分，主要是对新知识点进行机械性的、重复性的练习，确保你对基本运算的熟练度。紧接着，它会设置一些“概念应用”的题目，这些题目不再是单纯的代数运算，而是要求你结合实际情境去理解数学模型的意义，这才是真正考察你是否理解了知识的精髓。我最喜欢的是它在每个章节末尾设置的“挑战思维”部分，这些题目往往需要你综合运用好几个章节的知识点才能解决，解出来的那一刻成就感爆棚。而且，这本书的答案解析部分也做得非常详尽，不是简单地给出一个最终答案，而是把关键的推理步骤和思路也清晰地呈现出来，这对于我这种习惯于“对答案”来检验学习效果的人来说，简直是福音。

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作为一本自学教材，这本书的阅读体验至关重要，而《Precalculus》在这方面做得相当出色，它的语言风格非常像一位经验丰富、和蔼可亲的导师在耳边细细讲解。它避免了那种冰冷的、纯粹的学术语言，而是用一种鼓励和引导的语气来组织段落。我特别喜欢作者在引入一些比较枯燥的代数推导时，会穿插一些历史背景或者数学家的小故事，这极大地缓解了阅读过程中的枯燥感，让我仿佛在听一场引人入胜的数学讲座，而不是在硬啃教科书。而且，书中的“重点提示”和“常见错误警示”标注得非常醒目，这些地方无疑是作者用自身教学经验凝练出来的精华，帮我提前避开了许多容易犯的低级错误。对于希望完全依靠自己的力量掌握这门课程的读者来说，这本书的陪伴感和指导性是无价的。

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这本书的封面设计得相当有格调，那种深邃的蓝色背景配上简洁的白色字体，一下子就给人一种专业又不失优雅的感觉。我拿到手的时候就忍不住翻了几页，感觉内容排版非常舒服，不像有些教材那样密密麻麻的文字堆砌，图表和例题的穿插布局很合理，视觉上一点也不累。初次接触这门学科，很多概念对我来说都是全新的，但这本书似乎深知读者的困境，它没有一上来就抛出复杂的公式，而是用非常贴近生活的例子来引入每一个新概念。比如讲到函数的时候，作者居然用我们日常点餐的流程来比喻输入和输出，一下子就抓住了我的注意力。我特别欣赏它在基础概念上的耐心讲解，那种“手把手”的引导，让我这个数学基础不太牢固的人也能跟上节奏，不至于在开始阶段就产生畏难情绪。当然，真正的挑战还在后面，但至少这本书为我搭建了一个坚实的桥梁，让我有信心迈出第一步，去探索那些看似高不可攀的数学世界。

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这本书的作者显然对高等数学的预备知识有着深刻的理解，他们非常清楚哪些地方是未来微积分学习的“陷阱”。我发现他们在讲解三角函数和复杂数的处理上花费了极大的篇幅，而且角度非常刁钻，完全是从更高层次的角度去审视这些基础知识。例如，他们对单位圆的讲解，不仅仅停留在角度与坐标的对应关系上，而是引入了复平面上的旋转概念，这让我茅塞顿开，明白了三角函数的本质其实是复数的指数形式在坐标系中的投影。这种前瞻性的教学设计，让我感觉自己学的不仅仅是“高中数学的收尾”，而是在为接下来的大学数学课程打下真正坚实的基础。每次学完一个章节，我都能感觉到自己的数学思维被拓宽了一点，不再只是死记硬背公式，而是开始尝试用更抽象、更本质的方式去看待这些数学工具。

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我对这本书的整体结构布局非常满意，它体现了一种非常清晰的逻辑层次感。全书仿佛被精心编织成一张网，每一个章节既可以独立成章进行深入学习，又巧妙地与其他章节存在着千丝万缕的联系。例如，函数和图形的描绘贯穿始终，从一开始的简单线性函数，逐步过渡到指数、对数，再到后期的多项式和有理函数，这种递进关系设计得天衣无缝。更棒的是，书中包含了大量的“回顾与联系”的小节，这些小节会专门用来总结前面所学知识点如何在本章中得到新的应用，或者回顾上一个单元的知识点如何为本单元做铺垫。这种反复回顾和强化联系的机制，有效地对抗了我们大脑中知识点“学完就忘”的自然倾向。阅读完这本书后，我感觉自己对整个高中数学体系的脉络有了前所未有的清晰认知，不再是零散的知识点堆砌，而是一个结构完整的知识体系在我脑海中构建起来。

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