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出版者:Jones & Bartlett Pub

作者:Saul Stahl

出品人:

页数:280

译者:

出版时间:2006-05-11

价格:USD 48.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780763734015

丛书系列:

图书标签:

数学
高等数学
现代数学
数学分析
抽象代数
拓扑学
数论
离散数学
集合论
数学基础

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具体描述

Understanding Modern Mathematics is an exceptional collection of topics meant to better acquaint students with mathematics through an exposure to its applications and an analysis of its culture. The text provides an in-depth focus on such key topics as probability, statistics, voting systems, game theory, and linear programming. Two additional chapters on geometry and symmetry can be found on the text's web site, providing students the opportunity to see the 3-dimensional geometric figures in full color. The text provides students with an understanding of how these important mathematical topics are relevant in their everyday lives while emphasizing the history of mathematics . Understanding Modern Mathematics is the perfect complement to any Liberal Arts Mathematics course.

《穿越时空的几何：从欧几里得到黎曼的数学之旅》内容简介本书旨在带领读者进行一次跨越千年的数学思想漫游，聚焦于几何学这一人类理性思维的基石是如何在历史长河中演变、拓展和深化的。我们不会探讨现代数学的集合论基础或数理逻辑的前沿，而是将目光投向那些奠定现代科学的伟大几何理论的诞生与发展。第一部分：根基的构建——古希腊的完美与和谐本部分将深入剖析古希腊数学家如何将几何学提升为一种演绎推理的典范。我们从欧几里得的《几何原本》开始，详细阐述五大公设体系如何构建起一个逻辑自洽的平面与立体世界。我们将着重分析“公理化方法”在人类思想史上的里程碑意义，及其对整个西方科学精神的影响。阅读者将理解，欧氏几何并非仅仅是关于三角形和圆的知识集合，而是一种严谨证明的艺术。随后，我们将考察阿基米德的工作。他的方法，尤其是在计算面积和体积上的“穷竭法”，预示了积分学的雏形。我们将详细解析他如何运用这种方法来精确逼近圆周率和抛物线弓形的面积，并讨论这种接近极限的思想在当时所面临的哲学挑战。这种对“无限”的初步处理，是数学发展中一个至关重要的过渡点。第二部分：解析的革命——笛卡尔与牛顿的融合进入十七世纪，数学迎来了最深刻的变革之一：代数与几何的结合。本部分将聚焦于笛卡尔和费马对解析几何的开创性贡献。我们将细致讲解坐标系的建立如何将几何图形转化为可操作的代数方程，从而使得研究曲线的性质成为可能。曲线的“代数化”极大地拓宽了数学家的视野，使得研究对象不再局限于尺规可作的图形。紧接着，我们将探讨牛顿和莱布尼茨创立的微积分学。虽然微积分的严格基础在后世才得以完善，但其在解决运动、变化率和积累问题上的威力是革命性的。我们不会深究变分法或微分方程的复杂应用，而是着重于导数和定积分的几何意义——切线斜率与曲线下面积——如何将静态的几何世界与动态的物理现实紧密联系起来。这一部分的重点在于理解“流数”思想如何为后来的物理学和工程学提供了不可或缺的工具。第三部分：空间观念的拓展——非欧几何的诞生这是本书的核心突破点之一。长期以来，欧几里得的第五公设（平行公设）被视为真理的天然体现。本部分将追踪那些试图证明或推翻该公设的探索历程。我们将详细介绍高斯、罗巴切夫斯基和鲍耶如何勇敢地构建起一个“假设第五公设不成立”的世界——双曲几何。接着，我们将考察黎曼如何通过更广义的“度量”概念，建立起椭圆几何（球面几何的推广），从而构建了“黎曼几何”的框架。我们不会涉及微分几何的现代张量分析，而是强调其哲学意义：空间不再是绝对不变的背景，而是可以具有内在曲率的实体。我们将对比在不同几何体系中，三角形内角和的变化规律，以直观地展示人类对“空间”这一概念的理解是如何被彻底颠覆的。这种对基础假设的质疑精神，是科学思想进步的驱动力。第四部分：拓扑学的萌芽——形状的本质在几何学从测量精确性转向曲率和空间的内在属性后，一个更抽象的分支开始浮现。本部分将考察对物体“不变性质”的探索，即拓扑学的前身。我们将从欧拉解决著名的“柯尼斯堡七桥问题”谈起，理解如何通过图论的方式来抽象化现实问题，关注连接关系而非具体距离。随后，我们将简要介绍莫比乌斯的单侧曲面（莫比乌斯带）和克莱因的瓶子。这些奇特的构造挑战了人们对“内部”和“外部”的直观认知。本部分强调的是：几何学不再仅仅是关于长度和角度的精确计算，而是关于连接、连续性以及在形变下保持不变的内在属性的研究。结语：从精确测量到抽象结构本书的最后，我们将总结几何学从关注“尺子和量角器”的尺度，到关注“结构和关系”的抽象飞跃。这种演变不仅是数学自身的进步，也是人类认识世界方式的深刻变革。我们看到了从绝对真理的追求，到基于不同公设体系的可能性探索，几何学最终成为了描述复杂现象和构建理论模型的强大语言。本书旨在提供一个清晰、严谨且富有历史深度的视角，让读者领略数学家们如何一步步将我们对三维世界的认知，拓展到多维的、抽象的数学空间。