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出版者:

作者:Dickenstein, Alicia (EDT)/ Schreyer, Frank-Olaf (EDT)/ Sommese, Andrew John (EDT)

出品人:

页数:174

译者:

出版时间:2007-12

价格:$ 134.47

装帧:

isbn号码:9780387751542

丛书系列:

图书标签:

• Algebraic Geometry
• Algorithms
• Computational Algebra
• Polynomial Systems
• Singularity Theory
• Groebner Bases
• Resultants
• Numerical Algebraic Geometry
• Symbolic Computation
• Computer Algebra

《代数几何中的算法》图书内容提要 本书聚焦于代数几何领域中的核心计算方法与算法设计，旨在为研究人员和高阶学生提供一套系统、深入的工具箱。全书结构清晰，由理论基础、经典算法到前沿应用层层递进，力求在严谨的数学基础上，充分展示算法实现的具体细节与计算复杂性分析。 第一部分：基础与计算框架 本部分为后续所有高级主题奠定必要的代数和几何基础，并介绍必要的计算环境设置。 第一章：域与环的计算基础 首先回顾多项式环 $mathbb{K}[x_1, dots, x_n]$ 上的基本运算，特别是针对有限域 $mathbb{F}_q$ 和数域 $mathbb{Q}$ 上的情形。重点讨论了多变量多项式的表示法，如稀疏（Sparse）与密集（Dense）存储方案及其对计算效率的影响。 多项式运算的优化： 介绍了快速多项式乘法（如基于FFT/NTT的算法）在多个变量情境下的推广与局限性。 理想的计算表示： 详细阐述了理想（Ideals）的生成元表示、Gröbner基（Gröbner Bases）的概念及其作为理想规范化表示的重要性。 第二章：Gröbner基的计算算法 Gröbner基是现代计算代数几何的基石。本章深入探讨了计算Gröbner基的经典与现代算法。 Buchberger 算法： 详述了Buchberger算法的构造性步骤，重点分析了“S-多项式”的引入和消除冗余生成元的过程。讨论了算法的性能瓶颈，尤其是在生成元数量和多项式次数爆炸时的问题。 F4 和 F5 算法： 介绍了基于线性代数方法的改进，特别是F4算法如何利用矩阵简化来加速多项式归约过程。随后，深入探讨了F5算法在处理零维（Zero-dimensional）和高维理想时的优势，包括其如何通过“依赖关系”避免显式计算冗余中间项。 最小化与规范化： 讨论了如何将计算出的Gröbner基转化为最小的、规约的（Reduced）形式，并分析了不同基表示对后续几何问题求解速度的影响。 第三章：零维簇的求解与判别式理论 当理想 $I$ 定义的簇 $V(I)$ 维度为零时，即根集为有限点集时，可以使用特定的高效算法。 单变量情形： 回顾了复根的计算，如使用Chrono多项式法，并引入了结果式（Resultants）作为判别两个多项式是否存在公共根的代数工具。 多变量零维情形： 重点介绍如何通过“消元”将零维理想转化为单变量多项式。详述了Companion 矩阵法和乘法表（Multiplication Table）方法，这些方法将根的求解转化为线性代数问题（求特征值）。 几何解释： 阐述了乘法表中的元素如何对应于簇上点的坐标，以及如何利用这些信息进行点的分离和坐标提取。 第二部分：曲线与曲面的计算几何 本部分将重点放在低维代数集，即曲线（维度一）和曲面（维度二）的计算属性。 第四章：平面曲线的性质计算 针对 $mathbb{K}[x, y]$ 中的理想 $I$，研究其定义的平面曲线 $C = V(I)$ 的几何特性。 奇异点的计算： 介绍如何利用雅可比矩阵（Jacobian Matrix）来识别和分类平面曲线上的奇异点（自交点、尖点等）。讨论了使用Gröbner基来消除奇异点的坐标，从而找到奇异点的精确坐标。 连通分支与几何分解： 当曲线具有奇异点时，其拓扑结构复杂。本章介绍如何通过计算与奇异点相关的局部结构（如局部环的结构）来分解曲线的不可约分支。 参数化与有理点： 对于光滑的射影曲线，讨论如何利用其参数化来生成曲线上的有理点，特别是如何确定曲线的 genus（亏格）。 第五章：高维几何的消元与投影 在更高维度中，理解几何体的投影和截面是关键。 消元理想： 详细解释了Gröbner基在消元理论中的核心作用。给定理想 $I subset mathbb{K}[x_1, dots, x_n]$，如何通过计算 $I cap mathbb{K}[x_1, dots, x_{n-1}]$ 得到理想在特定坐标超平面上的投影。 Lazard 环与通用消元： 介绍了Lazard环作为解决一般多项式系统投影问题的理论框架，以及在此框架下如何构造通用的消元算法，避免了对特定域（如 $mathbb{C}$）的依赖。 截面与相交： 讨论了如何利用Gröbner基来计算代数簇与线性子空间（如直线、平面）的交集，并确定交点的代数重数。 第三部分：高级主题与应用算法 本部分探讨计算代数几何在其他数学分支中的交叉应用，并介绍更专业的计算技术。 第六章：模与同调代数的计算 在更抽象的层面上，许多几何问题可以转化为模理论和同调代数问题。 模的自由分解： 介绍如何使用Hilbert 算法或Schreyer 算法来计算模的自由分解（Free Resolutions）。这在计算某些几何不变量（如 Betti 数）时至关重要。 Tor 函子的计算： 阐述了如何计算Tor群，这与模的分解密切相关。重点关注如何将这些计算转化为有限维线性代数问题，以便于计算机求解。 正则序列与可去奇点： 讨论了正则序列（Regular Sequences）的检测算法，及其在判断奇点是否可去（Removable Singularities）中的应用。 第七章：实代数几何的数值方法 当域为实数域 $mathbb{R}$ 时，几何对象（实曲线、实曲面）的分析需要特定的数值稳定性算法。 Tarski-Seidenberg 算法的计算实现： 详细分析了实代数几何中的关键——如何对实根描述进行有效计算。这包括对判定（Decision）问题的算法化处理。 分解到连通分支： 介绍如何利用极值点和临界点的方法，结合Gröbner基计算，来有效地分解实代数集到其极小的实连通分支中。 路径跟随算法： 针对参数化的实曲线或曲面，讨论了如何使用数值方法（如Homotopy Continuation）来追踪解集，特别是当参数变化时，解集的拓扑结构如何变化。 第八章：计算的复杂度与软件实现考量 本章讨论了实现高效计算算法时必须面对的实际挑战。 复杂度分析： 对 Buchberger 算法、F5 算法及零维求解算法的理论最坏情况复杂度进行了深入比较。讨论了“升阶”（Grading Order）的选择对计算规模的实际影响。 稀疏性管理： 强调了在大型系统中，如何通过智能地选择多项式排序和运用稀疏矩阵技术来避免指数级内存消耗。 软件架构： 简要概述了当前主流计算代数系统（如 Macaulay 2, Singular, Magma）中实现这些核心算法的设计哲学和数据结构选择。 本书的目的是提供一个全面的计算视角，使读者能够不仅理解代数几何概念的本质，更能熟练地将其转化为可执行、可分析的计算过程。

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