Boundary Values and Convolution in Ultradistribution Spaces pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Carmichael, Richard D./ Kaminski, Andrzej/ Pilipovic, Stevan

出品人:

页数:232

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价格:67

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isbn号码:9789812707697

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图书标签:

• 超分布
• 边界值问题
• 卷积
• 泛函分析
• 偏微分方程
• 傅里叶分析
• 广义函数
• 数学分析
• 调和分析
• 超奇异函数

深入探索经典分析的基石：解析函数的拓扑结构与泛函方法 一本旨在重构和深化我们对广义函数理论、偏微分方程解的正则性、以及函数空间几何理解的专著。 本书聚焦于现代数学分析中几个相互交织的、至关重要的领域：经典调和分析的内在局限性、超函数理论的严格建立、以及在处理奇异性问题时局部化与全局化策略的有效性。我们不满足于对现有理论的简单复述，而是致力于揭示其底层结构、拓扑完备性，以及在处理非光滑数据时的内在张力。 第一部分：拓扑矢量空间与超函数论的基石 本部分首先对无穷维拓扑矢量空间进行系统的回顾和深化，重点关注那些在泛函分析中作为超函数空间骨架的序列空间。我们详细考察了 Fréchet 空间 和 (LB) 空间 的构造，并论证了它们在作为 Schwartz 超函数空间 $mathcal{D}'(Omega)$ 的对偶空间时所必需的拓扑性质，特别是它们的射影极限和归纳极限的构造细节。 接着，我们深入探讨了 $mathcal{D}(Omega)$ 空间，即测试函数空间，其拓扑依赖于紧支撑收敛的概念。本书将严格证明 $mathcal{D}(Omega)$ 并非一个完备空间，并阐述了如何通过引入 Borel 测度 和 紧收敛 的概念，建立起稳定的超函数理论框架，使其能够容纳诸如狄拉克 $delta$ 分布及其高阶导数。 一个核心章节致力于区分 广义函数 (Distributions) 与 超函数 (Ultradistributions) 之间的根本区别。我们引入了 Gevrey 类 $G^s(Omega)$ 的概念，并利用其对偶空间来定义 超函数空间 $mathcal{U}'(Omega)$。不同于标准的 Schwartz 超函数，超函数对函数的平滑性要求更为苛刻，这使得它们在处理解析函数理论中的渐近展开和局域解析延拓问题时具有天然的优势。我们详细分析了 $mathcal{U}'(Omega)$ 的拓扑结构，证明其具备更强的“局部拟解析性”，这为后续的局部正则性分析奠定了基础。 第二部分：调和分析的几何重构与傅里叶变换的拓扑限制 本部分将视角转向傅里叶分析。我们超越了经典的 $mathcal{L}^p$ 空间上的傅里叶变换，转而关注 Fourier-Schwartz (F-S) 变换 在超函数空间上的行为。通过引入 Phénomènes de Schwartz 的概念，我们研究了傅里叶变换如何将 $mathcal{D}(Omega)$ 上的拓扑结构传递给 $mathcal{S}(mathbb{R}^n)$（缓降函数空间），并探究了在非紧集上定义的超函数的傅里叶像的特性——特别是它们如何转化为 $mathbb{R}^n$ 上的增长函数。 我们引入 无穷阶微分算子 的概念，并利用 Mellin 变换 的工具，构建了一个将超函数空间与某些特定类型的指数级增长函数联系起来的拓扑同构。这使得我们可以将微分方程的求解问题转化为代数运算，但其代价是我们需要处理非标准的增长条件。 一个关键的章节专门讨论了 边界值问题 (Boundary Value Problems) 在超函数设置下的重新定义。在处理具有奇异边界的偏微分方程时，标准的狄利克雷或诺伊曼边界条件往往不足以确定唯一的解。本书提出了一种基于超函数层级结构的 “边界量” (Boundary Measure) 概念，该概念能够捕捉到解在边界附近的所有高阶奇异性信息，并将其编码为一系列超函数。 第三部分：微分方程解的局部性与拟解析性理论 本部分将理论工具应用于偏微分方程 (PDEs) 领域，特别是那些涉及非光滑系数或数据的高阶方程。我们关注的核心问题是 解的局部正则性：一个在弱意义下满足方程的函数，需要满足什么样的额外条件才能保证其在光滑区域内具有经典意义上的光滑性？ 我们详细分析了 Hörmander 的 Hörmander 算子 的解类结构，并将其推广到涉及具有复杂特征集的高阶算子。本书利用 Microlocal Analysis 的工具，特别是 波前集 (Wave Front Set) 理论，精确地刻画了超函数解的奇异性传播路径。 一个开创性的章节探讨了 拟解析性 (Quasianalyticity) 与超函数空间的关系。我们证明了，一个在 $mathcal{U}'(Omega)$ 意义下的解，若其傅里叶-拉普拉斯变换满足特定的指数衰减速率，则该解在任意紧集上可以被其在边界附近的局部信息（以超函数形式给出）唯一确定。这种关系在处理逆问题和适定性问题时至关重要，因为它提供了一种量化“信息完备性”的数学工具。 第四部分：代数结构与卷积的代数拓扑诠释 最后一节从更抽象的代数拓扑角度审视卷积运算。我们不再将卷积视为 $mathcal{L}^1$ 意义下的积分，而是将其视为 拓扑双模 (Topological Bi-module) 上的一个运算。 本书深入分析了在超函数空间中，卷积运算所满足的 交换律、结合律 以及 对微分算子的作用。我们着重研究了当卷积核具有极强奇异性（例如，在 $mathcal{U}'(mathbb{R}^n)$ 上的卷积）时，所得结果的拓扑性质如何变化。 一个重要的主题是 卷积的逆问题。给定一个超函数 $f$ 和一个具有特定性质的核 $k$，我们如何有效地求解 $k u = f$？我们通过引入 超函数代数，并利用其上的 同伦群 概念，为求解过程提供了一种拓扑分类的方法，从而识别出哪些方程组是“良性”的（可解且具有有限维零空间），哪些是“病态”的（零空间无限维或不存在解）。 通过对这些基础理论的深入挖掘和严谨论证，本书旨在为需要处理非光滑数据、奇异性传播、以及高维复杂微分方程的数学家、物理学家和工程师提供一个坚实且具有前瞻性的分析框架。本书的论述风格强调几何直观与代数严谨性的统一，而非依赖于繁琐的近似计算。

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