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出版者:

作者:Cohen, Harold

出品人:

页数:500

译者:

出版时间:2007-10

价格:$ 90.34

装帧:

isbn号码:9780387730578

丛书系列:

图书标签:

• 复分析
• 数学分析
• 高等数学
• 数学
• 解析函数
• 留数定理
• 共形映射
• 复变函数
• 数学教材
• 理工科

现代高等代数：群、环与域的深度探索 本书旨在为读者提供一个全面而深入的现代高等代数导论，重点聚焦于抽象代数结构的核心——群、环与域的理论基础、基本性质及其在数学其他分支中的应用。 这不仅仅是一本教科书，更是一部引导读者领略数学美感与逻辑严谨性的探索之作。 第一部分：群论的坚实基础 本书的开篇将从最基础的群的定义出发，逐步过渡到更复杂的群结构。我们详细阐述了子群、陪集和拉格朗日定理，这些是理解有限群结构的关键工具。随后，我们将深入探讨正规子群与商群的构造，这是理解同态定理和实现群分解的基石。 同态与同构： 我们对群同态、同构的概念进行了细致的剖析，并阐述了第一、第二、第三同构定理，展示了不同群结构之间的内在联系和等价性。 群的作用与应用： 随后，我们将引入群作用的概念，并详细讨论其在计数问题中的强大应用，特别是Burnside引理和Pólya计数定理。我们将展示如何利用群作用来研究置换群（对称群 $S_n$）的结构，包括共轭类、中心化子和正规化子的关系。 特定群结构的深入研究： 本书对一些重要的群类进行了深入研究。我们将详尽分析有限阿贝尔群的结构定理，这是理解任何有限交换群的蓝图。对于非阿贝尔群，我们将探索$p$-群的性质，如中心（Center）的存在性，以及Sylow定理的完整证明及其在分析有限群分类中的决定性作用。我们也会触及一些特定的经典群，例如二面体群 $D_n$ 和四元数群 $Q_8$，以具体化抽象概念。 第二部分：环论的构建与拓展 在巩固了群论的知识后，本书将视角转向环这一具有更丰富代数运算结构的对象。我们从环的基本定义、子环、环同态出发，构建了清晰的理论框架。 理想与商环： 环论的核心概念在于“理想”（Ideals）。我们将详细区分左理想、右理想和双边理想，并论证商环的构造。在此基础上，我们将阐述环同态定理，它在本质上与群同态定理有着深刻的对应关系，强调了代数结构间的一致性。 特殊类型的环结构： 本部分致力于对具有特定性质的环进行深入研究： 1. 整环（Integral Domains）： 我们精确定义了整环，并深入探讨了域（Fields）的概念及其性质。 2. 主理想整环（PIDs）与唯一因子分解整环（UFDs）： 我们将清晰地区分PID和UFD，重点分析欧几里得整环（Euclidean Domains）作为PID的充分条件。例如，我们将展示 $mathbb{Z}$ 和多项式环 $F[x]$ 上的结构，并讨论为什么高斯整数环 $mathbb{Z}[i]$ 是一个UFD但并非所有PID都是UFD（虽然在本书的范围内，我们会强调常见的例子）。 3. 多项式环的性质： 专门开辟章节讨论多项式环 $F[x]$ 的性质，特别是关于不可约多项式、因式分解以及在特定环上构造域的拓扑方法。 第三部分：域论与伽罗瓦理论的宏伟蓝图 本书的最后部分将把代数理论提升到一个新的高度，即域论，并最终导向伽罗瓦理论这一代数皇冠上的明珠。 域的扩张与构造： 我们从域的扩张（Field Extensions）开始，定义了代数扩张和超越扩张。我们详尽分析了中间域、域的基（Basis）和扩张次数 $[ ext{L}: ext{K}]$ 的概念。 代数数域： 我们将重点研究由多项式生成的域，如 $mathbb{Q}(alpha)$。对于更复杂的扩张，我们将引入分裂域（Splitting Fields）的概念，这是理解多项式根结构的必要步骤。 伽罗瓦群的引入： 核心章节将介绍正规扩张和伽罗瓦扩张。我们定义了伽罗瓦群 $Gal(L/K)$，并阐述了基本定理——即伽罗瓦扩张的中间域与子群之间存在一一反转的对应关系。 经典问题的解决： 利用伽罗瓦理论的强大工具，我们将回归代数中的两个历史性难题： 1. 可解性（Solvability）： 我们将清晰阐述何为 $n$ 次方程的可解性，并论证当 $n ge 5$ 时，一般五次方程不可由根式求解（即其伽罗瓦群 $S_n$ 不可解）。 2. 尺规作图问题： 利用域扩张的理论，我们证明了著名的三个尺规作图不可能性的问题（如三等分角、倍立方体和化圆为方），其根本原因在于这些问题对应于次数大于2的二次扩张链。 贯穿全书的特征： 本书的叙述风格力求清晰、逻辑严密，每章后附有大量精心设计的习题，从基础的验证到需要综合运用的证明题，以期巩固读者的理解。我们避免了对复分析等高等理论的提前引入，确保读者在完全掌握代数工具的基础上进行探索。本书强调对概念的直观理解，同时坚持严格的数学证明标准，是数学专业本科生及研究生进行代数理论系统学习的理想教材。

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坦白说，这本书的厚度确实令人望而生畏，初次翻阅时，我曾担心自己会因知识点的密集度而迷失方向。然而，作者精心设计的章节结构和章节间的逻辑过渡，如同精心绘制的导航图，有效地规避了这种风险。每个章节的开头都有一个清晰的“目标声明”，告知读者即将探索的核心问题，而结尾处则有一个精炼的“总结回顾”，帮助巩固吸收的知识点。这种结构化的高效学习路径，使得即便是面对如此庞杂的知识体系，也能保持清晰的头脑。它不像某些著作那样知识点堆砌，而是将各个定理和概念有机地串联起来，形成一个完整的知识网络，让人在学习的过程中感受到一种由量变到质变的愉悦感，真正体会到“一通百通”的境界。

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我向来对那些故作高深的学术著作敬而远之，但这本书的行文风格却展现出一种令人尊敬的坦诚与克制。它没有刻意去使用那些生僻的、只有极少数人能理解的术语来构建壁垒，而是选择用最简洁、最精确的语言去描绘复杂的数学结构。读起来丝毫没有“喘不过气”的感觉，更多的是一种智力上的挑战和享受。尤其赞赏它在证明过程中的详略得当，对于那些需要细致推敲的中间步骤，作者毫不吝啬笔墨，保证每一步的逻辑推导都无懈可击；而对于一些相对基础或已知的引理，则可以巧妙地一带而过，不拖泥带水。这种对读者注意力的精准把握，体现了作者极高的教学素养和对学科脉络的深刻洞察力。

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初翻此书，一股清冽的数学气息扑面而来，它仿佛是用最精确的逻辑链条编织而成的一张网，将抽象的概念牢牢地锁在清晰的定义之下。作者的叙事方式极其老练，对于那些初学者可能感到晦涩的定理，他总能先通过一些直观的几何图像或者巧妙的类比来铺垫，让读者的大脑做好接受“洗礼”的准备。我记得在阐述某一个关键的积分定理时，作者用了近乎诗意的语言来描绘函数的周期性与路径依赖之间的微妙关系，那段文字的张力十足，让我仿佛真的能“看”到那些复平面上的奇异点在相互作用。这不是那种冷冰冰、只顾堆砌公式的教科书，它更像是一位技艺精湛的工匠，在引导你一步步领悟材料的本质，那种被深度理解后的豁然开朗，简直是阅读体验的巅峰时刻。

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这本书的装帧设计简直是一场视觉盛宴，厚重的纸张拿在手里就有一种沉甸甸的知识感。封面那深邃的蓝色调，配上烫金的标题，在灯光下熠熠生辉，仿佛通往另一个维度的入口。我尤其欣赏它在细节上的打磨，书脊的字体排布既古典又现代，那种平衡感让人爱不释手。内页的排版也极其考究，字体大小和行距的调整，充分考虑到了长时间阅读的舒适度，很少有书籍能做到既有学术的严谨性，又不失阅读的愉悦感。拿到这本书的那一刻，我甚至有些舍不得翻开它，生怕粗鲁的指尖会破坏了这份精心营造的艺术品。这不仅仅是一本工具书，更像是一件值得珍藏的工艺品，摆在书架上，本身就是一种品味的彰显。

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这本书的价值远超出了课堂学习的范畴，它更像是一本为“实践者”准备的参考手册。我发现许多在实际工程或理论物理研究中遇到的棘手问题，都能在这本书中找到对应的数学工具和理论框架。它不仅仅停留在理论的介绍，更深入地探讨了这些数学工具在实际应用中的局限性和优势。比如，关于收敛性的讨论，它没有将收敛仅仅视为一个抽象的数学概念，而是结合了信号处理和物理模型的稳定性分析来进行阐述，这种跨学科的视野极大地拓宽了我对这一分支学科的理解。对于那些试图将纯数学知识应用于解决现实世界难题的研究者而言，这本书无疑是一座坚实的桥梁，而不是一道冰冷的墙。

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