Fundamentals of Differential Equations with Boundary Value Problems pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Nagle, R. Kent/ Saff, Edward B./ Snider, Arthur David

出品人:

页数:944

译者:

出版时间:2007-10

价格:$ 159.70

装帧:

isbn号码:9780321419217

丛书系列:

图书标签:

• 微分方程
• 常微分方程
• 边界值问题
• 数学分析
• 高等数学
• 工程数学
• 数学建模
• 数值分析
• 应用数学
• 理工科

深入探究经典物理与工程的基石：一本关于偏微分方程的详尽指南 图书名称：《高等偏微分方程：理论、方法与应用》 本书聚焦于偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）这一数学分支的深层结构、求解技术及其在现代科学与工程中的广泛应用。本书旨在为高等本科生、研究生以及需要深入理解偏微分方程的科研人员提供一套全面、严谨且富有洞察力的学习资源。 --- 第一部分：基础理论与经典方程的复兴 (Foundational Theory and Classical Equations Revisited) 本部分首先回顾了常微分方程（ODEs）中的关键概念，为过渡到多变量函数的偏微分方程打下坚实的数学基础。随后，我们将系统地引入偏微分方程的分类、基本解的存在性、唯一性与光滑性准则。 第一章：偏微分方程导论与基本概念 多变量函数与泛函分析基础： 详细介绍 Sobolev 空间、函数空间的完备性及其在分析中的重要性。讨论函数的弱解概念，这是理解非光滑问题的关键。 一阶方程的几何理论： 深入探讨特征线方法（Method of Characteristics）在求解一阶拟线性与非线性偏微分方程中的应用。通过几何直观理解解的形成与奇性（如激波）的出现。 方程的分类与规范形： 系统区分椭圆型、抛物线型和双曲型方程。讨论如何通过坐标变换将一般的二阶线性偏微分方程化为规范形，并阐述每种类型方程所描述的物理现象的本质差异。 第二章：经典方程的经典解法 拉普拉斯方程（椭圆型）： 详述最大值原理及其在证明解的唯一性中的作用。重点分析泊松核（Poisson Kernel）的构造与应用，通过格林函数（Green's Functions）方法求解狄利克雷（Dirichlet）和诺伊曼（Neumann）边值问题。探讨调和函数的性质及其在势论中的地位。 热传导方程（抛物线型）： 集中研究热核（Heat Kernel）的性质，包括其渐近展开与收敛性。详细解析半无限长物体和带内部热源情况下的瞬态热传导问题，并讨论时间反演不变性的不可能性。 波动方程（双曲型）： 运用达朗贝尔（d'Alembert）公式解决无限域上的初值问题。深入分析波动在边界处的反射、折射现象，并结合能量守恒原理来理解波动现象的稳定性。 --- 第二部分：高级分析技术与函数空间方法 (Advanced Analytical Techniques and Functional Analysis) 本部分将数学分析提升至更抽象的层面，专注于利用强大的分析工具解决更复杂的、可能不具备传统光滑解的问题。 第三章：傅立叶分析与积分变换 傅立叶变换在PDE中的应用： 展示傅立叶变换如何将复杂的偏微分方程转化为代数方程，从而简化求解过程。讨论傅立叶级数在周期性边界条件下的应用。 拉普拉斯变换的特定用途： 聚焦于拉普拉斯变换在处理具有初始条件的初值问题（特别是抛物线型和波动型方程）中的优势，通过在时间域上的解耦来简化问题。 第四章：格林函数与散布源理论 通用格林函数的构造： 从狄拉克 $delta$ 函数出发，系统地建立不同几何边界条件下各类线性偏微分算子的格林函数。 散布源（Improper Sources）的处理： 讨论如何利用格林函数来处理系统中的点源、线源和面源，这在电磁学和流体力学中至关重要。分析格林函数的重整化（Renormalization）概念在某些物理模型中的初步体现。 第五章：变分原理与能量方法 最小势能原理： 阐述椭圆型方程与变分问题的深刻联系。将求解拉普拉斯方程转化为寻找某个泛函的最小值点。 能量泛函的构造： 针对双曲型和抛物线型方程，构造相应的能量（或耗散）泛函，并利用泛函求导和能量不等式来证明解的适定性（Well-posedness），特别是稳定性和能量的衰减性。 --- 第三部分：非线性与现代主题 (Nonlinear PDEs and Modern Topics) 本部分涵盖了对现代物理学和应用数学至关重要的非线性偏微分方程，并介绍了更前沿的数值分析视角。 第六章：非线性偏微分方程的挑战 非线性对流项： 重点分析 Burgers 方程，理解其如何通过非线性项产生稀疏波（Shock Waves）和不连续解。引入熵条件（Entropy Condition）来选择物理上合理的解。 反应-扩散系统： 研究包含非线性源项的抛物线型系统，如 FitzHugh–Nagumo 模型。探讨这些系统如何产生行波（Traveling Waves）和模式形成（Pattern Formation）现象。 非线性椭圆方程： 探讨变分方法在处理 $p$-拉普拉斯算子下的非线性问题，并讨论如何使用不动点定理（如 Leray–Schauder 定理）来保证解的存在性。 第七章：特殊方程与物理模型 纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes）： 对描述不可压缩流体的纳维-斯托克斯方程进行详细的分析性介绍，侧重于解的平滑性与三维解的存在性/不适定性（即著名的千禧年难题的数学背景）。 薛定谔方程（Schrödinger）： 分析线性与非线性（Gross-Pitaevskii）薛定谔方程。讨论波函数的概率解释以及非线性项对波包演化的影响。 第八章：偏微分方程的数值逼近 有限差分法（FDM）： 详细推导并分析中心差分、前向差分等方法的时间步进方案（如欧拉法、Crank-Nicolson 方法），讨论其稳定性和收敛性（CFL 条件）。 有限元法（FEM）的原理： 介绍将偏微分方程弱形式转化为代数问题的过程。侧重于三角形/四面体网格划分、形函数选择以及刚度矩阵的装配，为实际工程仿真打下理论基础。 --- 结语 本书的结构设计遵循从基础到高级、从线性到非线性的递进逻辑。通过对数学工具的严格推导和对物理背景的深入剖析，读者将不仅掌握求解偏微分方程的技巧，更重要的是理解这些方程在描述自然界复杂现象中所扮演的核心角色。本书为有志于从事流体力学、材料科学、量子物理或高级数学研究的人士，提供了不可或缺的理论深度。

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