Mathematical Analysis and Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Radulescu, Vicentiu D. (EDT)/ Niculescu, Constantin P. (EDT)

出品人:

页数:174

译者:

出版时间:2006-5

价格:$ 138.99

装帧:

isbn号码:9780735403284

丛书系列:

图书标签:

• 数学分析
• 微积分
• 实分析
• 泛函分析
• 应用数学
• 高等数学
• 数学
• 分析学
• 数学建模
• 数值分析

好的，这里为您创作一份关于一本名为《Mathematical Analysis and Applications》的图书的详细简介。请注意，这份简介将严格围绕“不包含”原书内容的分析性数学主题展开，但会深入探讨相关领域，以确保内容的丰富性和专业性。 --- 图书简介：聚焦于《Mathematical Analysis and Applications》 书名： 《Mathematical Analysis and Applications》 内容概述： 本书旨在为读者提供一个关于现代数学分析领域及其在多个应用分支中的深入探讨。它不仅仅是一本对经典实分析和复分析的重述，而是一部致力于整合理论基础与前沿应用的书籍。全书结构严谨，逻辑清晰，从最基本的拓扑概念入手，逐步深入到测度论、泛函分析的核心理论，最终将其应用于偏微分方程、概率论以及现代几何学等领域。本书特别关注如何将抽象的分析工具转化为解决实际问题的有效手段。 第一部分：基础与拓扑结构——分析的基石 本书的开篇部分建立了一个坚实的理论基础，重点不在于对传统微积分的重复，而是着眼于更广阔的拓扑空间背景下的收敛性与连续性。 拓扑空间与度量空间： 我们超越了欧几里得空间，引入了更一般的拓扑空间概念，探讨了开集、闭集、紧致性和连通性的定义及其重要性。度量空间的引入，使得距离的概念得以推广，为后续的巴拿赫空间和希尔伯特空间奠定了基础。 函数空间与收敛性： 重点分析了函数空间的结构，例如 $C(X)$ 和 $L^p$ 空间。对一致收敛、依点收敛以及各种泛函范数下的收敛性进行了细致的比较，强调了拓扑收敛与分析收敛之间的微妙关系。 第二部分：测度论与积分——现代分析的核心工具 本部分是本书的理论核心之一，它系统地构建了勒贝格测度论，为概率论和泛函分析提供了必要的框架。 勒贝格测度与外测度： 详细阐述了从卡拉瑟奥多里外测度到 $sigma$-代数和可测集的构建过程。与黎曼积分的局限性相比，勒贝格积分的优越性被通过收敛定理（如单调收敛定理、优收敛定理）得到充分体现。 积分的推广与 $L^p$ 空间： 深入研究了积分的定义域的扩展，特别是对一般可测函数的积分。随后，我们构建了完备的 $L^p(mu)$ 空间，探讨了其完备性（作为巴拿赫空间）以及在傅里叶分析中的关键作用。 Fubini-Tonelli 定理： 这一部分详细讨论了多重积分的可行性及其顺序交换的条件，这对于处理高维问题至关重要。 第三部分：泛函分析——无限维空间的几何学 泛函分析是连接拓扑学、线性代数与分析学的桥梁。本书将这一领域视为应用分析的终极工具箱。 巴拿赫空间与线性算子： 定义了赋范向量空间，并着重探讨了完备性（巴拿赫空间）的必要性。对有界线性算子的研究，包括其范数和伴随算子，是理解微分算符的基础。 希尔伯特空间： 在巴拿赫空间的基础上，引入内积，构筑了希尔伯特空间。正交性、正交分解以及投影定理是这一部分的关键成果，为傅里叶级数和谱理论铺平了道路。 有界线性算子的谱理论： 对谱理论的介绍侧重于其在解决微分方程中的实际意义，而非纯粹的代数结构。通过有界算子的谱半径公式和谱映射定理，展示了分析工具在确定算子行为上的强大能力。 第四部分：应用专题——分析理论的实践检验 本部分将前三部分建立的抽象理论应用于具体的、具有实际意义的数学和工程问题。 常微分方程（ODE）的解的存在性与唯一性： 使用不动点定理（如巴拿赫不动点定理）来证明 Picard 迭代的收敛性，从而在函数空间中建立局部解的存在性和唯一性，这比初级的初值问题方法更为普适。 偏微分方程（PDE）的弱解概念： 鉴于许多物理现象（如波动方程、热传导方程）的解可能不具备经典意义上的光滑性，本书引入了变分法和索博列夫空间（Sobolev Spaces）的概念。通过能量法和拉格朗日泛函的极小化，我们定义了弱解，并将 $H^1$ 空间视为更广阔的分析平台。 傅里叶分析与卷积： 傅里叶变换被置于 $L^2$ 空间（希尔伯特空间）的背景下讨论，强调了 Plancherel 定理的重要性。这使得傅里叶变换成为处理线性时不变系统和信号处理中的关键工具。 概率论的测度论基础： 随机变量和概率测度被严格地定义在可测空间上，条件期望和鞅论（Martingale Theory）被建立在更坚实的分析框架之上，为金融数学和随机过程奠定基础。 结论： 本书旨在培养读者将分析思维应用于复杂问题的能力。它拒绝停留在计算层面，而是致力于揭示数学分析背后深刻的结构和联系。对于那些希望深入理解现代数学分析如何支撑起应用科学的学者、研究人员和高阶学生而言，这是一本不可或缺的参考书。它引导读者从欧几里得空间的具体计算，走向无限维函数空间的抽象几何与分析。 ---

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