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出版者:

作者:Aufmann/ Barker/ Lockwood/ Cram101

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页数:88

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价格:10.95

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isbn号码:9781428833623

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• 数学
• 基础数学
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• 几何
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• 高等教育

好的，这是一本名为《深入探索高等代数与线性空间》的图书简介，内容详实，旨在探讨超越基础大学数学范畴的前沿数学概念，完全不涉及《Basic College Mathematics》中的内容。 深入探索高等代数与线性空间 一卷贯穿抽象代数核心，奠定现代数学基石的权威之作 图书概述 《深入探索高等代数与线性空间》并非一本侧重于计算或基础运算的教材，而是一部旨在引导读者跨越离散数学与微积分的藩篱，进入抽象结构与高维空间理论殿堂的深度专著。本书从集合论的严谨基础出发，系统地构建了群、环、域三大核心代数结构，并以前所未有的深度剖析了线性代数的本质——向量空间及其变换。全书结构严密，逻辑清晰，旨在培养读者从直觉理解转向严格证明的数学思维能力。 本书的受众对象设定为已经掌握微积分基础，并希望系统学习抽象数学理论的学生、研究人员或对数学美学有追求的自学者。我们避免了对初级代数（如二次方程、基本分数运算）的重复论述，而是将精力集中于理论的推导、定理的证明以及结构之间的内在联系的揭示。 核心章节与内容详解 全书分为四个宏大的部分，共计十四章，每章都包含大量的例题、辨析和具有挑战性的习题，这些习题大多需要读者运用集合论工具和逻辑推理能力来解决。 第一部分：代数结构的基础与构建（群论的严谨展开） 本部分聚焦于代数世界最基础、最重要的对称性概念——群。 第一章：基础概念与集合论的回归 本章首先复习了集合的严格定义、函数与关系的性质，重点强调了同构（Isomorphism）和商集（Quotient Set）的构建原则。我们详细讨论了二元运算的封闭性、结合律、单位元和逆元的概念，并引入了范畴论（Category Theory）的初步思想——对象与态射（Morphisms）。 第二章：群的严格定义与初步示例 详细阐述了群公理，并区别于半群和独异点。重点分析了有限群的阶（Order）、拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）的完整证明及其在计数问题中的应用。书中引入了非阿贝尔群（Non-Abelian Group）的经典案例，如二面体群 ($D_n$) 和对称群 ($S_n$)。 第三章：子群、陪集与正规子群 本章是深入理解群结构的桥梁。我们详细阐述了子群的判定准则，并对陪集（Cosets）进行了详尽的几何和代数解释。随后，篇幅重点放在了正规子群（Normal Subgroups）的定义、判定及其与同态（Homomorphism）的深刻联系，为后续的商群构建奠定基础。 第四章：商群与同态定理 本章是抽象代数的核心之一。我们详细剖析了商群（Quotient Groups）的构造，并严格证明了第一同构定理（First Isomorphism Theorem），也被称为基本同态定理。此外，还探讨了第二、第三同构定理，并通过具体的例子（如 $mathbb{Z}_n$ 与循环群）展示了这些定理的强大威力。 第五章：群的作用与应用 本章讨论了群作用（Group Action）的概念，即群如何“作用”于一个集合上，形成轨道（Orbits）和稳定子（Stabilizers）。利用群作用的工具，我们提供了对Sylow定理的完整推导，这是研究有限群结构的里程碑式的成果，并展示了其在分类特定阶群时的应用。 第二部分：环与域的代数拓扑 在掌握了群的结构后，本书转向了具有两种运算的代数系统——环。 第六章：环、子环与理想 本章定义了环的公理体系，并区分了交换环与非交换环、整环（Integral Domains）和域（Fields）。重点在于理想（Ideals）的概念，它在环中的地位如同正规子群在群中的地位。我们分析了主理想（Principal Ideals）和极大理想（Maximal Ideals）。 第七章：商环与环的同态 与群论相呼应，本章阐述了商环（Quotient Rings）的构造，并给出了环同态定理。讨论了积分域、Noetherian环和Artinian环的基本性质。 第八章：域的扩张与构造 本章是代数与数论交叉的典范。我们深入探讨了域的扩张（Field Extensions），包括代数扩张和超越扩张。重点讲解了有理数域 $mathbb{Q}$ 上的域扩张，引出了有限域（Finite Fields）的构造原理及其在编码理论中的重要性。 第三部分：线性空间与几何的抽象化 本部分完全脱离了传统的“矩阵计算”，转而关注向量空间作为一种抽象集合的性质。 第九章：向量空间与线性组合的本质 本书对向量空间的定义极其严格：一个集合，定义了两个满足特定公理的运算（向量加法和标量乘法）。我们侧重于讨论这些公理对空间结构的影响，而不是在 $mathbb{R}^n$ 或 $mathbb{C}^n$ 中进行具体计算。重点在于理解基（Basis）和维数（Dimension）的抽象意义。 第十章：线性映射与矩阵的表示 本章讨论了线性映射（Linear Maps）的性质，特别是零空间（Null Space/Kernel）和像空间（Range/Image）。我们探讨了线性映射如何诱导出商空间（Quotient Spaces），并证明了秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem），将其提升到抽象空间的高度。 第十一章：内积空间与几何结构 引入了内积（Inner Product）的概念，从而使得向量空间具备了度量和角度的概念，形成了内积空间。重点在于正交性（Orthogonality）和Gram-Schmidt正交化过程的理论基础，为傅立叶分析等领域提供代数支撑。 第四部分：线性空间的结构分解与高级主题 本书的收官部分致力于揭示线性空间在变换下的不变结构。 第十二章：行列式、特征值与特征向量的理论基础 在不依赖于具体矩阵计算的前提下，我们从线性映射的行列式（作为一种对变换的“体积/定向”的度量）的代数定义出发，讨论了特征值（Eigenvalues）和特征向量的代数特性。重点在于特征多项式和最小多项式的存在性证明。 第十三章：对角化与Jordan标准形 本章是线性代数理论的高潮。我们全面分析了可对角化（Diagonalizable）的充要条件，并针对不可对角化的情况，系统地引入了Jordan标准形（Jordan Canonical Form）的理论。我们证明了Jordan分解的唯一性，并讨论了Jordan块对线性系统解的影响。 第十四章：张量积与多线性代数简介 作为对高等代数的延伸，本章对张量积（Tensor Product）进行了详尽的介绍，阐述了其在构造新向量空间方面的关键作用。我们定义了双线性映射和多线性映射，为微分几何和物理学中张量概念的引入做好理论铺垫。 本书的特点 理论优先，计算为辅： 书中所有结论均基于严格的集合论和逻辑推理，强调“为什么”而不是“如何做”。 深挖结构： 对群、环、域、向量空间的内部结构和它们之间的同构关系进行了细致入微的考察。 证明的深度： 大部分关键定理都提供了不止一种证明思路，以深化读者的理解。 面向前沿： 为读者未来进入代数几何、拓扑学或更高级的数论研究打下坚实的抽象基础。 《深入探索高等代数与线性空间》是一次智力上的远征，它要求读者具备耐心、精确的逻辑思维，以及对数学美学的敏锐洞察力。掌握本书内容，即是掌握了现代数学的语言和骨架。

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我必须承认，我是一个对数学有天然恐惧的人，尤其是在面对大学阶段的课程时。但这本书的编写者显然深谙如何与“数学恐惧者”对话。它的叙述方式非常具有说服力，不是那种冷冰冰的公式堆砌，而更像是在进行一场耐心的对话。它会用很多反问句来引导你思考，比如在介绍一元二次方程的求根公式时，它没有直接给出公式，而是先展示了“配方法”的推导过程，让你体验到公式是如何“诞生”的。这种强调过程的教学法，极大地增强了我的学习主动性。书中的例题和课后练习是分开设置的，例题往往非常精炼地展示了解题思路，而练习题则难度递进，从基础的代数运算到稍复杂的实际问题。我发现，这本书的“深度”不是体现在它涵盖了多少偏门的知识点，而是在于它对每一个基础概念的挖掘深度。读完它，我感觉自己不再是机械地套用公式，而是真正理解了数学语言的表达方式，这对我整个大学的学习态度都产生了积极影响。

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这本书的装帧和内页纸张质量只能算是中规中矩，但其内容的组织结构堪称经典。我特别欣赏它在章节间的衔接处理。每一个新的数学主题，比如从基础的整数运算过渡到有理数域，或者从简单的线性关系发展到二次函数，都处理得极其自然流畅，几乎没有突兀感。作者似乎非常擅长“知识的平移”，总能找到一个易于理解的桥梁将读者从已知带入未知。举个例子，它引入概率论的概念时，并没有直接讨论复杂的排列组合，而是从抛硬币和掷骰子的频率观察入手，这让我这个对统计学一窍不通的人也能快速抓住核心思想。这本书更像是一部工具书和教材的完美结合体，它不仅教你“如何做”，更重要的是教你“为什么这样做”。书后附带的参考答案部分也做得非常详尽，对于那些需要自学的学生来说，这无疑是巨大的帮助，因为它不仅给出了最终结果，还常常附带了关键的步骤提示，避免了读者在卡顿时产生挫败感。

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这部书的封面设计相当朴实，甚至有些过时了，但内容深度却让人眼前一亮。我最初拿起它只是为了应付大学里的基础数学课，没想到在其中找到了扎实的逻辑框架。它不像某些教材那样堆砌复杂的理论，而是非常注重概念的清晰阐述和实际应用。例如，在讲解代数方程组的解法时，作者没有直接抛出高深的矩阵理论，而是通过一系列贴近日常生活的例子，比如资源分配问题，来引导读者理解每一步操作背后的数学原理。这种循序渐进的教学方式，极大地降低了初学者的畏难情绪。我尤其欣赏它在习题设计上的用心。那些看似简单的计算题，往往暗藏着对核心概念的巧妙检验，而那些更复杂的应用题，也总能清晰地指向教材中对应的讲解章节。读完前三章，我对基础的百分比、比例和函数有了远超预期的理解，这为后续学习微积分打下了坚实的基础。这本书的排版虽然不算现代，但逻辑结构非常清晰，每一节都有明确的学习目标和总结回顾，让我在复习时能够快速定位知识点。

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在众多琳琅满目的大学基础数学教材中，《Basic College Mathematics》以其独特的务实主义脱颖而出。它几乎没有涉及高等数学的任何边缘概念，目标非常明确：确保每一个读者都能熟练掌握高中毕业前最核心、最实用的数学技能。我发现它在商业和日常应用方面的侧重点非常突出，尤其是在处理货币价值、税率计算和简单的预算规划时，书中的案例鲜活且贴近生活。它对待“小数和分数”的处理方式尤其值得称赞，作者用了专门的篇幅来澄清两者在数学本质上的等价性，这对许多习惯了只用小数进行计算的学生来说，是一次必要的“再教育”。这本书的配图虽然不多，但每一张图都具有极高的信息密度，它们不是用来填充页面的装饰品，而是用来辅助解析抽象概念的有效工具。我感觉，读完这本书后，我不再是那个一看到数学符号就头疼的学生，而是有信心去处理生活中遇到的绝大多数定量问题。它真正做到了“基础扎实”，为我后续任何需要数学背景的专业学习铺平了道路。

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坦白说，我是在找不到其他更“时髦”的教材时，才被迫选择了这本看起来有些“老派”的《Basic College Mathematics》。然而，它带来的却是意料之外的惊喜。这本书的语言风格非常严谨，没有过多的花哨修饰，直击数学的核心。它仿佛一位经验丰富的老教授，用最精确的词汇为你构建知识的殿堂。我印象最深的是它对“率”和“变化率”的讨论，作者用非常细致的笔触描绘了斜率的几何意义和它在现实世界中代表的意义，比如速度和成本效益。我之前在其他地方学到的知识点总是零散的，但这本书通过一个统一的数学框架将它们串联了起来。特别是关于金融数学的那几个章节，它详尽地解释了复利计算的原理，并给出了详细的表格和图示来辅助理解，这对于我后续选修金融基础课程非常有帮助。唯一的缺点可能在于，对于那些已经有一定基础的学生来说，前期的内容会显得稍微冗长，但对于真正需要打牢基础的读者，这恰恰是宝贵的财富，它确保你不会因为某个小小的概念模糊而导致整个学习链条断裂。

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