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纯粹的代数之舞：代数拓扑基础导论 作者： [此处留空，读者可自行想象] 出版社： [此处留空，读者可自行想象] 页数： 约 600 页 内容简介： 本书《代数拓扑基础导论》旨在为读者提供一个扎实而严谨的代数拓扑学入门。我们深知，拓扑学，作为研究空间在连续形变下保持不变性质的学科，其核心魅力在于其抽象性与直观性的完美结合。然而，要真正掌握拓扑学的深层结构，必须依赖代数工具的精确度量。本书的重点，便是系统地构建起从基础集合论、抽象代数结构到现代同调理论的桥梁。 第一部分：拓扑空间的建立与基础概念 开篇，我们回归到拓扑学的基石——拓扑空间。我们不会急于引入复杂的同伦或同调群，而是首先聚焦于拓扑学的“语言”本身。 第 1 章：度量空间与一般拓扑 本章从读者较为熟悉的欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 中的度量空间出发，详细探讨了开集、闭集、稠密性、完备性等基本概念。随后，我们将讨论如何从任意集合构造出不同的拓扑结构，例如密着拓扑、离散拓扑、子空间拓扑以及商拓扑。我们特别关注了商拓扑的构造，这为后续识别空间提供了关键的代数框架。紧接着，我们将深入探讨紧致性、连通性及其在各种拓扑空间中的行为。紧致性被视为一种“有限性”的代数表示，我们将证明 Heine-Borel 定理的推广意义，并探讨紧致空间的子空间仍保持紧致的性质。 第 2 章：连续性与拓扑空间的同胚 连续函数是连接不同拓扑空间的桥梁。本章详细阐述了拓扑学意义上的连续性定义，并将其与度量空间中的 $epsilon-delta$ 定义进行对比和统一。同胚（Homeomorphism）是拓扑学的核心等价关系。我们通过大量的例子，包括圆周与正方形的形变、莫比乌斯带的构造，来直观地展示拓扑不变量的重要性。本章的重点在于培养读者的“几何直觉”与“代数验证”相结合的能力。 第二部分：同伦理论——连续形变的代数描述 代数拓扑的第一个核心工具便是同伦理论，它使用群的结构来区分拓扑空间。 第 3 章：基本群（$pi_1$）的构造 本章是同伦理论的奠基石。我们定义了路径、路径群，并最终引出基本群 $pi_1(X, x_0)$。我们严格证明了基本群是一个群的结构，并且独立于基点 $x_0$ 的选取（在路径连通空间中）。重点在于，我们利用 Seifert-van Kampen 定理，展示了如何通过分解复杂空间（如楔和、环面等）来计算其基本群。这部分内容将通过计算 $mathbb{R}^n$、球面 $S^n$ ($n ge 2$)、圆环 $S^1$ 以及环面 $T^2$ 的基本群，来巩固读者的理解。 第 4 章：更高阶同伦群 在基本群之后，我们自然地转向更高阶的同伦群 $pi_n(X, x_0)$。我们阐述了它们作为阿贝尔群的性质（对于 $n ge 2$），并通过 Eilenberg-MacLane 空间 $K(G, n)$ 的概念，展示了它们在代数结构分类中的作用。对 $S^n$ 的同伦群的深入讨论，特别是那些非零的高阶群，将为读者理解代数拓扑的深度和复杂性埋下伏笔。 第三部分：链复形与奇异同调——量化“洞” 如果说同伦理论处理的是路径的“一维”问题，那么同调理论则提供了一种处理更高维度“空腔”的强大框架。 第 5 章：链复形的代数结构 本章从纯粹的代数角度引入链复形的概念：一个由阿贝尔群（或模）组成的序列 $C_$，配以差分映射 $partial: C_n o C_{n-1}$，使得 $partial circ partial = 0$。我们定义了边界群 $B_n$ 和循环群 $Z_n$，并最终定义了同调群 $H_n(C_) = Z_n / B_n$。 第 6 章：奇异同调的构建 这是本书的核心技术部分。我们详细介绍了奇异单纯形、奇异 $n$-单纯形 $sigma: Delta^n o X$ 的构造，并定义了奇异链群 $C_n(X)$。随后，我们定义了奇异链复形 $C_(X)$ 及其边界映射 $partial$。最关键的是，我们证明了奇异链复形是一个链复形，从而可以构造出空间的奇异同调群 $H_n(X)$。我们着重讨论了 $H_0(X)$ 与空间的路径连通分量的关系，以及 $H_1(X)$ 与 $pi_1(X)_{ab}$（基本群的阿贝尔化）之间的联系。 第 7 章：有效计算：Mayer-Vietoris 序列 掌握了抽象的同调构造后，如何实际计算成为关键。本章引入了强大的 Mayer-Vietoris 序列。通过将其应用于对各种基本空间的分解（如球面、楔和、环面等），读者将学会如何将复杂的空间分解为更容易处理的部分，并通过长精确序列将局部信息组合成全局的拓扑不变量。 第四部分：同调的进阶性质与应用 本书的最后部分，将探讨同调理论在现代拓扑学中的更深层次应用，以及它与其他代数结构的联系。 第 8 章：函数诱导同态与同伦不变性 我们证明了连续映射 $f: X o Y$ 会诱导出同调群之间的同态 $f_: H_n(X) o H_n(Y)$。关键在于证明同调是同伦不变的，即如果 $f$ 与 $g$ 同伦，则 $f_ = g_$。这确立了同调群作为可靠拓扑不变量的地位。 第 9 章：系数域的扩展与万有系数定理 我们探讨了当系数域从 $mathbb{Z}$ 扩展到 $mathbb{Q}$ 或 $mathbb{R}$ 时的同调理论，并介绍了万有系数定理 (Universal Coefficient Theorem)。该定理清晰地揭示了同调群 $H_n(X; mathbb{Z})$、外同态群 $ ext{Ext}$ 以及扭转系数之间的精确关系，这为理解同调群中“扭转部分”的代数来源提供了清晰的蓝图。 总结： 本书的编写风格力求严谨而清晰，大量的例题和习题旨在帮助读者从形式定义中提炼出深刻的几何洞察力。我们避免了对流形上的微分几何工具的依赖，专注于代数拓扑的根基——链复形与群论的相互作用。完成本书的学习后，读者将具备使用代数工具解决基本拓扑问题的能力，并为进一步探索微分拓扑或代数几何中的高级拓扑结构打下坚实的基础。本书适合具有扎实抽象代数和基础微积分背景的高年级本科生和研究生使用。
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