具体描述
Basic College Mathematics offers a refreshing approach to the traditional content of the course. Presented in worktext format, "Basic College Mathematics" focuses on basic number skills: operations and problem-solving with whole numbers, fractions, and decimals. Other topics include geometry, measurement, ratios, proportions, percents, and the real number system (with an introduction to algebra). The text reflects the compassion and insight of its experienced author team with features developed to address the specific needs of developmental level students.
《高等代数与解析几何》 内容简介 本书旨在为大学理工科学生提供扎实的数学基础，深入探讨代数结构、线性空间理论以及二维与三维空间中的几何概念。全书结构严谨，逻辑清晰，注重理论推导与实际应用的紧密结合，旨在培养学生的抽象思维能力和解决复杂问题的能力。 第一部分：线性代数基础 本部分从向量空间的概念入手，系统地介绍了线性代数的核心内容。 第一章 矩阵与线性方程组： 详述矩阵的运算规则，包括加法、乘法、转置和求逆。重点讲解高斯消元法和行列式的性质及其在求解线性方程组中的应用。矩阵的秩和初等变换是理解系统解集的关键。此外，本章还将探讨矩阵分解，如LU分解，为后续的数值计算打下基础。 第二章 向量空间： 严格定义域（或域）上的向量空间，引入线性组合、线性相关性、基和维数的概念。通过具体的例子（如函数空间、多项式空间），帮助读者建立对抽象向量空间的直观理解。线性映射（或线性变换）作为向量空间之间的结构保持映射，其核空间和像空间是理解变换性质的核心工具。 第三章 行列式： 深入探究行列式的代数定义及其性质，包括行变换和列变换对行列式值的影响。拉普拉斯展开式和克拉默法则不仅是理论工具，也是理解矩阵可逆性的重要途径。本章还将讨论行列式在几何上表示的体积和定向概念。 第四章 特征值与特征向量： 讨论线性算子在特定向量上的作用——保持方向不变。特征值的计算、特征多项式的求法，以及特征向量张成的特征子空间，是理解线性系统稳定性和动力学行为的基础。本章还涵盖了对角化问题，即寻找一组合适的基使得线性变换的矩阵表示最为简洁。 第五章 内积空间： 引入内积的概念，从而定义长度、角度和正交性。欧几里得空间是内积空间的最常见实例。重点介绍施密特正交化过程，用于构建正交基。自伴随算子（在复数域上称为厄尔米特算子）的性质及其谱定理是本章的难点和重点，它保证了在特定基下，该算子具有对角矩阵表示。 第六章 Jordan 标准型： 当一个线性算子不能对角化时，需要引入Jordan分解。详细介绍广义特征向量、Jordan块的结构，以及如何将任意线性算子转化为Jordan标准型。这对于处理非对角化矩阵的幂次计算和微分方程解的稳定性分析至关重要。 第二部分：解析几何与空间几何 本部分将代数的理论工具应用于几何描述，重点关注坐标系、曲线和曲面的表示。 第七章 欧几里得空间中的坐标变换： 讨论刚体运动（平移和旋转）对坐标系的影响。正交变换在保持长度和角度不变的情况下如何改变坐标表示。旋转矩阵的正交性及其在三维空间旋转（如欧拉角或四元数基础）中的应用。 第八章 二次曲线与二次曲面： 使用解析几何方法研究二次曲线（如椭圆、双曲线、抛物线）的标准方程，以及如何通过配方法和矩阵法对一般二次方程进行分类和化简。扩展到三维空间，系统分析二次曲面（如椭球面、双曲面、抛物面）的几何特征和标准形式。 第九章 空间直线与平面： 采用向量代数方法，精确描述空间中的直线和平面的几何位置。直线的方向向量、平面的法向量是关键概念。详细推导点到直线、点到平面的距离公式，以及直线与平面、平面与平面之间的夹角计算。 第十章 多元函数微积分的几何基础（引言）： 简要介绍多元函数梯度、方向导数等概念，将其作为连接线性代数与多元微积分的桥梁。重点强调梯度向量在曲面上的几何意义，即垂直于等高线（或等势面）的方向。 附录： 包含域的进一步讨论（如复数域 $mathbb{C}$ 的引入），以及线性代数在图论、密码学中的初步应用概述。 目标读者与特色 本书面向学习微积分和初步接触科学计算的理工科本科生。其特色在于： 1. 理论深度与广度兼顾： 既保证了严格的数学证明，又包含了足够多的具体计算示例。 2. 强调几何直觉： 始终将抽象的代数概念与直观的几何图像联系起来，帮助读者理解“为什么”和“是什么”。 3. 注重计算技巧： 详细讲解了如矩阵求逆、特征值计算、Jordan分解构造等核心计算方法。 通过系统学习本书内容，读者将能够熟练运用线性代数工具解决工程、物理、计算机科学等领域中的线性系统问题，并具备进一步学习泛函分析和微分几何的坚实基础。
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