Differential and Integral Calculus pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Landau, Edmund/ Hausner, Melvin (TRN)/ Davis, Martin (TRN)

出品人:

页数:372

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价格:358.00元

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isbn号码:9780821828304

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《现代分析学基础：从集合论到拓扑空间》 图书简介 本书旨在为读者构建一个扎实、严谨的现代分析学知识体系，重点聚焦于数学分析的核心基石——集合论、度量空间以及拓扑学的基本概念和理论框架。它并非一本侧重于传统微积分运算技巧的教材，而是深入探究这些概念在更抽象、更广阔的数学结构中如何运作的理论专著。 第一部分：严谨的分析基础——集合论与逻辑 本书的开篇部分将系统性地回顾并深化读者对数学语言的理解，为后续的分析奠定坚实的逻辑基础。 第一章：集合论的公理化基础 本章从集合论的公理系统（以ZFC为蓝本，但侧重于直观理解与应用）出发，严格定义集合、关系、函数。我们将详细讨论朴素集合论的矛盾，引出公理化的必要性。重点内容包括：外延性公理、空集公理、配对公理、并集公理以及幂集公理。随后，我们将进入一个至关重要但常被传统教材略去的部分：选择公理（Axiom of Choice, AC）及其等价命题——良序定理和Tychonoff定理（在拓扑部分会再次引用）。我们探讨了在没有选择公理的系统中，数学结构会发生何种变化，帮助读者理解这些基础公理的“力量”所在。 第二章：序关系、基数与构造 在确立了集合的框架后，本章专注于集合的“大小”和“顺序”。我们详细定义了偏序集和全序集，并引入了戴德金分割来严格构造实数集 $mathbb{R}$。随后，我们转向集合的基数理论。自然数集的构造（冯·诺依曼序数）被清晰阐述。通过康托尔定理和对角线法，我们证明了不可数无穷的存在性，并引入了可数基数 $aleph_0$ 和连续统基数 $mathfrak{c}$ 的概念。本章的难点在于区分良序集和良排序集，并利用序关系来构建更复杂的数学对象，为分析学中对序列和函数的排序提供严谨的背景。 第二部分：度量空间的构建与收敛性 在坚实的集合论基础上，本书迈入现代分析的核心——对“距离”和“邻近性”的抽象化。 第三章：度量空间的定义与基本性质 本章的核心是度量（Metric）的引入，它取代了传统微积分中对欧几里得距离的依赖。我们形式化定义一个度量空间 $(X, d)$，并详细探讨了基本性质，如三角不等式的几何意义。随后，我们定义了开球、闭球和邻域，并利用这些概念来重新定义拓扑概念，如开集和闭集，展示度量诱导拓扑的机制。 第四章：收敛性、完备性与序列 在本章中，我们首次将“极限”的概念提升到抽象空间的高度。一个序列 ${x_n}$ 在度量空间中收敛的定义被精确给出。我们将重点放在柯西序列的概念上，并论证了完备性（Completeness）作为保证柯西序列总能收敛的关键性质。 核心内容：完备性 我们详细证明了实数集 $mathbb{R}$ 的完备性（是其作为分析基础的关键特性）。然后，我们研究了在一般度量空间中构造完备空间的常用方法——完备化（Completion），并利用Cantor-Bendixson定理来探索一些非完备空间（如区间上的有理数集）的结构。 第五章：连续性、等距与压缩映射 我们使用邻域的概念来定义函数在度量空间之间的连续性，避免了 $epsilon-delta$ 语言的过度依赖，转而关注拓扑结构如何决定连续性。本章的重头戏是Banach不动点定理（压缩映射原理）。我们详细证明了这个定理，并展示了其在求解微分方程初值问题中的强大应用，这体现了理论分析与应用数学的紧密结合。 第三部分：拓扑学的视角——空间的本质结构 本书的最后部分将度量空间的限制剥离，转向更一般的拓扑空间，这是现代数学结构研究的终极抽象框架之一。 第六章：拓扑空间及其构造 本章从一个更基础的公理系统出发定义拓扑空间，即定义开集的集合族满足的三个公理。我们讨论了如何从任何集合 $X$ 构造出多种不同的拓扑，例如：余有限拓扑（Cocountable/Cofinite Topology）、离散拓扑和不可分拓扑（Indiscrete Topology）。我们展示了度量诱导拓扑是满足这些公理的特例。 第七章：拓扑空间的连续性与同胚 连续性在拓扑空间中被定义为原像下开集仍是开集，这比度量空间中的定义更为抽象。我们引入了开/闭映入和拓扑基的概念，这些是研究局部结构的关键工具。随后，我们定义了拓扑同胚（Homeomorphism），强调它才是保持空间“形状”或“本质结构”的理想映射，而非等距变换。 第八章：连接性与紧致性 本章探讨了空间的整体属性。 连通性（Connectedness）： 我们引入了路径连通和连通的概念，并证明了在 $mathbb{R}^n$ 中，开集的连通性与路径连通性是等价的。 紧致性（Compactness）： 这是分析学中最强大的概念之一。我们从开覆盖的有限子覆盖定义（拓扑定义），并证明了它在度量空间中等价于序列紧致性，并最终证明了Heine-Borel定理（在有限维欧氏空间中，有界闭集是紧致的）。紧致性理论贯穿了整个泛函分析，本书在此奠定坚实的基础。 总结与展望 本书不涉及黎曼积分的细枝末节，不深入傅里叶级数或勒贝格积分的细节，而是将分析学的舞台从 $mathbb{R}^n$ 扩展到了抽象集合，为读者在后续学习泛函分析、偏微分方程理论或微分几何时，提供一个无懈可击的理论准备。读者将掌握分析的“语言”和“思维方式”，而不是简单的计算技巧。

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这本《泛函分析导论》简直是为我这种数学基础还算扎实，但一直对抽象泛函空间感到头疼的读者量身定做的。作者在引介开端时，并没有急于抛出那些令人望而生畏的公理和定义，而是花了大量篇幅用非常具象的例子来阐述为什么我们需要这些工具。比如，他对 $L^p$ 空间的引入，不仅仅是给出定义，而是通过对傅里叶级数收敛性研究的深入挖掘，一步步引导我们认识到为什么完备性在泛函分析中如此关键。书中的推导过程详略得当，每一步的逻辑链条都清晰可见，仿佛作者正坐在我身边，耐心地为我梳理着思绪。尤其欣赏的是，它对算子理论的探讨，从有界线性算子到紧算子，再到谱理论的初步介绍，结构安排得极其合理，使得读者可以沿着一条平滑的上升曲线逐步掌握核心概念。读完前三章，我感觉之前那些在其他教材中模糊不清的 Lebesgue 积分与度量空间之间的联系，一下子变得清晰透彻。这本书的深度足以让研究生满意，但其行文的温度又恰到好处地照顾了高年级本科生的接受程度，是一本难得的平衡之作。

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这本《数值分析方法与算法实现》是我近年来接触到的关于数值计算领域最为实用和全面的教材之一。我尤其欣赏其对算法稳定性和收敛性的探讨，这一点在很多入门书籍中往往被轻描淡写。书中对线性方程组的解法，从高斯消元法的误差分析，到迭代法如雅可比和高斯-赛德尔的收敛速度对比，都给出了非常详尽的数值实验结果佐证。作者在讨论插值和拟合时，巧妙地引入了最小二乘法的概念，并将其与正则化方法（如岭回归的雏形）联系起来，展示了理论如何应对现实世界中的病态问题。此外，对于常微分方程的求解，它不仅限于欧拉法和龙格-库塔法，还深入探讨了多步法的稳定域问题，这一点对于需要进行长期动力学模拟的读者至关重要。全书的结构清晰地体现了“理论构建—算法设计—误差分析—代码实现”的完整闭环。虽然书中涉及的编程语言示例（似乎是 MATLAB 和一些伪代码）略显陈旧，但其对算法思想的阐述是跨越时代的，任何一个想深入了解数值计算内核的工程师或科学家都会从中受益匪浅。

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接触《拓扑学与几何学基础》这本书，纯粹是因为我需要一本能帮助我理解现代微分几何中“流形”概念的桥梁书。这本书并没有采取传统的从集合论出发的、过于僵硬的定义方式，而是采用了一种非常“几何化”的视角。作者似乎更关注于从直觉和可视化入手，比如，在引入拓扑空间时，它用了大量的例子来解释开集和邻域的直观意义，而不是直接罗列闭集和补集的性质。关于连通性和紧致性的讨论尤为精彩，它借助了路径连通性和局部紧致性的图像来辅助理解，这对我这个空间想象能力较弱的人来说，极大地降低了入门的难度。至于几何部分，对黎曼几何的初步介绍，特别是对张量概念的引入，处理得相当优雅，避免了过早地陷入复杂的微分形式的计算。总的来说，这本书的叙述风格非常“人性化”，更像是一位经验丰富的导师在循循善诱，而非冷冰冰的数学文本。它成功地搭建了从初等几何到现代抽象结构之间的那座关键的桥梁，让复杂概念变得触手可及。

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我不得不承认，我在翻阅《经典数论：哥德巴赫猜想到解析方法》之前，对解析数论的畏惧感由来已久。这本书成功地将数论的“猜想之美”与分析的“工具之利”完美地结合在了一起。作者的叙事手法极具感染力，他没有一开始就展示筛法或狄利克雷级数的威力，而是先详细回顾了哥德巴赫猜想和孪生素数猜想的历史脉络，营造出一种强烈的、需要强大工具来攻克的氛围。随后，在介绍维诺格拉多夫三素数定理时，推导过程虽然复杂，但每一步都配有详细的注释，解释了为什么需要引入特定的三角和估计，以及这些估计的几何意义。书中对解析工具的讲解，比如波利雅-施瓦茨不等式的应用，不是孤立的，而是紧密服务于数论问题的解决。这本书的语言风格略显古典，但逻辑严密，推导细致入微，给人一种“严谨而又充满激情”的感觉。它让我深刻体会到，解析数论并非枯燥的分析计算，而是对数论世界进行深度探测的尖锐武器。

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我是在寻找一本能系统梳理现代概率论基础的教材时偶然翻到这本《随机过程的统计推断》的。老实说，我对它最初的期望并不高，毕竟这个领域书籍汗牛充栋。然而，这本书的切入点却极为新颖和务实。它没有陷入纯粹的随机过程理论的泥潭，而是紧密围绕“如何从观测数据中对未知参数做出合理估计和检验”这一核心目标来构建理论体系。例如，书中对马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法的介绍，不是简单地给出算法步骤，而是深入剖析了其背后的遍历性和收敛性证明，并且配有大量的实际金融时间序列案例作为演示，这对于应用型研究者来说简直是福音。再者，本书对广义线性模型（GLM）与状态空间模型（State Space Models）的结合阐述得极为精妙，清晰地揭示了时间序列分析中隐藏的结构。文风简洁有力，没有多余的抒情，每一个定理和推论的提出都紧扣解决实际问题的需求。我特别喜欢它在每章末尾设置的“理论与实践的张力”小节，提供了许多值得深入思考的开放性问题，让人读后意犹未尽，忍不住想动手编程验证。

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