The Submanifold Geometries Associated to Grassmannian Systems pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Bruck, Martina/ Du, Xi/ Park, Joonsang/ Terng, Chuu-Lian

出品人:

页数:95

译者:

出版时间:

价格:410.00 元

装帧:

isbn号码:9780821827536

丛书系列:

图书标签:

• 微分几何
• 流形
• 格拉斯曼流形
• 子流形
• 几何学
• 拓扑学
• 数学
• 代数几何
• 微分方程
• 系统理论

好的，这是一份针对您提出的图书名称《The Submanifold Geometries Associated to Grassmannian Systems》的图书简介，其内容专注于该领域内其他相关主题的深入探讨，而不涉及原书的具体内容。 --- 图书简介：流形上的微分几何与拓扑结构 聚焦：李群、旗形空间与规范场论的交叉前沿 本书深入探讨了现代数学物理中几个核心领域——微分几何、李群理论、拓扑学以及规范场论——之间的复杂交织。我们的主要焦点在于解析如何运用这些工具来理解和描述高维空间中的几何结构，特别是那些由特定对称性约束所定义的结构。 第一部分：基础理论与代数结构 本书的开篇部分，首先对现代几何学的基石进行了梳理，为后续的复杂主题打下坚实的理论基础。 第1章：纤维丛与联络的经典理论回顾 本章首先对光滑流形上的向量丛和主纤维丛进行了详尽的阐述。我们详细分析了切丛、上切丛以及一般纤维丛的构造。在此基础上，重点深入探讨了“联络”（Connection）的概念，包括爱因斯坦-卡坦联络、黎曼几何中的列维-奇维塔联络的构造及其在张量分析中的应用。我们着重讨论了曲率和挠率张量，展示它们如何编码了流形局部几何性质的偏差。此外，本章还引入了外微分形式（Differential Forms）及其外导数运算，为后续的拓扑不变量（如德拉姆上同调）的讨论做准备。 第2章：李群、李代数与齐性空间 李群作为一类具有光滑结构和群结构的特殊流形，是理解连续对称性的关键。本章从基础出发，详细构造了典型李群，如一般线性群 $ ext{GL}(n)$、正交群 $ ext{O}(n)$、辛群 $ ext{Sp}(2n)$ 以及酉群 $ ext{U}(n)$。我们深入研究了与李群相伴的李代数，探讨了指数映射的性质及其在群的局部结构分析中的作用。随后，本章的重点转向“齐性空间”的概念，特别是利用李群作用来构造这些空间。我们将展示如何通过商空间（Quotient Spaces）来定义这些几何对象，并分析其局部和平坦性特征。 第3章：奇异性理论与奇点流形 在处理复杂的几何系统时，不可避免地会遇到非光滑点或“奇异点”。本章专门讨论了具有奇点的空间结构。我们审视了阿诺德（Arnold）对分类奇点（Classification of Singularities）的贡献，特别是围绕稳定映射的局部行为分析。随后，我们将研究如何通过“普依索（Puiseux）展开”等技术来解析局部结构，并引入“拓扑稳定性”的概念，以区分本质的几何特征和参数依赖的微小扰动。 --- 第二部分：拓扑不变量与上同调理论 几何对象的拓扑性质往往比其度量结构更稳定。本部分着重于如何利用代数拓扑工具来识别和区分不同的几何构型。 第4章：德拉姆上同调与陈类 本章是连接微分几何与拓扑学的核心桥梁。我们首先详细阐述了德拉姆上同调群 $H_{ ext{dR}}^k(M)$ 的定义及其与奇越链上同调的同构关系（德拉姆定理）。随后，我们聚焦于纤维丛的“陈类”（Chern Classes）。我们将展示如何利用曲率形式来定义第一陈类 $c_1(E)$、陈示性类 $c(E)$ 以及庞加莱对偶性在陈类计算中的作用。重点分析了这些类在区分不同向量丛时的敏感性。 第5章：规范理论中的拓扑荷 本章将拓扑概念应用于物理模型。我们讨论了规范场论（Gauge Theory）的基本框架，特别是涉及主丛上的联络。我们将重点分析“规范荷”（Gauge Charges）的拓扑起源，包括实例研究如汤姆斯-西蒙斯理论（Chern-Simons Theory）中的整体荷。我们将展示如何通过霍普夫不变量（Hopf Invariant）或特征类来量化场配置的拓扑性质，并探讨这些不变量如何保持在规范变换下不变性。 --- 第三部分：特定几何结构的构造与应用 本部分将理论工具应用于具体的、具有高度对称性的几何构造中，探究它们在数学和物理中的作用。 第6章：正交群与旗形空间的几何 旗形空间（Flag Manifolds）是理解特定对称性如何作用于嵌套子空间集合的关键载体。本章集中研究与正交群 $ ext{O}(n)$ 相关的旗形空间。我们详细构建了这种旗形空间，并分析了其上的李代数结构如何分解。重点讨论了旗形空间上的“泊松结构”（Poisson Structures）和其所诱导的规范场（如Wess-Zumino-Witten模型中的边界条件）。我们利用旗形空间上的舒伯特微分解（Schubert Calculus）来研究其上奇性边界的拓扑结构。 第7章：辛几何与李超群的结构 辛几何在相空间动力学和量子场论中扮演着核心角色。本章从基础的辛流形（Symplectic Manifolds）出发，引入了泊松括号的推广——李超代数（Lie Superalgebras）的概念。我们将探讨如何将辛结构嵌入到超流形框架中，以及这种扩展如何影响动力学系统的可积性。本章还将涉及对某些特定李超群的结构分析，特别是那些在超对称理论中出现的群。 第8章：对称性的代数与动力学模型的实现 最后的章节将整合前面的几何与拓扑工具，用于分析物理系统的对称性。我们探讨了维拉索罗代数（Virasoro Algebra）在共形场论中的作用，以及它如何与更高维流形上的规范场理论相关联。我们将分析在特定几何约束下（例如，在黎曼面上的规范理论）如何自然地涌现出无限维的对称性，以及这些对称性如何决定了系统的可积性和物理可解性。 --- 本书特色： 本书的叙述风格严谨而富有洞察力，强调代数结构与几何直觉之间的联系。它避免了对简单概念的重复，而是直接深入到复杂结构的构造、不变量的计算以及这些结构在现代理论物理中的具体应用。阅读本书需要读者对黎曼几何和群表示论有扎实的预备知识。它适合于高年级本科生、研究生以及致力于纯数学和理论物理研究的科研人员参考。

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对于一个侧重于实验物理，偶尔需要查阅理论基础的工程师来说，这本书的阅读体验是极其“劝退”的，但同时又充满了无法抗拒的学术诱惑。我本意是想了解一下某些新兴的高维场论计算中涉及到的“Grassmannian”的背景知识，结果被这本书直接拉进了纯粹的、几乎没有物理图像的海洋。它的核心论点——关于如何将特定微分几何对象与这些代数结构进行精确映射——的证明过程极其冗长且依赖于读者对李群上同调的深度理解。我花了大量时间去重新温习研究生时期的拓扑课本，因为书中的许多符号和假设都没有在正文中详细展开，而是默认读者已经了然于胸。如果你期望这本书能为你提供一个快速入门的向导，那你恐怕会失望；它更像是一份精心准备的、给同行提供的“技术备忘录”，里面充满了只有领域专家才能理解的行话和捷径。我得承认，即便我只理解了其中大约三分之二的数学框架，剩下的三分之一也足以让我对该领域的前沿思考方式有了全新的敬畏。

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这本新出版的关于李群和代数几何的著作，显然是为那些在理论物理前沿，尤其是在弦理论和高维空间研究中摸爬滚打的学者准备的。我花了整整一个下午试图消化前几章的内容，它对“子流形几何”的探讨深度令人咋舌。作者似乎并未试图用平易近人的语言来介绍复杂的概念，而是直接将读者抛入了由代数拓扑和微分几何编织而成的迷宫之中。书中对某些特定对称群结构下的奇点分析，简直可以称得上是教科书级别的细致。特别是关于如何用辛几何的语言来重构经典场论的某些方面，作者展现了一种罕见的、将纯数学技巧应用于物理模型构建的敏锐直觉。我尤其欣赏它在处理非紧群上的表示论时，所采用的那种严谨但又充满创造力的论证方式。虽然这绝对不是一本能让你轻松度过周末的读物，但对于那些需要精确数学工具来突破现有物理模型限制的研究人员来说，它无疑提供了一个坚实的、充满挑战性的思想基石。这本书的脚注密度非常高，每一个引用背后似乎都隐藏着一段不为人知的学术争论，这使得阅读体验既充实又略感沉重。

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老实说，我原本以为这会是一本晦涩难懂的纯数学专著，但阅读过半后，我开始领悟到其中隐藏的某种美学。它不像某些数学著作那样冰冷、只有公式堆砌，而是有一种微妙的、音乐般的内在节奏感。作者在探讨拉格朗日子流形与某些模空间的关系时，那种从繁复的代数运算中提炼出几何直观的过程，读起来酣畅淋漓。我发现自己不得不频繁地在书本和我的笔记本之间来回切换，试图用更具象的图形来捕捉那些抽象的结构，比如对某些特定辛流形上拓扑不变量的计算，其推导过程如同精密的钟表结构，每一个齿轮的咬合都至关重要。对于那些醉心于黎曼几何和规范理论交叉领域的同仁，这本书提供的视角是极具启发性的——它迫使我们将那些习惯于四维时空的感觉抽离出来，去审视更高维度下结构如何优雅地自我组织。虽然章节间的过渡偶尔略显生硬，但整体而言，它散发着一种老派数学家对结构完美性的不懈追求。

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我通常习惯于从应用的角度去阅读理论物理书籍，但这本著作似乎完全反其道而行之，它似乎在问：“如果我们在一个纯粹的、不受物理直觉限制的几何空间中定义了这些结构，它们会导向何种数学必然性？” 这种从“是什么”（What is）到“为什么必须如此”（Why it must be so）的哲学转变，贯穿了全书。书中关于如何利用Borel-Weil理论来解释某些纤维丛结构在这些特定子流形上的截断，提供了一个极为优雅的数学视角。与其他一些侧重于构造性证明的书籍不同，这本书更侧重于揭示潜在的深层联系，即便这些联系的物理意义尚未完全清晰。我不得不承认，我读得很慢，因为我发现自己常常需要停下来，审视作者对“正则性”和“完备性”的定义，这些定义似乎比标准教科书中的定义要微妙得多。总而言之，这是一本挑战现有思维定式的作品，它奖励那些愿意深入泥潭去挖掘数学本质的读者，并承诺给出超越表象的深刻洞察。

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这本书的装帧和排版质量值得称赞，即使是处理如此复杂的数学符号，印刷出来的清晰度和间距也令人满意，这在很大程度上缓解了阅读深度内容的疲劳感。我最感兴趣的是它对于“模空间形变理论”的阐述。作者似乎在试图建立一个全新的分类体系，用以区分不同类型的子流形在极限情况下的行为。这里的论证逻辑严密得近乎苛刻，没有丝毫的模糊地带。特别是关于如何处理共形对称性如何被这些高维几何结构所“嵌入”的论述，让我对现有某些标准模型的局限性有了更深的认识。它不是一本叙事性的书，更像是一套精心设计的智力迷宫，每走错一步，都可能需要花费数小时才能回头。对于那些追求数学严谨性超过物理直觉的读者来说，这本书无疑是一座高峰，但攀登的过程对毅力和专注力的要求极高。我期待未来能有更多的研讨班围绕此书展开，因为很多精妙之处，单凭文字是难以完全捕捉的。

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