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出版者:

作者:Hyde, Arthur/ Friedlander, Susan/ Heck, Cheryl/ Pittner, Lynn

出品人:

页数:266

译者:

出版时间:2009-4

价格:$ 38.14

装帧:

isbn号码:9780325013862

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 中学数学
• 理解数学
• 学习指南
• 教育
• 学习
• 算术
• 代数
• 几何
• 预备课程

深入探究：超越基础的代数与几何思维 图书名称：超越基础：高等代数与欧几里得几何的精妙融合 图书简介 本书旨在为对数学有更深层次探索欲望的学习者，提供一个从初级概念跨越到更严谨、更抽象数学领域的桥梁。我们避开了中学数学的常见主题，例如基础的有理数运算、简单的方程求解或平面图形的面积计算，而是将焦点集中在大学预科及入门级高等数学的核心概念上，并以一种强调逻辑结构和证明方法的视角来审视几何学。 第一部分：抽象代数结构与数论的基石 本部分将引领读者进入一个全新的代数世界，这里的“数”不再仅仅是简单的整数或分数，而是具有特定运算规则的“集合”。 第一章：群论入门——对称性的代数表达 我们首先探讨群（Group）的严格定义，它要求封闭性、结合律、单位元和逆元的存在。不同于中学代数中对未知数的单纯求解，本章的核心在于理解结构。我们将详细分析二面体群 $D_n$（描述正$n$边形的旋转和反射），以及循环群 $mathbb{Z}_n$（模$n$的加法群）。重点将放在如何使用 Cayley 表格来可视化小型群的结构，并区分交换群（Abelian Group）和非交换群。我们还将引入子群、陪集（Cosets）的概念，并阐述拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）——有限群的子群阶数必须整除群的阶数——这一基础而强大的结论。 第二章：环与域——从算术到代数系统的扩展 在理解了群的单操作特性后，本章引入了环（Ring）的概念，即具备两种运算（加法和乘法）的代数结构。我们将区分整环（Integral Domain）和域（Field）。整数环 $mathbb{Z}$ 是一个重要的例子，但其性质与我们熟悉的有理数域 $mathbb{Q}$ 或实数域 $mathbb{R}$ 有本质区别。我们将分析零因子（Zero Divisors）的出现对域结构的影响。特别地，本章会深入研究多项式环 $F[x]$，其中 $F$ 是一个域。我们将探索多项式除法算法在 $F[x]$ 中的普适性，并讨论如何利用商环（Quotient Rings）来构造新的数域或代数结构，例如如何从 $mathbb{Z}$ 构造 $mathbb{Z}_p$（其中 $p$ 为素数）。 第三章：基础数论——素数的深层秘密 本章超越了简单的质数筛选，聚焦于数论在现代密码学和抽象代数中的应用。我们将严谨证明欧几里得关于素数无穷性的经典证明，并探索狄利克雷素数定理的背景。核心内容包括： 同余关系与中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）： 如何在模数互素的条件下，同时解一组线性同余方程组，并展示其在周期性问题中的应用。 欧拉函数 $phi(n)$： 定义并计算它，并将其应用于欧拉定理（Euler's Theorem），这是费马小定理的推广，是理解模幂运算效率的关键。 原根（Primitive Roots）： 探讨在哪些模 $n$ 的意义下，存在一个生成单元，使得所有与 $n$ 互素的数的幂可以覆盖所有这些数。 第二部分：欧几里得几何的严谨重构与非欧几何的探索 本部分将本书的视角从纯粹的算术结构转向空间和形状的内在逻辑，采用希尔伯特公理体系的视角来审视几何的完备性。 第四章：几何公理体系的重审——希尔伯特公理 我们不会重复计算三角形内角和为 180 度的基础证明。相反，本章着重于几何学的公理基础。我们将详细介绍希尔伯特公理体系的五个基本群（连接公理、点之间的顺序公理、角的关系公理、平行公理以及连续性公理）。我们将分析哪些公理是保证欧几里得几何成立的必要条件。例如，我们研究平行公理（Parallel Postulate）的独立性，即它不能从其他四个公理中推导出来。 第五章：非欧几何的诞生——平行公理的替代 本章是本书的亮点之一，它展示了数学的创造性：当改变一个看似不言自明的公理时，会产生完全不同却同样自洽的几何系统。 双曲几何（Hyperbolic Geometry）： 探讨洛巴切夫斯基（Lobachevsky）几何，其中过直线外一点有无穷多条直线与已知直线平行。我们将介绍庞加莱圆盘模型（Poincaré Disk Model），并解释在其中，直线实际上是圆弧，以及如何测量双曲空间中的距离和角度（角度的保形性）。 椭圆几何（Elliptic Geometry）： 研究黎曼（Riemann）几何的简化形式，其中不存在平行线（任意两条直线必然相交）。以地球表面为模型，分析“直线”（大圆）的性质，例如在球面三角形中，内角和总是大于 180 度。 第六章：射影几何——不变性与透视 射影几何（Projective Geometry）关注的是在透视变换下保持不变的性质，这在艺术透视和计算机图形学中具有重要意义。本章引入了“无穷远点”和“无穷远线”的概念，将欧几里得几何中的平行线概念统一化。我们将学习射影平面（Projective Plane）的构造，并阐述对偶性原理（Duality Principle）——在射影平面中，互换“点”和“线”的陈述，如果原陈述为真，则新陈述也为真。我们将利用透视四边形和调和比（Cross-Ratio）来分析不依赖于度量的几何关系。 结论：结构的力量 本书的目的是让读者认识到，数学不仅仅是解决实际问题的工具，更是一门关于结构、逻辑和形式美感的学科。我们通过深入研究代数结构（群、环、域）的内部规律，以及几何空间（欧氏、双曲、射影）的公理基础，展示了数学思维的深度和广度，为进入更高级的分析学、拓扑学或离散数学打下坚实的基础。

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我最近偶然翻阅了市面上一些为初中生设计的数学辅导书籍，搜寻一本能真正点亮孩子数学学习之路的读物。不少书上来就充斥着晦涩的术语和繁琐的公式，仿佛要将孩子直接推入一个未知的迷宫。孩子们本就容易对抽象的数学概念感到头疼，再遇上这样“劝退”的开篇，学习的兴趣便会被扼杀在摇篮里。我希望找到的那本书，能够像一位循循善诱的老师，用最浅显易懂的语言，将枯燥的数字和图形变得生动有趣。它应该能够抓住初中生思维的特点，将数学知识融入他们熟悉的场景，比如游戏、生活中的应用，甚至是他们感兴趣的流行文化。这样，孩子们才能在不知不觉中被数学吸引，感受到数学的魅力，而不是将其视为一项必须完成的苦差事。理想中的书籍，还会提供大量的练习题，但这些练习题不应是简单的重复，而是要有梯度，有启发性，能够帮助孩子巩固知识，同时也能拓展他们的思维，培养解决问题的能力。更重要的是，这本书应该能够帮助孩子建立起学习数学的自信心，让他们明白，数学并非遥不可及，而是每个人都能掌握的。

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说实话，给孩子找一本真正能帮助他们爱上数学的书，真是煞费苦心。市面上很多教材，尤其是给初中生看的，要么是把知识点翻来覆去地说，讲得又干又涩，让孩子一看就犯困；要么就是一股脑地丢出海量的习题，让孩子淹没在题海里，结果是疲惫不堪，收效甚微。我一直在寻找一本能够真正“对话”初中生的书。它需要有温度，有故事，能够用孩子能理解的语言，甚至是一些幽默的段子，来解释那些一开始听起来很吓人的数学概念。我希望这本书能像一位亦师亦友的长者，耐心引导，而不是生硬灌输。它应该能够揭示数学背后的逻辑，让孩子明白这些公式、定理是怎么来的，它们能解决什么样的问题。而且，我希望它能强调“理解”而非“死记硬背”，通过生动的例子和循序渐进的引导，让孩子真正融会贯通。如果这本书还能提供一些拓展性的思考题，或者是一些数学史上的趣闻轶事，那就更完美了，毕竟，让孩子感受到数学的博大精深和历史传承，也是非常重要的。

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我最近为一个初中生寻找一本合适的数学学习读物，希望能帮助他更好地理解课程内容，同时也能激发他对数学的兴趣。在浏览了众多书籍后，我发现很多同类书籍要么过于理论化，充斥着令初中生望而生畏的专业术语和抽象概念；要么就是简单地堆砌大量的例题和习题，缺乏系统性的讲解和深入的分析，难以帮助学生真正掌握知识的精髓。我理想中的数学读物，应该能够以一种更加生动、有趣、贴近学生生活的方式来呈现数学知识。它应该能够将抽象的数学概念与实际生活中的例子联系起来，让学生体会到数学的实用性和趣味性。例如，在讲解代数时，可以引用一些生活中的购物场景、旅行规划等；在讲解几何时，可以结合建筑设计、艺术创作等。同时，这本书还应该注重培养学生的数学思维能力，鼓励他们独立思考、分析问题、解决问题，而不是被动地接受知识。一套好的数学读物，应该能够让孩子在轻松愉快的氛围中，逐步建立起对数学的自信心，并爱上这门学科。

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作为一个多年的家长，我深知在孩子成长过程中，如何引导他们克服对某些学科的畏难情绪是一项艰巨的任务。特别是数学，很多孩子在小学阶段还算轻松，一旦进入初中，代数、几何、函数等概念接踵而至，难度系数瞬间攀升，不少孩子开始出现“数学焦虑”。市面上充斥着各种数学教辅，但良莠不齐，很多都只停留在知识点罗列和习题堆砌的层面，缺乏深入浅出的讲解和真正能引起学生共鸣的教学方式。我一直在寻找一本能够“软着陆”初中数学的学习材料，它不应该是一本冷冰冰的教科书的补充，而更应该像是一位经验丰富的导师，能够捕捉到学生在学习过程中的困惑点，并提供行之有效的解决方案。这本书应该能够从孩子的视角出发，用他们能够理解的语言，循序渐进地剖析复杂的数学概念，让他们明白“为什么”和“怎么做”。它应该能够帮助孩子构建清晰的知识体系，而不是零散的碎片化记忆。我相信，好的数学读物，能够点燃孩子对数学的兴趣，让他们主动去探索，去发现，去享受数学带来的逻辑之美。

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作为一位关心孩子学习的家长，我一直在寻找一本能够真正帮助初中生构建扎实数学基础，同时又能培养他们学习兴趣的书籍。许多市面上的数学辅导材料，往往过于注重应试技巧，内容枯燥乏味，充斥着大量的公式和解题步骤，而忽视了对数学概念的深入理解和思维能力的培养。我期待的书籍，应该能够以一种更具启发性和互动性的方式来呈现数学知识。它不应只是简单地罗列知识点，而应该能够通过生动形象的语言、贴近生活的实例，以及引人入胜的案例，来揭示数学的魅力和应用价值。理想的书籍，能够帮助孩子从“为什么学”和“怎么学”两个层面入手，引导他们主动去探索数学的本质，而不是被动地接受。它应该鼓励孩子独立思考，勇于提问，并在解题过程中培养逻辑思维能力和解决问题的能力。此外，一本好的数学读物，还应该能够适当地引入一些数学史、数学家的故事，或者一些数学谜题，从而拓宽孩子的视野，激发他们对数学的无限好奇心和求知欲。

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