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作者:Manhattan Gmat Prep

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isbn号码:9780981853345

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深入解析代数与数论的经典教材：《高等数学中的基本运算与结构》 本书特色与定位： 《高等数学中的基本运算与结构》是一部面向理工科本科生、研究生以及数学爱好者的高级教材。它旨在系统、深入地探讨数学分析、线性代数和抽象代数等核心领域中的基础概念、关键定理及其相互联系。本书的编写立足于严谨的数学逻辑，力求在保持数学深度与广度的同时，兼顾清晰的阐述和丰富的应用示例，帮助读者建立起坚实的数学思维框架。我们相信，真正的数学素养建立在对基本运算的精确掌握和对结构本质的深刻理解之上。 第一部分：微积分与分析的基础——运算的精确性 本部分将带领读者重温并深化对函数、极限、连续性和导数的理解，并将其提升至更抽象的分析层面。 第一章：极限的严谨定义与收敛性探讨 (The Rigor of Limits and Convergence) 我们从柯西-魏尔斯特拉斯（Cauchy-Weierstrass）的 ε-δ 语言出发，对极限的概念进行彻底的、无懈可击的论证。重点分析序列的收敛性（包括单调收敛定理、柯西序列）和函数的连续性（一致连续性、介值定理的严格证明）。特别地，本章会深入探讨无穷级数（包括幂级数和傅里叶级数）的收敛判据，如拉贝判别法、比值判别法，并引入更高级的阿贝尔判别法。 第二章：导数、积分与微积分基本定理的重构 (Derivatives, Integrals, and the Rebuilding of Calculus) 本章不仅复习了求导法则，更侧重于导数的几何和物理意义的深化，例如曲线的曲率、弧长以及极值点的分类。在积分方面，本书抛弃了初级教材中仅限于黎曼积分的讨论，转而全面介绍黎曼-斯蒂尔切斯积分（Riemann-Stieltjes Integration）。我们将详细论证微积分基本定理的扩展形式，并探讨勒贝格积分（Lebesgue Integration）的引入，为读者理解泛函分析打下基础。 第三章：多元微积分与矢量分析 (Multivariable Calculus and Vector Analysis) 本部分拓展至多维空间。重点涵盖偏导数、方向导数和梯度，以及隐函数定理和反函数定理的严格证明。矢量分析部分，我们将深入研究格林公式、斯托克斯公式和高斯散度定理，并展示这些定理在物理场论（如电磁场）中的核心作用。 第二部分：线性代数——结构的基石 线性代数是理解现代科学和工程的语言。本部分专注于矩阵、向量空间以及线性变换的结构化视角。 第四章：向量空间与线性映射的抽象化 (Abstract Vector Spaces and Linear Maps) 本书将向量空间的概念推广到任意域上的模（Modules over a field）。我们将详细分析子空间、商空间、基、维数等基本概念。重点在于线性映射的核（Kernel）和像（Image）的性质，以及同构定理（Isomorphism Theorems）在向量空间层面的应用。 第五章：矩阵理论与对角化 (Matrix Theory and Diagonalization) 矩阵被视为线性变换在特定基下的表示。本章深入探讨行列式的计算与性质，重点分析特征值和特征向量的求解。关键内容包括矩阵的相似变换、对角化条件（Jordan标准型），以及在不可对角化情况下如何利用Jordan形式简化矩阵运算。我们还将讨论正交矩阵和厄尔米特矩阵的性质。 第六章：内积空间与正交性 (Inner Product Spaces and Orthogonality) 本章引入内积的概念，将几何直觉引入抽象空间。我们将详细阐述施密特正交化过程，并深入探讨正交投影的性质。在线性代数应用中，本章会重点讲解最小二乘法（Least Squares Method）的几何意义，以及奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）在线性回归和数据压缩中的关键作用。 第三部分：代数结构——抽象的洞察 本部分是本书的难点和亮点，旨在引导读者从具体运算跳脱出来，把握代数结构背后的统一规律。 第七章：群论入门与基本定理 (Introduction to Group Theory and Fundamental Theorems) 群论是研究对称性和不变性的数学分支。本章从二元运算、封闭性、结合律、单位元和逆元等基本公理开始，构建群的初步概念。重点分析循环群、二面体群（Dihedral Groups）和对称群（Symmetric Groups）的具体实例。关键定理包括拉格朗日定理、陪集分解以及群的同态与同构定理（第一、二、三同构定理）。 第八章：环与域的代数结构 (Algebraic Structures of Rings and Fields) 在群论的基础上，本章引入具有两种运算的代数结构——环。我们将区分交换环、整环和域。重点讨论理想（Ideals）的概念，以及商环（Quotient Rings）的构造。尤其对多项式环 $F[x]$ 进行深入分析，讨论其在构造扩域（Field Extensions）中的核心地位。 第九章：模块化算术与数论基础 (Modular Arithmetic and Number Theory Fundamentals) 虽然本书定位为高等数学，但本章将严谨地重温数论的基础，并将其置于抽象代数的框架下进行审视。我们将详细阐述模 $n$ 的运算、欧拉定理和费马小定理的群论证明。重点分析中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）的环论解释，以及欧几里得算法在扩展欧几里得算法（求解线性同余方程）中的应用。 应用与展望： 本书的最后一部分将探讨这些基本运算和结构在现代学科中的桥梁作用： 1. 数值分析中的稳定性： 如何利用矩阵的条件数和SVD分析数值计算的稳定性。 2. 微分方程的求解： 如何利用矩阵的特征分解求解线性常微分方程组。 3. 信息论与编码： 伽罗瓦域（Galois Fields）在现代密码学和纠错码中的实际应用。 读者对象： 学习微积分、线性代数、离散数学的理工科大一至大三学生。 需要深入理解数学基础以进行科学研究的研究生。 渴望系统性重温和巩固数学核心概念的专业人士。 通过研读《高等数学中的基本运算与结构》，读者将不再满足于“如何计算”，而是能够真正理解“为什么如此计算”以及不同数学分支之间的内在联系。本书提供的不是速成技巧，而是持久的数学洞察力。

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这本书的语言风格给我带来了一种轻松愉快的学习体验。作者在解释一些比较抽象或复杂的数学概念时，并没有使用过于生涩的学术术语，而是尽量采用更加通俗易懂的语言，甚至偶尔还会穿插一些幽默的比喻，让原本枯燥的数学学习过程变得有趣起来。我尤其喜欢它在例题讲解中，那种如同和一位经验丰富的老师在面对面交流的语气，没有高高在上的说教，而是充满了鼓励和引导。它似乎深知考生的不易，所以在讲解过程中，会时常提醒一些容易出错的地方，或者指出一些快速解题的技巧。这种亲切自然的语言风格，让我感觉自己不是在被动地接受信息，而是在主动地参与到学习过程中，大大降低了我的畏难情绪，让我更有动力去深入研究每一个知识点。

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这本书在知识点的覆盖和精细程度上给我留下了深刻的印象。我翻阅了一下目录，发现 GMAT 数学常考的几乎所有知识点都涵盖其中，而且每个知识点下面的讲解都相当深入，不是那种点到为止的概括。特别是对于一些容易混淆的概念，比如排列组合与概率的计算，或者不同类型几何图形的性质，书中都做了非常详细的区分和对比，并通过大量的实例来巩固理解。我惊喜地发现，书中在每个知识点讲解后，都提供了一些不同难度级别的练习题，从基础巩固到拔高训练，循序渐进，让我在掌握知识点后能够立刻进行实操。这种全方位、多层次的学习设计，让我觉得这本书不仅仅是知识的罗列，更是 GMAT 数学备考的一整套解决方案，能够帮助我系统性地提升解题能力。

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这本书在逻辑递进方面做得相当出色。从最基础的数论概念，到概率统计，再到几何图形，每一个章节的难度和深度都是层层递进的，仿佛为读者搭建了一个由浅入深的学习阶梯。我特别欣赏它在引入新概念时，总是会先回顾与之相关的旧知识，或者通过一些贴近实际的例子来引发思考，让抽象的数学理论变得生动起来。而且，我注意到，书中不仅仅是罗列公式和定理，更注重讲解这些概念背后的逻辑和它们在 GMAT 考试中的应用方式。比如，在讲解不等式时，它并没有简单地给出不等式的解法，而是强调了在不同场景下如何构建不等式，以及如何通过不等式来排除选项。这种注重理解和应用的学习方式，对于我来说是备考的关键，因为 GMAT 考试往往考察的是对知识点的灵活运用，而不是死记硬背。

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这本书的排版布局给我留下了非常好的印象。打开书页，首先映入眼帘的是清晰的章节划分和目录结构，这为我理清 GMAT 数学各个知识点的脉络提供了极大的便利。每章的开头都有一个简洁明了的概述，让我能快速了解本章的学习目标和重点。内容呈现方面，作者似乎非常有条理地将复杂的数学概念分解成易于理解的单元，并且在每个单元后都配有适量的例题。我注意到例题的讲解步骤非常详细，从基础概念的引入，到解题思路的推演，再到最终答案的得出，每一步都解释得清清楚楚，即使是对于某些我曾经感到困惑的知识点，也能通过这些详尽的解析恍然大悟。这种循序渐进的学习方式，对于像我这样数学基础不算特别扎实的考生来说，无疑是福音。我期待着通过这种细致入微的讲解，能够真正将 GMAT 数学所需的各种概念内化于心。

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这本书的外观设计给我留下了深刻的第一印象，它采用的是一种相当经典且沉稳的风格，封面色彩搭配和谐，字体选择也很有质感，很容易在琳琅满目的备考书籍中脱颖而出。拿到手里，厚度适中，装帧牢固，翻阅起来手感不错，这对于需要频繁查阅的备考书籍来说非常重要。我尤其喜欢它纸张的触感，不是那种过于光滑的反光纸，而是略带哑光，印刷清晰，即使长时间阅读眼睛也不会觉得疲劳。整个包装和质感都透露出一种专业和严谨，让人对接下来的备考过程充满了信心。尽管我还没有开始深入阅读内容，但仅从它给人的物理感受和视觉体验来看，这本书就已经成功地吸引了我，让我对接下来的 GMAT 数学知识的系统梳理充满了期待。我甚至开始想象，在某个安静的午后，阳光洒在书页上，我沉浸在这本书所构建的数学世界里，一点点攻克难题，那种感觉一定很充实。

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