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出版者:

作者:Lehrer, Gustav I./ Taylor, Donald E.

出品人:

页数:302

译者:

出版时间:2009-8

价格:$ 88.14

装帧:

isbn号码:9780521749893

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 群论
• 反射群
• 李群
• 表示论
• 几何学
• 代数
• 拓扑学
• 不变论
• 组合学

好的，这是一份关于《Unitary Reflection Groups》的图书简介，内容侧重于阐述该主题在数学和物理学中的重要性、核心概念及其应用领域，而非重复书名本身。 --- 《The Symmetries of Structure: A Deep Dive into Finite Complex Reflection Groups》 内容概述： 本书深入探讨了有限复反射群（Finite Complex Reflection Groups）的结构、性质及其在代数、几何和理论物理学中的广泛应用。该领域的研究跨越了抽象代数的深刻理论与具体的几何构造，是理解对称性在更高维度空间中如何运作的关键。本书旨在为具备扎实代数基础和初步几何背景的研究人员和高级学生提供一个全面的参考框架，详细阐述这些群体的结构定理、特征多项式以及它们与李代数、晶体学和霍夫代数等前沿课题的深刻联系。 核心主题与结构： 第一部分：复反射群的基础 本部分首先建立有限复反射群的严格数学基础。我们将从反射群的一般定义出发，重点区分实反射群（Weyl群）与复反射群。讨论的核心在于“反射”的概念在复空间中的推广，以及如何利用根系理论来刻画这些群。 根系与反射的推广： 详细分析复反射群的根系结构，包括如何定义简正根系和根格。我们探讨了Moran-Shephard-Todd定理，该定理为识别有限复反射群提供了关键的分类工具。 Shephard-Todd 理论的深化： 本书对Shephard-Todd定理进行了细致的剖析，特别是其在构造群生成元上的应用。重点讨论了生成反射集及其基本域的几何意义。 群的构造与表示： 介绍如何通过基本反射生成整个群，并详细研究这些群的复杂特征。对群的阶、子群结构以及它们在复向量空间上的忠实表示进行了深入分析。 第二部分：代数结构与不变式理论 本部分转向复反射群在不变式理论中的核心角色。不变式理论是研究函数在群作用下保持不变的性质的领域，而反射群提供了最基本且最富有结构的实例。 不变式环： 详细阐述了Polynominal Ring $P$ 在群 $G$ 作用下的不变式子环 $P^G$ 的代数结构。关键概念包括Cohen-Macaulay性质、自由生成元的存在性及其次数。 因子环与霍夫代数： 深入探讨了商空间 $P/I^G$（其中 $I^G$ 是不变式素理想）的结构，并将其与群的霍夫代数结构联系起来。本书对“Poincaré-Birkhoff-Witt (PBW)”型代数的构造在复反射群中的具体表现进行了细致的推导。 自由模性质： 论证了Poincaré对偶定理（Shephard-Todd-Chevalley定理）在复反射群中的推广形式，证明了不变式环是其基本不变式多项式的自由模。 第三部分：几何与拓扑联系 反射群的本质在于其对空间的对称作用，这自然地引出了深刻的几何和拓扑结构。 基本域与分层： 几何上，反射群通过其作用定义了空间的划分。本书详细研究了群的基本域（Fundamental Domain）的构造，以及反射平面在空间中形成的复杂分层结构。 胞腔复形（Arrangement of Hyperplanes）： 深入分析了反射群所定义的超平面胞腔复形（Arrangement of Hyperplanes）。重点讨论了胞腔复形的连通性、对偶图结构，以及它们在组合拓扑学中的应用。 Weyl维度公式的推广： 虽然Weyl维度公式主要针对Weyl群，但本书探讨了其在更一般的复反射群背景下的推广和局限性，特别是与奇点理论的联系。 第四部分：在物理学与表示论中的应用 本书最后一部分聚焦于这些群在现代数学物理中的实际应用，特别是它们在量子场论和晶体学中的作用。 晶体学与高维对称性： 讨论了复反射群在描述更高维空间中晶体结构（如准晶体）中的重要性。展示了如何利用这些群来分类高维空间中的点群和空间群。 李群与李代数的分解： 阐述了半单李代数结构与有限反射群之间的固有联系。重点分析了Weyl群如何决定了李代数的根系和Cartan矩阵，并过渡到复反射群在相关李群结构中的潜在角色。 霍夫代数与量子群： 探讨了复反射群的量子化版本——特别是量子群——与Shephard-Todd代数之间的深刻联系，这对于理解量子对称性至关重要。 本书的特色： 本书的叙述风格严谨且详尽，力求在抽象理论的严密性与具体实例的可操作性之间找到平衡。书中包含了大量精选的习题和推导过程，帮助读者深入掌握复杂的代数技术。对于那些希望理解对称性如何在复杂系统（从代数几何到弦理论）中显现其基本结构的读者而言，本书是不可或缺的工具。它不仅仅是关于群的结构，更是关于“结构如何对称地组织自身”的深刻洞察。 ---

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我最近看到一本名为《Unitary Reflection Groups》的书，虽然我还没有开始阅读，但仅凭这个书名，我就被它所吸引。我对这个数学分支一直充满好奇，但我目前掌握的知识可能还不足以深入理解其中的奥秘。我设想这本书的作者是一位在该领域有着卓越成就的数学家，能够将如此抽象的概念以一种既严谨又不失启发性的方式呈现出来。我个人更倾向于那些能够循序渐进地引导读者，从基础概念出发，逐步构建起对整个理论体系的理解的书籍。 我希望这本书能在我学习更高级的数学概念时，提供坚实的理论基础，或许能帮助我看到它们在物理学，尤其是量子力学或粒子物理学中的潜在应用。 这并不是说我期望这本书包含具体的物理应用案例，而是说，理解单位反射群的结构和性质，可能有助于我从更深层次上把握某些物理理论的数学骨架。 如果这本书能够以一种易于理解的方式介绍复杂的数学结构，我会感到非常欣慰。 我对那些能够激发思考，让我在阅读后对某个数学领域产生更浓厚兴趣的书籍情有独钟。

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《Unitary Reflection Groups》这个书名，听起来就充满了数学的严谨与优雅。我目前还在攻读博士学位，我的研究方向与代数几何有着密切的关联，所以我特别关注那些能够为我提供新的视角和工具的书籍。我猜想，这本书很可能深入探讨了单位反射群的表示论，这对于理解代数簇的对称性以及它们之间的相互作用至关重要。 我希望它能涵盖一些关于这些群的生成元和关系，以及它们在代数几何中的具体构造。 例如，它们是否与某些特殊的代数簇（如某些类型的簇或它们的商空间）有着内在的联系？ 我对书中是否会提及一些现代研究中正在使用的特定类型的单位反射群，或者它们是否能被用来构造新的数学对象，感到非常好奇。 此外，我也会非常留意书中引用的参考文献，这通常能反映出作者的研究深度以及这本书在数学界的影响力。 如果它能帮助我解决一些我在研究中遇到的技术难题，那将是无价的。

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这本书的书名是《Unitary Reflection Groups》，但我还没有来得及阅读它，所以无法对其内容进行评价。不过，仅仅从书名来看，它似乎指向了一个非常具体且具有挑战性的数学领域。我猜想，这本书的读者群很可能是在代数、群论、几何或相关领域有深入研究的学者、研究生，甚至是高年级本科生。对于这样一本专业性极强的书籍，我期待它能以严谨的数学语言为基础，清晰地阐述单位反射群这一概念的定义、性质和基本结构。 我对它是否会包含这些群的分类、它们在几何中的作用（例如，作为对称群或变换群），以及它们与更广泛的代数结构（如李代数或代数群）之间的联系抱有浓厚的兴趣。 我也希望书中能提供足够的背景知识铺垫，以便新接触这个领域的读者能够逐步理解。 对于像我这样的潜在读者而言，一本优秀的专业书籍应该具备的特质包括：定理的证明是否清晰透彻，例子的选择是否恰当且能帮助理解抽象概念，以及章节之间的逻辑过渡是否顺畅。 我会关注书中是否提供了相关的研究前沿，或者是否对一些经典结果进行了新的阐释。 即使是初步的了解，通过书名也能感受到作者在这一领域的深厚造诣。

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我是一名业余数学爱好者，平时喜欢阅读一些数学科普读物，但偶尔也会被一些专业性较强的书名所吸引。《Unitary Reflection Groups》这个书名对我来说，既神秘又充满挑战。我猜测这本书的语言风格可能会比较学术化，可能充斥着大量的符号和公式，这对于我这样的读者来说，或许是一个不小的门槛。 但是，我仍然对它抱有一丝期待，或许书中会有一些关于单位反射群在几何学中的直观解释，例如它们如何作用于空间，或者它们如何构成特殊的对称性。 我也希望，即使内容非常专业，作者也能在书的开篇或者某个章节，对核心概念进行一些背景介绍，帮助非专业人士建立初步的认识。 如果书中能够配有一些精美的几何图形，来可视化这些抽象的数学结构，那将是极大的加分项。 我相信，即使我无法完全理解其中的所有技术细节，但能够通过阅读这本书，窥探到数学中一个如此精妙的领域，就已经是一种收获了。

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作为一名数学研究人员，我经常会搜寻能够拓展我理论视野的书籍。《Unitary Reflection Groups》这个书名立即引起了我的注意，因为我目前的研究课题涉及一些与群论和几何学交叉的领域。我猜测这本书可能会深入探讨单位反射群在对称性理论中的角色，例如它们是否与某些特殊的数学结构（如代数簇、辛流形或黎曼面）的对称性紧密相关。 我对书中是否会介绍单位反射群的分类，以及它们的代数性质（如中心、子群、商群等）抱有浓厚的兴趣。 我也期待书中能提供关于这些群如何通过反射生成，以及它们的几何解释。 此外，如果书中能够包含一些关于单位反射群的计算技巧或算法，这将对我日常的研究工作大有裨益。 我也会非常关注书中是否对一些最新的研究成果进行了评述，或者是否为未来的研究指明了方向。 对于这样的专业书籍，我更看重其内容的原创性、研究的深度以及对现有知识体系的贡献。

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