'Mappings of the Plane'

'Mappings of the Plane' pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

出版者:
作者:Harwood, Gwen/ Wallace-Crabbe, Chris (EDT)/ Kratzmann, Greg (EDT)
出品人:
页数:144
译者:
出版时间:
价格:174.00元
装帧:
isbn号码:9781847770424
丛书系列:
图书标签:
  • 几何学
  • 复分析
  • 拓扑学
  • 映射
  • 平面
  • 数学
  • 几何变换
  • 函数论
  • 共形映射
  • 数学分析
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具体描述

几何拓扑的经典回顾:对《Mappings of the Plane》以外的数学疆域的探索 本书并非对平面映射这一特定主题的深入剖析,而是对二十世纪中叶以来,几何学、拓扑学以及相关分析领域中一系列相互关联但又独立发展的核心思想进行的一次系统性回顾与整合。它旨在为读者构建一个更宏大的数学图景,这个图景超越了单一的二维空间映射结构,着重于更高维度、更抽象的结构,以及它们在连续性、形变和不变量理论中的应用。 本书的核心论点在于:理解空间的内在属性和形变的可能性,远不止于研究点集如何被一个函数从一个平面投射到另一个平面。真正的挑战在于,如何处理非线性、非度量结构,以及在不同拓扑空间之间建立稳健的同胚或连续联系。 第一部分:基础结构的重构与量化 本部分首先跳过了对特定“映射”过程的详细描述,转而聚焦于构建和分析那些构成映射的基础对象——拓扑空间本身。 第一章:从度量到拓扑的飞跃 本章没有讨论欧几里得平面上的连续变换,而是深入探讨了拓扑空间的公理化基础。我们详细审视了均匀空间(Uniform Spaces)的概念,将其视为比度量空间更一般的结构,强调了“邻近性”的抽象表达。随后,我们转向一致收敛和紧致性的更深层次分析,尤其关注在非度量环境下(例如函数空间)如何定义和验证这些关键性质。讨论了一个重要的反例:一个看似简单但却缺乏紧致性的无限维空间如何阻碍某些函数的连续延拓。 第二章:代数工具箱的引入 本章完全侧重于拓扑空间的代数不变量的构建,完全避开了对平面内具体映射路径的分析。我们重点研究了基本群(Fundamental Groups)和同调群(Homology Groups)的构造,但其应用目标是区分那些结构上无法相互映射的高维流形,例如区分不同类型的环面和更高阶的亏格曲面。详细阐述了迈耶-维托里斯序列(Mayer-Vietoris Sequence)的构造及其在计算复杂空间同调群时的强大威力,这种计算能力对于理解复杂几何对象的整体结构至关重要,与局部映射无关。 第三章:纤维丛与局部/整体的张力 本书的这一部分转向了纤维丛(Fiber Bundles)的理论。我们讨论了纤维丛如何提供一种框架,来描述空间上“局部看起来像什么”以及“整体结构如何影响这些局部视图”。重点分析了主丛(Principal Bundles)和向量丛(Vector Bundles)的分类问题,特别是陈类(Chern Classes)的引入,这些拓扑不变量(如陈示性类)是描述丛结构的关键,它们是比简单的点对点映射更深刻的内在属性的度量。 第二部分:微分几何的广阔领域 在超越了纯粹的拓扑范畴之后,本书进入了微分几何的领地,关注光滑结构和曲率。 第四章:流形上的结构 本章没有讨论平面上的参数化曲线的导数,而是专注于微分流形(Differentiable Manifolds)的定义和构造,包括光滑结构的选择问题。我们探讨了切空间(Tangent Spaces)和微分形式(Differential Forms)的理论,它们是研究流形上光滑函数梯度和积分的基础。着重讨论了流(Flows)的概念,即由向量场诱导的时间演化,这是一种动态系统的观点,而非静态的函数映射。 第五章:黎曼几何的内在视角 本书的核心分析之一是对黎曼几何(Riemannian Geometry)的深入考察。我们详尽地分析了黎曼度量的性质,并引入了测地线(Geodesics)的概念,它们是流形上“最短路径”的泛化,是几何学中关于路径和距离的根本性研究,与一般意义上的平面映射的性质相去甚远。特别是,对里奇曲率(Ricci Curvature)和截面曲率(Sectional Curvature)的详细分析,揭示了空间在各个方向上的弯曲程度,这完全依赖于流形的内在度量结构。 第六章:整体微分几何的应用:指数映射与测地线完备性 本章探讨了黎曼流形上的全局性结果。我们研究了指数映射(Exponential Map),它将切空间上的向量映射到流形上的点,是理解局部几何如何连接到整体结构的关键工具,但其关注点在于距离和曲率,而非单纯的坐标变换。此外,我们还讨论了测地线完备性(Geodesic Completeness)的条件,即所有测地线都能无限延伸的可能性,这是一个深刻的整体拓扑性质。 第三部分:分析与拓扑的交汇点 最后一部分转向了更现代化的分析工具,它们在研究几何对象的性质时起到了决定性作用。 第七章:调和分析与几何的联系 本章完全避开了对平面上函数施加的线性变换,而是探讨了拉普拉斯-德拉姆算子(Laplace-de Rham Operator)。我们研究了调和形式(Harmonic Forms)的性质,这些形式满足特定微分方程,是流形拓扑结构的一种体现(通过霍奇理论)。霍奇分解定理揭示了微分形式如何被分解为局部梯度、共边分量和调和部分,这提供了一种从分析角度理解几何拓扑不变量的强大方法。 第八章:几何分析的前沿:极值问题 本章聚焦于极值问题在几何学中的应用。讨论了最小曲面(Minimal Surfaces)的存在性、正则性和唯一性,例如皂膜的形成问题,这是一种变分问题,其解由局部曲率性质决定,而非简单的映射函数。我们还简要回顾了爱因斯坦流(Ricci Flow)的初步概念,这是现代几何分析中用以“熨平”流形曲率、探寻规范几何形态的强大动力学工具。 总结 本书提供了一条穿越二十世纪几何拓扑核心概念的非线性路径。它将读者的注意力从对具体平面点集映射的关注,导向了对空间结构、内在不变量、曲率张量以及依赖于全局结构的分析工具的深刻理解。读者将收获一个更广阔的视野,理解几何学是如何通过抽象代数和深入的分析工具来刻画和区分不同类型的空间,而不是仅仅通过观察点是如何被移动的。

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目录信息

读后感

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用户评价

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我是在一个阴雨绵绵的午后,偶然在书店的角落里发现了这本《Mappings of the Plane》。它的装帧朴素却不失格调,书脊上的烫金字体在昏暗的光线下散发出一种低调的奢华。我立刻被它所吸引,拿在手中,便感受到了一种沉甸甸的学术气息。虽然我对数学并非科班出身,但一直以来都对那些能够揭示事物本质的学科充满敬畏。这本书的书名“Mappings of the Plane”激起了我强烈的好奇心,它听起来就像是在讲述一种将事物映射到平面上的艺术,或者是一种用数学语言描绘世界的方式。我不知道书中会涉及哪些具体的数学分支,但从书名我联想到了一些诸如函数、变换、几何学、甚至可能是微积分之类的概念。我猜测,这本书可能是在探讨如何用数学的工具来理解和描述我们所处的二维世界,以及在这个世界中发生的各种动态变化。我非常期待书中能够有生动的图示和直观的解释,能够帮助我这样非专业人士也能窥探到数学的深奥之处。我希望这本书能以一种引人入胜的方式,展现数学的逻辑之美和创造力。我设想,或许书中会通过一些具体的例子,比如地图的绘制、艺术作品中的透视,甚至是自然界中的一些图案,来展示“平面映射”的实际应用。我喜欢那些能够将抽象理论与现实世界联系起来的书籍,它们能够帮助我更好地理解世界,并激发我解决问题的能力。我相信,这本《Mappings of the Plane》一定能带给我一次充实而有益的阅读体验。

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《Mappings of the Plane》这个书名,对我来说,带有一种天然的吸引力,它让我联想到那些精密的仪器和科学的测量,以及对世界无尽的探索和理解。我猜想,这本书的核心内容很可能是在深入探讨数学中关于“映射”的概念,并将其应用到“平面”这一基础的几何对象上。 我对书中是如何界定和描述这些“映射”感到非常好奇。是关于线性变换?还是更复杂的非线性映射?书中是否会涉及一些代数结构,比如群论或者向量空间,来提供描述这些映射的框架? 我个人一直对数学的抽象性和普遍性着迷,我希望这本书能够展示数学是如何成为一种强大的工具,用以理解和描述现实世界的各种现象。 我设想,书中可能会通过一些经典的数学问题,比如如何将一个图形无损地变形到另一个图形,或者如何用函数来描述物体的运动轨迹,来阐述“平面映射”的原理。 我也对书中是否会涉及到一些现代数学领域,比如计算机图形学、数据可视化,甚至是人工智能中的一些概念,感到兴奋。 如果这本书能够将这些抽象的数学概念,用生动有趣的语言和引人入胜的例子呈现出来,那么它将是一本极具价值的读物。 我希望这本书能够帮助我建立起对“平面映射”的深刻理解,并激发出我进一步探索相关数学领域的兴趣。

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《Mappings of the Plane》这本书名,在我心中激起了层层涟漪,它似乎暗示着一种关于空间转换和几何关系的深刻探讨。我个人对数学的抽象和逻辑之美有着浓厚的兴趣,而“映射”这个词,本身就带有一种连接、对应和转化的意味,这让我对书中的内容充满了期待。我猜想,这本书很可能是在研究如何用数学的语言来描述和理解平面上的各种变换,以及这些变换如何保持或改变图形的某些属性。我对此类内容十分着迷,因为它们揭示了世界运作的深层规律。我希望书中能够包含一些精妙的数学证明,展示逻辑推理的严谨和优雅,同时也希望能够通过一些生动形象的例子,将这些抽象的概念具象化,使我这样的非专业人士也能有所领悟。我设想,书中可能会涉及一些关于连续性、同胚、同构等概念,这些概念对于理解空间变换至关重要。我特别好奇,这本书是否会探讨一些“不可思议”的映射,比如如何将一个三维物体“压缩”到一个二维平面上,或者如何通过某些特殊映射来解决一些看似棘手的几何问题。我渴望通过阅读这本书,能够深入理解“平面映射”的原理,并从中获得关于空间、结构以及数学逻辑的全新认识。

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《Mappings of the Plane》这个书名,对我来说,就像是一张藏宝图的索引,指向着隐藏在二维平面之下,关于空间、形状和转化的无限可能。我常常觉得,数学中最迷人的部分,就是它能够用简洁的符号和严谨的逻辑,去描述和解释我们周围的世界,甚至那些我们无法直接感知到的抽象概念。我猜测,这本书很可能是在深入研究“映射”这个数学概念,并将其应用到“平面”这个基础的几何空间中。我对此感到由衷的兴奋,因为我一直对那些能够改变形状、保持某些属性不变的变换过程充满了好奇。我希望书中能够包含一些视觉上引人入胜的插图,用以展示那些复杂的几何变换,让那些抽象的数学公式变得更加直观和易于理解。我设想,书中或许会探讨一些关于“同态”和“同构”的思想,去理解在不同的映射下,哪些几何特性是会被保留的,哪些又是会发生变化的。我特别期待书中是否会涉及到一些历史上的数学发现,例如黎曼几何中的一些早期思想,或者在复变函数理论中关于保角映射的深刻洞见。我希望通过阅读这本书,能够获得对“平面映射”的全面而深入的理解,并从中领略到数学的精妙之处。

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这本书的封面设计就有一种引人入胜的魔力,深邃的蓝色背景上,几何图形若隐若现,仿佛隐藏着宇宙的奥秘。我拿到这本书的时候,就被它沉静而富有思想的外观所吸引。虽然我还没来得及深入阅读,但仅仅是翻阅目录,就让我对书中的内容充满了期待。我注意到书中涉及了许多我从未接触过的概念,例如“拓扑学”、“黎曼曲面”以及“分形几何”等。我猜想,这本书并非是一本轻松愉快的读物,而更像是一场智力的探险,将带领读者遨游在抽象的数学世界中,去探索那些隐藏在数字和图形背后的深刻规律。我个人非常喜欢这种挑战思维的图书,它能够激发我学习新知识的动力,并以一种全新的视角去理解世界。我特别好奇书中是如何将这些看似抽象的数学概念,与“平面”这个日常生活中熟悉的概念联系起来的。我设想,或许是通过一些精妙的插图和生动的类比,将复杂的定理变得易于理解。我期待着这本书能为我打开一扇通往数学未知领域的大门,让我能够领略到数学的无穷魅力。这本书的书名本身就充满了诗意和哲学意味,‘Mappings of the Plane’,这让我联想到空间之间的转换,点与点之间的对应关系,以及这些对应关系所能产生的各种奇妙效果。我猜测,书中可能探讨了如何用数学的语言来描述和理解我们所处的这个二维空间,以及在这个空间中发生的各种变化。我对于其中可能涉及到的函数、变换、以及它们在几何学中的应用充满了好奇。我希望这本书能够提供一些关于数学证明的思路和方法,让我能够更好地理解数学推理的严谨性。我一直对数学的抽象美感非常着迷,而这本书的书名似乎正指向了这种美感的核心。我预感,这本书将不仅仅是一本教科书,更像是一本引导读者思考的哲学著作,它会让我们重新审视我们对“平面”的认知,并从中发现隐藏的数学结构。这本书的出版,对我来说,就像是收到了一份来自遥远智者寄来的邀请函,邀请我去探索那些未知的数学疆域。

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当我第一眼看到《Mappings of the Plane》这本书时,我的脑海中立刻浮现出许多与“映射”相关的图像和概念。我联想到的是函数,是将一个集合的元素对应到另一个集合的元素,而“平面”则是一个我们熟悉的二维空间。我猜想,这本书很可能是在深入探讨数学中关于平面上的各种函数和变换,以及这些变换如何改变图形的形状、大小、方向,甚至维度。 我对书中如何用严谨的数学语言来描述这些变换感到好奇。是会涉及代数工具,比如矩阵和向量?还是会更多地侧重于几何的直观理解? 我希望这本书能够为我打开一扇通往数学世界的大门,让我能够更深入地理解数学是如何精确地描述和分析现实世界的。 我设想,书中可能会通过一些经典的几何问题,比如如何旋转、缩放、剪切一个图形,来阐释“平面映射”的基本原理。 我也对书中是否会涉及到一些更高级的概念,比如微分同胚,以及它们在物理学或工程学中的应用感到兴奋。 我相信,这本《Mappings of the Plane》将会是一次充满挑战和收获的阅读之旅,它将帮助我深化对数学的理解,并激发我探索未知领域的兴趣。

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当我第一次注意到《Mappings of the Plane》这本书时,我就被它充满数学韵味的书名所吸引。这个书名让我联想到的是,如何用精确的数学语言来描述和理解我们所处的二维平面,以及在这个平面上发生的各种“映射”关系。我猜想,这本书很可能是在探讨一些关于几何变换、函数以及它们在平面上的应用。我个人对数学的抽象性本身就有着浓厚的兴趣,而“映射”这个概念,更是将数学的逻辑性和创造力完美地结合在一起。我希望书中能够包含一些关于数学证明的详细讲解,让我能够领略到数学推理的严谨和优雅。同时,我也期待书中能够穿插一些生动的例子,比如如何用数学方法来绘制地图、设计图案,甚至模拟一些自然现象,来展示“平面映射”的实际应用价值。我设想,书中可能会涉及一些关于代数和几何相结合的概念,比如向量空间中的线性变换,或者更复杂的非线性映射。我希望通过阅读这本书,能够对“平面映射”有一个更深刻的理解,并能够运用这些数学工具去分析和解决一些实际问题。这本书对我而言,不仅仅是一次阅读,更是一次对数学世界深入探索的启程。

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当我在书架上看到《Mappings of the Plane》这本书时,第一个浮现在我脑海里的画面,便是如同在白纸上用墨水晕染出层层叠叠的痕迹,每一个点,每一个线条,都似乎在遵循着某种看不见的规律,发生着微妙而又深刻的变化。这个书名本身就充满了艺术感和探索性,让我不禁开始想象书中可能包含的奇妙内容。我猜测,这本书并非仅仅是关于二维几何的枯燥描述,而是可能在探讨一种更深层次的理解,关于空间如何被扭曲、拉伸、折叠,而又不失其内在的某些重要性质。我尤其好奇书中会如何处理那些看似不可能的变换,比如将一个圆盘无缝地映射到一个无限延伸的平面上,或者反之亦然。这让我联想到一些物理学中的概念,比如时空的弯曲,或许在这本书中,我会看到一些类似的数学思想的雏形。我也期待书中能够穿插一些历史上的重要数学家的故事,讲述他们是如何在探索“平面映射”的道路上,一步步揭示出隐藏的数学真理。我希望这本书能够以一种优雅而富有启发性的方式,带领我进入一个由数学构建的奇妙世界,让我能够用一种全新的视角去审视我们所处的空间,以及空间中的万事万物。这本书对我而言,不仅仅是一本书,更像是一次智力的冒险,一次对数学本质的深刻探寻。

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《Mappings of the Plane》这个书名,听起来就充满了探索未知领域的召唤。它让我联想到的是,如何将一个概念、一个形状,或者一个空间,通过某种规则,对应到我们熟悉的二维平面上,而这种对应关系又会揭示出什么内在的规律。我猜测,这本书很可能是在深入探讨数学中关于“映射”的本质,以及这些映射如何在平面上产生各种奇妙的效果。我对于书中如何处理那些看似不可能的变换充满了好奇,比如如何将一个连续的面无限地拉伸,或者如何将一个复杂的图形压缩成一个简单的点,而又不丢失其原有的某些重要信息。我希望这本书能够以一种引人入胜的方式,将那些抽象的数学概念具象化,通过精美的插图和生动的类比,让我能够直观地理解那些复杂的数学原理。我设想,书中或许会涉及到一些关于几何学、拓扑学,甚至可能是复变函数理论中的一些经典问题。我特别期待书中是否会揭示一些关于“对称性”、“不变量”等概念,这些概念往往是理解各种变换的关键。我希望通过阅读这本书,能够深入理解“平面映射”的魅力,并从中获得对数学深刻的洞察力。

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当我第一次看到《Mappings of the Plane》这本书的时候,我的第一反应是,这会是一本关于地理学或者测绘学的书。毕竟,“Mapping”这个词通常与地图绘制和地理空间的概念紧密相连,而“Plane”则很容易让人联想到地球的平面投影或者二维的地理信息。然而,当我仔细阅读了封底的简介,并快速翻阅了一下目录后,我意识到这本书的内容远比我最初想象的要深刻和广泛得多。目录中出现的词汇,如“同胚”、“同态”、“嵌入”、“同伦”等等,让我意识到这可能是一本偏向于数学,特别是拓扑学和几何学领域的专业书籍。这让我既感到一丝挑战,又充满了强烈的求知欲。我猜想,这本书可能在探讨如何用数学的语言来描述和研究平面上的各种连续变换以及它们所保持的性质。这可能涉及到一些非常抽象的概念,但我也希望作者能够用清晰易懂的语言和丰富的实例来解释这些概念,以便我这样的读者能够理解。我尤其好奇书中是否会讨论一些关于“空间”本质的问题,以及我们如何通过数学模型来理解和操纵这些空间。我设想,这本书或许会带领读者进行一场关于“平面”本身的哲学思考,去探索它在不同数学分支中的意义和作用。我希望通过阅读这本书,能够扩展我对数学的认知边界,并对“平面”这个概念有一个全新的、更深层次的理解。我期待这本书能够像一扇窗户,让我窥见数学世界中那些令人着迷的奥秘。

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