Naviervstokes Equations in Planar Domains pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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作者:Ben-Artzi, Matania/ Croisille, Jean-Pierre

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页数:316

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价格:0.00 元

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isbn号码:9781848162754

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• Navier-Stokes equations
• Partial differential equations
• Fluid dynamics
• Planar domains
• Mathematical analysis
• Existence and uniqueness
• Regularity
• Numerical analysis
• Boundary value problems
• Functional analysis

Navier-Stokes 方程在平面区域中的应用：流体力学前沿探索 本书导言 流体力学，作为物理学的一个核心分支，其研究对象涉及从微观尺度的分子间相互作用到宏观尺度的天气现象乃至星际介质的运动。在众多描述流体运动的数学工具中，Navier-Stokes（纳维-斯托克斯）方程无疑占据着核心地位。这组偏微分方程组，以其精妙地平衡了惯性力、压力梯度力、粘性力和外力，成为现代流体力学理论的基石。 本书聚焦于一个特定而关键的领域：Navier-Stokes 方程在二维（平面）区域内的具体行为、数值求解方法以及它们在工程和自然科学中的实际应用。虽然三维问题的复杂性常常吸引研究者的目光，但平面流的分析不仅是理解复杂三维现象的必要铺垫，它本身也对应着一类重要且具有明确物理意义的流场，例如某些类型的边界层流、薄膜流动，以及在微流控芯片设计中遇到的情况。 第一部分：理论基础与数学框架的重构 本书的第一部分致力于为读者打下坚实的数学和物理基础，重点在于如何将一般性的 Navier-Stokes 方程特化到平面几何约束下。 第一章：流体力学基本原理的复习与平面化 本章首先回顾了流体力学中关于物质导数、连续性方程（质量守恒）和动量守恒定律的矢量形式。随后，我们将深入探讨如何将这些方程投影到二维笛卡尔坐标系 $(x, y)$ 中。重点分析了速度场 $mathbf{u} = (u, v)$ 的两个分量 $u(x, y, t)$ 和 $v(x, y, t)$ 如何耦合动压力 $p(x, y, t)$。 我们详细讨论了粘性应力张量 $oldsymbol{ au}$ 在平面流中的简化形式。对于不可压缩牛顿流体，方程组收敛为： $$frac{partial u}{partial t} + u frac{partial u}{partial x} + v frac{partial u}{partial y} = -frac{1}{ ho} frac{partial p}{partial x} + u left( frac{partial^2 u}{partial x^2} + frac{partial^2 u}{partial y^2} ight) + f_x$$ $$frac{partial v}{partial t} + u frac{partial v}{partial x} + v frac{partial v}{partial y} = -frac{1}{ ho} frac{partial p}{partial y} + u left( frac{partial^2 v}{partial x^2} + frac{partial^2 v}{partial y^2} ight) + f_y$$ $$frac{partial u}{partial x} + frac{partial v}{partial y} = 0$$ 本章的精髓在于对流线函数（Stream Function, $psi$）的引入。通过定义 $u = partial psi / partial y$ 和 $v = -partial psi / partial x$，我们成功地将连续性方程自动满足，并将动量方程简化为一个关于 $psi$ 的四阶非线性偏微分方程（当考虑粘性项时）。这为后续的分析和求解提供了极大的便利。 第二章：平面流的特殊情形与分析解 在本章中，我们探究了在特定边界条件和低 Reynolds 数（$Re$）下的解析解。 Stokes 流（Creeping Flow）： 详细分析了 $Re o 0$ 时的线性化方程组。这对于理解微尺度或极高粘度流体至关重要。我们推导了平面 Couette 流（两个平行板之间的剪切流）和 Poiseuille 流（管道内的压力驱动流）的精确解，并讨论了它们在边界条件（如无滑移条件）下的唯一性。 蠕动流（Slender Body Theory）： 针对流体中细长物体的运动，我们引入了 Lighthill 和 Batchelor 的工作，探讨如何在二维框架下近似求解具有高纵横比物体的浸没流动，这在生物流体力学中具有重要意义。 边界层理论的平面化： 简要回顾 Prandtl 边界层理论，并将其应用于平面障碍物（如平板）上方，推导了平板上边界层厚度和压强梯度的简化关系。 第二部分：数值方法与计算实现 由于 Navier-Stokes 方程的非线性本质，解析解仅存在于非常理想化的几何形状和流动状态下。因此，本书的第二部分完全致力于平面区域内数值方法的构建与分析。 第三章：有限差分法（FDM）在平面 Navier-Stokes 中的应用 本章是数值方法的核心。我们系统地介绍了将偏微分方程离散化的主要技术： 1. 网格生成与插值： 讨论了均匀网格和非均匀网格的构建，以及如何处理不同阶导数的中心差分、前向差分和后向差分格式。 2. 时间推进方案： 详细分析了显式（Forward Euler）和隐式（Backward Euler）方法在处理粘性项（扩散项）和对流项（非线性项）时的稳定性与精度权衡。特别关注了 Crank-Nicolson 方案在平面流动模拟中的应用。 3. 压力-速度耦合： 针对不可压缩流动的关键挑战——如何求解压力场，我们深入探讨了 SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations) 算法及其在二维网格上的具体实现步骤。我们阐述了如何利用修正泊松方程来保证速度场满足连续性约束。 第四章：有限体积法（FVM）与控制容积技术 有限体积法因其对物理守恒律的内在保证，在工程计算中占据主导地位。本章将 FVM 框架移植到平面区域： 守恒形式的表达： 如何将 Navier-Stokes 方程重写为控制容积上的积分守恒形式。 通量计算： 重点讨论了界面上的通量（对流项和扩散项）的计算方法。对于对流项，对比了迎风格式（Upwind Schemes）与更精确的二阶格式（如 QUICK 格式）。 处理对流项： 详细分析了高 Reynolds 数下对流项带来的数值耗散和振荡问题，介绍了诸如AUSM（Advection Upstream Splitting Method）等现代高分辨率格式在二维平面求解器中的适配性。 第五章：边界条件与复杂几何的网格划分 在实际应用中，边界条件和几何形状的复杂性是平面问题求解的关键难点。 标准边界条件： 讨论了 Dirichlet（固定速度/位移）、Neumann（固定应力/热流）以及 Robin（对流换热）条件在 FDM 和 FVM 网格上的具体施加方式。 处理旋转与弯曲边界： 针对非正交网格（Curvilinear Grids）下的流体求解，我们介绍了非结构化网格上的 FVM 技术的引入，以及如何确保在弯曲边界上动量和质量的精确守恒。 共轭传热问题： 扩展到涉及固体与流体交界面（如冷却壁面或加热元件）的共轭传热问题，讨论了界面上的温度和热流连续性条件。 第三部分：面向应用的案例研究 本书的最后一部分通过具体的工程和自然现象案例，展示了前述理论和方法在平面流场分析中的实际能力。 第六章：平面流的稳定性分析与转捩 本章从理论和数值角度研究了流动的稳定性。 稳定性判据： 引入了 Orszag-Saffman 对平板边界层失稳的线性稳定性分析框架，讨论了 Klebanoff 模的演化。 数值模拟不稳定性： 探讨了如何使用高精度数值方法来“捕捉”自然发生的小扰动，模拟从层流到湍流的二维转捩过程（例如，在受限的平面通道内）。 第七章：微流控与薄膜流动仿真 平面 Navier-Stokes 方程在微尺度技术中具有不可替代的作用。 微通道中的压力驱动流： 详细建模了二维微流控芯片中，具有不同粘度液体（如血液或聚合物溶液）的界面输运问题，包括界面的移动和变形。 薄膜的铺展与回缩： 针对表面张力效应显著的薄液膜流动，我们引入了 Young-Laplace 方程，并将其与平面 Navier-Stokes 方程耦合，模拟液滴在平面上的铺展动力学，这涉及复杂的自由表面流动。 第八章：绕流与升力预测 经典的二维绕流问题（如绕圆柱体或翼型截面）是验证数值求解器性能的基准。 Karman 涡街的数值再现： 重点展示了在特定 Reynolds 数下，如何通过高精度 FVM 模拟，捕捉到平面物体后方周期性的涡旋脱落现象（Karman Vortex Street），并分析了涡脱频率与物体尺寸的关系。 二维翼型气动特性： 在不可压缩假设下，应用前面介绍的 FVM 求解器，计算绕二维翼型截面（如 NACA 系列）的升力和阻力系数，并与经典势流理论进行对比。 结论 本书旨在提供一个全面而深入的视角，阐明 Navier-Stokes 方程在二维平面约束下所展现的丰富物理现象和强大的计算潜力。通过理论推导、解析解的探索以及先进数值方法的实践，读者将能够掌握分析和解决平面流体力学问题的关键工具。

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