A Gyrovector Space Approach to Hyperbolic Geometry pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:

作者:Ungar, Abraham

出品人:

页数:194

译者:

出版时间:2009-1

价格:$ 50.85

装帧:

isbn号码:9781598298222

丛书系列:

图书标签:

Hyperbolic Geometry
Gyrovector Spaces
Non-Euclidean Geometry
Mathematics
Geometry
Vector Spaces
Abstract Algebra
Differential Geometry
Topology
Research

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具体描述

The mere mention of hyperbolic geometry is enough to strike fear in the heart of the undergraduate mathematics and physics student. Some regard themselves as excluded from the profound insights of hyperbolic geometry so that this enormous portion of human achievement is a closed door to them. The mission of this book is to open that door by making the hyperbolic geometry of Bolyai and Lobachevsky, as well as the special relativity theory of Einstein that it regulates, accessible to a wider audience in terms of novel analogies that the modern and unknown share with the classical and familiar. These novel analogies that this book captures stem from Thomas gyration, which is the mathematical abstraction of the relativistic effect known as Thomas precession. Remarkably, the mere introduction of Thomas gyration turns Euclidean geometry into hyperbolic geometry, and reveals mystique analogies that the two geometries share. Accordingly, Thomas gyration gives rise to the prefix "gyro" that is extensively used in the gyrolanguage of this book, giving rise to terms like gyrocommutative and gyroassociative binary operations in gyrogroups, and gyrovectors in gyrovector spaces. Of particular importance is the introduction of gyrovectors into hyperbolic geometry, where they are equivalence classes that add according to the gyroparallelogram law in full analogy with vectors, which are equivalence classes that add according to the parallelogram law. A gyroparallelogram, in turn, is a gyroquadrilateral the two gyrodiagonals of which intersect at their gyromidpoints in full analogy with a parallelogram, which is a quadrilateral the two diagonals of which intersect at their midpoints. Table of Contents: Gyrogroups / Gyrocommutative Gyrogroups / Gyrovector Spaces / Gyrotrigonometry

好的，这是一本关于非欧几何在物理学和数学中的前沿应用的图书简介，重点聚焦于黎曼几何、辛几何、拓扑学以及信息几何等领域。 --- 书名：《几何的交汇：拓扑、结构与信息流动的深层结构》简介：本书是一部深入探讨现代数学物理前沿领域——特别是那些构建在经典微分几何基础之上，并延伸至更高维度、更抽象结构之上的理论著作。它旨在为研究人员、高级学生以及对数学结构与物理现象本质联系感兴趣的读者，提供一个全面、严谨且富于洞察力的视角。全书不满足于对既有理论的简单回顾，而是着重于挖掘不同几何范式（如黎曼几何、辛几何、微分拓扑、以及新兴的信息几何）之间的内在联系、结构性桥梁以及它们在描述复杂系统中的潜力。第一部分：经典几何的再审视与高维结构的基础第一部分奠定了全书的理论基石，但采取了一种超越传统欧几里得和经典双曲几何的视角。我们从黎曼几何的深度剖析开始，重点关注曲率张量的多重性解释，以及如何利用外微分形式来描述空间结构的内在不变量。这一部分的核心在于建立一个坚实的数学框架，用以理解测地线流在非平凡流形上的动力学行为。我们详细探讨了庞加莱度量在高维推广中的局限性与新的可能性，并引入了伪黎曼几何的概念，特别是针对洛伦兹结构在广义相对论中的应用。书中将大量篇幅用于分析辛几何在哈密顿力学和经典场论中的核心作用，强调泊松括号与李导数在结构守恒上的统一性。这不仅是对经典力学的重新表述，更是为向规范场论和可积系统过渡做准备。第二部分：拓扑不变量与几何的稳定性本书的第二部分将焦点转向拓扑学在理解几何结构稳定性中的关键作用。我们超越了基本的同调与上同调理论，深入研究纤维丛和特征类。陈类、庞加莱对偶以及示性类被视为从拓扑层面“标记”流形几何特性的工具。我们将探讨规范理论如何利用这些拓扑量来解释物理真空的性质，例如磁单极子和瞬子的拓扑荷。一个重要的章节专门讨论几何不变性与模空间。当我们在考察一族具有相同拓扑结构但几何结构（如度量）变化的流形时，模空间的结构揭示了哪些几何性质是“持久的”，哪些是“脆弱的”。这对于理解弦理论中的真空选择问题至关重要。此外，本书还引入了微分分形几何的概念，探讨在极小尺度下，传统光滑结构是否依然适用，以及如何用新的量化指标来描述这些极端情况下的局部几何。第三部分：信息几何与统计流形本书最具创新性和前瞻性的部分在于将信息论与微分几何相结合。信息几何，作为一个快速发展的领域，将概率分布族视为一个统计流形。我们详细阐述了费希尔信息张量如何充当这个流形的度量，以及它如何自然地导出黎曼几何的框架。重点分析了α-连接和双曲（或称为共轭）对偶的概念，这些工具揭示了统计推理中的内在对称性与非对称性。我们将应用这些概念来分析复杂网络中的信息扩散模型，并研究在贝叶斯推断中，几何结构如何决定推断路径的效率与误差。书中特别关注熵在几何背景下的解释——它不再仅仅是信息量度，而是流形上测地线偏离程度的几何体现。第四部分：前沿课题的几何视角最后一部分将几何工具应用于当前物理学和数学中最具挑战性的领域。 1. 拓扑量子场论（TQFT）的代数几何基础：探讨冯·诺伊曼代数在描述低维拓扑量子态中的应用，以及如何利用三角范畴来重构共形场论的代数结构。 2. 非交换几何的结构探索：在传统流形的概念崩溃时，我们转向非交换空间。本书提供了一个关于格洛滕迪克拓扑和Connes’ 几何代数的入门介绍，展示了如何通过代数工具来捕捉那些没有明确“点”概念的物理实体（例如，普朗克尺度下的时空）。 3. 可积系统的几何动力学：深入分析李群上的K-S流以及无穷小对称性在可积系统中的作用。我们将展示如何通过阿诺索夫流的性质来理解这些系统的长期动力学行为的复杂性。结论与展望：全书通过跨越经典、拓扑、信息与非交换空间的几何图景，清晰地描绘了一个统一的几何语言在描述自然界复杂性中的巨大潜力。它不仅是理论工具箱的充实，更是一次对“结构”这一核心概念的深刻哲学性探索。本书旨在激发读者超越传统学科壁垒，以几何的直觉去构筑和理解未来的物理模型。 ---