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出版者:

作者:Goldstein, Larry J./ Lay, David C./ Schneider, David I./ Asmar, Nakhle H.

出品人:

页数:656

译者:

出版时间:2009-3

价格:1027.31元

装帧:

isbn号码:9780321571304

丛书系列:

图书标签:

• 微积分
• 应用
• 数学
• 高等教育
• 理工科
• 函数
• 极限
• 导数
• 积分
• 建模

献给初学者的数学之旅：解析几何与线性代数基础 作者： [此处可填写真实作者姓名或留空] 出版社： [此处可填写真实出版社名称或留空] 版本： 第一版 页数： 约 650 页 装帧： 精装 / 平装 （请根据实际情况选择） --- 内容概述 本书《解析几何与线性代数基础》旨在为高等数学学习者，特别是那些初次接触向量空间、矩阵运算以及空间几何概念的学生，提供一个清晰、直观且严谨的入门指南。我们深知，许多学生在面对抽象的代数结构和多维空间的描述时感到困难。因此，本书的核心目标是搭建起直观几何理解与严格代数运算之间的桥梁，使读者能够真正“看”到数学概念的内在联系，而非仅仅停留在机械的公式推导上。 本书内容涵盖了从基础的向量操作到复杂的特征值问题，并辅以大量的几何解释和实际应用背景。我们刻意避开了对微积分（如极限、导数、积分）的依赖，使本书成为一个独立的、专注于代数和几何结构的基础读物。 --- 第一部分：基础的构建——向量与空间 第一章：二维与三维空间中的向量 本章是理解整个线性代数的基础。我们首先从直观的物理向量概念入手，定义向量的加法、标量乘法以及向量的线性组合。重点讨论二维平面 ($mathbb{R}^2$) 和三维空间 ($mathbb{R}^3$) 的坐标表示。 1.1 几何向量的直观意义： 力、位移与速度的表示。 1.2 向量的代数表示与运算： 分量表示法，向量的加减与数乘的几何解释。 1.3 向量的内积（点积）： 长度、投影以及角度的计算。详细推导内积的几何意义，为后续的正交性概念打下基础。 1.4 向量的叉积（仅限三维）： 叉积的定义、计算及其在确定平面法向量和计算面积中的应用。 1.5 线性相关性与基： 严格定义线性无关、线性相关，并引入“跨越”（Span）的概念。 第二章：解析几何的回归——直线、平面与二次曲线 本章将代数工具应用于几何对象的描述。我们重温高中阶段的几何知识，并用向量和矩阵的语言进行精确表达。 2.1 直线的向量方程与参数方程： 如何用一个点和一个方向向量唯一确定一条直线。 2.2 平面的方程： 利用法向量定义平面，探讨点法式、一般式方程及其相互转换。 2.3 点、线、面之间的关系： 计算点到直线（面）的距离，线与线的交点，线与平面的交角等经典问题。 2.4 经典二次曲线的回顾与代数描述： 椭圆、双曲线和抛物线在二维坐标系下的标准方程，强调离心率和焦点的几何定义。 --- 第二部分：核心工具——矩阵与线性方程组 第三章：矩阵代数基础 矩阵是线性代数的核心工作对象。本章专注于矩阵的定义、基本运算及其代数性质。 3.1 矩阵的定义与类型： 行、列、方阵、零矩阵、单位矩阵的引入。 3.2 矩阵的加法与标量乘法： 运算规则与几何意义的初步探讨。 3.3 矩阵乘法： 定义、运算顺序的重要性（非交换性），以及它如何表示线性变换的复合。 3.4 矩阵的转置与对称性： 转置的性质及其在内积中的应用。 3.5 矩阵的逆： 可逆矩阵的定义、性质，以及二阶矩阵求逆的简便方法。 第四章：线性方程组的求解 这是线性代数最实际的应用领域。本章将引导读者从直观的几何交点问题过渡到系统化的代数求解方法。 4.1 方程组的矩阵表示： 将 $n$ 个未知数的 $m$ 个线性方程写成 $Amathbf{x} = mathbf{b}$ 的形式。 4.2 高斯消元法： 详细介绍行简化过程，以及行变换（初等行操作）的几何意义。 4.3 行阶梯形与简化行阶梯形（RREF）： 矩阵的简化形式及其在确定解的结构中的作用。 4.4 解的存在性与唯一性： 基于增广矩阵的秩（Rank）来判断无解、唯一解或无穷多解的情况。 4.5 矩阵的秩与列空间/零空间： 严格定义和计算矩阵的列空间（Column Space）和零空间（Null Space），理解它们与解空间的联系。 --- 第三部分：抽象的升华——向量空间与变换 第五章：向量空间的抽象概念 本章将代数的概念提升到更抽象的层面，脱离 $mathbb{R}^n$ 的具体坐标限制。 5.1 向量空间的公理化定义： 介绍向量空间需要满足的八条公理（封闭性、结合律、分配律等）。 5.2 常见向量空间的例子： 矩阵空间、多项式空间 $P_n$ 以及函数空间 $C[a, b]$ 的引入。 5.3 子空间： 子空间的判定定理及零空间作为子空间的必然性。 5.4 基与维数： 引入基（Basis）的概念，基的唯一性，以及向量空间的维数（Dimension）的定义。理解维数是空间“大小”的度量。 第六章：线性变换的矩阵表示 本章将矩阵运算与几何变换（如旋转、投影、拉伸）紧密联系起来。 6.1 线性变换的定义： 满足叠加性和齐次性的函数。 6.2 从向量空间到向量空间的变换： 如何表示一个从 $V$ 到 $W$ 的线性变换。 6.3 线性变换的矩阵： 证明任何线性变换都可以用一个唯一的矩阵来表示（基于选定的基）。 6.4 变换的几何解释： 矩阵乘法如何实现旋转、反射、剪切等操作的复合。 6.5 变换的核（Kernel）与像（Range）： 线性变换的零空间和值域的定义及其与方程组解的对应关系。 --- 第四部分：深入分析——特征值与相似性 第七章：特征值与特征向量 这是理解动态系统和矩阵对角化的关键。 7.1 特征问题的提出： 寻找那些在变换下方向不变的向量。 7.2 特征值与特征向量的计算： 通过解特征方程 $det(A - lambda I) = 0$ 来求解特征值 $lambda$。 7.3 特征空间： 与每个特征值相关联的特征向量张成的子空间。 7.4 矩阵的可对角化性： 当一个 $n imes n$ 矩阵有 $n$ 个线性无关的特征向量时，它可以被对角化。对角化的意义在于简化高次幂运算。 第八章：相似变换与正交性 本章探讨矩阵在不同基下的表示变化，以及欧几里得空间中的重要概念。 8.1 相似矩阵： 相似矩阵的定义 $B = P^{-1} A P$，它们代表同一个线性变换在不同基下的表现。 8.2 对角化与相似矩阵的关系： 如何利用特征向量矩阵 $P$ 进行相似对角化。 8.3 正交基与施密特（Gram-Schmidt）正交化过程： 构造正交基的重要性，特别是在求解最小二乘问题时。 8.4 正交投影： 向量在子空间上的投影运算及其在数据拟合中的应用。 --- 特色与目标读者 本书的编写风格力求清晰、细致入微，避免了过于繁复的定理证明的堆砌，而是将证明作为对直观理解的巩固。书中包含了大量“几何视角”的小节，专门剖析代数运算背后的空间意义。 适用读者： 1. 工程、计算机科学及物理学专业的本科生，需要扎实的线性代数基础，但当前课程不侧重于微积分的应用。 2. 自学者，希望从最基础的概念开始，循序渐进地掌握线性代数的全部核心内容。 3. 需要回顾或巩固线性代数基础知识的进阶学生。 本书的最终目标是使读者能够自信地处理高达四维甚至更高维度的线性代数问题，并能将其与现实世界的几何直觉相结合。

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