Extension Problems in Complex and CR-geometry pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Saracco, Alberto

出品人:

页数:150

译者:

出版时间:2009-2

价格:$ 33.84

装帧:

isbn号码:9788876423383

丛书系列:

图书标签:

• Complex geometry
• CR geometry
• Extension problem
• Partial differential equations
• Analysis
• Mathematical analysis
• Complex manifolds
• Riemannian geometry
• Holomorphic functions
• Boundary value problems

《解析几何与计算的精妙交织：从欧氏空间到复黎曼流形》 本书将带领读者踏上一段跨越数学维度的旅程，深入探索解析几何与计算的精妙结合。我们从对欧氏空间的基本性质和代数表示的深刻理解出发，逐步攀升至更为抽象和复杂的几何对象，直至达到复黎曼流形的殿堂。在这段引人入胜的探索过程中，本书旨在揭示几何结构如何与代数工具和谐共舞，以及如何利用计算方法来解析和理解这些结构。 第一部分：解析几何的基石与拓展 我们将从解析几何的经典概念开始，回顾欧氏空间中点、线、平面等基本元素的代数描述，以及距离、角度、曲率等几何量的计算方法。线性代数在此将扮演核心角色，向量空间、矩阵运算、线性变换等概念将贯穿始终，为理解更高维度的几何提供坚实的基础。 欧氏空间中的几何对象： 深入分析直线、平面、二次曲面（如椭圆、抛物线、双曲线及其在三维空间中的推广）的参数方程和隐式方程，以及它们之间的相互关系，如平行、相交、垂直等。我们将探讨仿射变换和等距变换，理解它们如何改变几何对象的形状和位置，但保持其内在的几何属性。 向量分析与微分几何初步： 引入向量场、散度和旋度等概念，展示它们在描述流体动力学、电磁学等物理现象中的应用。曲面上的曲线及其曲率、挠率的概念将被引入，为理解曲面本身的几何性质奠定基础。我们将审视曲率张量，初步感知曲面在嵌入空间中的弯曲程度。 代数曲线与代数曲面： 拓展到由多项式方程定义的几何对象。我们将研究代数曲线（如圆锥曲线、立方曲线）的性质，包括奇点、渐近线、交点数等，并引入贝祖定理。对于代数曲面，我们将分析其分类以及与二次曲面的联系。 第二部分：从实数域到复数域的飞跃 本书的第二部分将是理解复几何的关键。我们将重温复数及其代数性质，并将其引入几何的语境中。 复数与复平面： 详细介绍复数的代数运算，如加减乘除、共轭、模、幅角。复平面上的几何解释，如旋转、缩放，将与复数的代数运算紧密联系。我们将探索复数在解析函数中的表现，为后续的复几何打下基础。 复向量空间与复线性代数： 将实向量空间的理论推广到复向量空间。复内积空间、酉变换、厄米矩阵等概念将得到阐释。我们将研究复线性算子的谱分解，理解它们在复空间中的几何作用。 复曲面初步： 引入复数域上的几何对象。例如，复平面上的直线和圆锥曲线，以及它们在复数视角下的新奇性质。我们将初步接触复数域上的多项式方程所定义的簇，理解其代数几何的萌芽。 第三部分：黎曼几何的宏伟视野 黎曼几何是现代几何学的重要分支，它研究的是具有度量结构的微分流形。本书将引领读者进入这一令人着迷的领域。 微分流形： 介绍微分流形的概念，即局部上看起来像欧氏空间的“光滑”空间。我们将讨论流形上的坐标系、图册、光滑函数、切空间以及向量场。流形上的张量场将是理解其几何性质的关键工具。 度量张量与联络： 黎曼几何的核心在于黎曼度量张量。我们将深入理解度量张量如何定义流形上的长度、角度和体积。然后，我们将介绍联络的概念，它允许我们在流形上“平行移动”向量，并且是定义测地线和曲率的先决条件。我们将讨论列维-奇维塔联络，它是度量张量唯一确定的无挠率联络。 曲率的几何意义： 曲率是黎曼几何的灵魂。我们将详细探讨里奇曲率、数量曲率以及最核心的黎曼曲率张量。这些量如何衡量流形在不同方向上的弯曲程度，以及它们与测地线的行为之间的深刻联系。我们将看到，常曲率的黎曼流形（如球面、欧氏空间、双曲空间）具有非常特殊的几何性质。 测地线与指数映射： 测地线是黎曼流形上的“直线”。我们将讨论测地线的存在唯一性，以及指数映射如何从一点出发，在切空间中定义一个局部区域，并将其映射回流形本身。指数映射在理解流形的局部几何性质方面起着至关重要的作用。 第四部分：复黎曼流形的精深探索 本书的最后部分将融合前三部分的思想，深入研究复黎曼流形。 复微分流形： 介绍复微分流形的概念，即局部上看起来像复欧氏空间 $mathbb{C}^n$ 的流形。我们将讨论复坐标、复向量场、复张量场，以及复结构的定义。 凯勒流形： 凯勒流形是复黎曼流形中最重要的一类。我们将详细介绍凯勒度量和凯勒形式的定义，以及它们与复结构和黎曼度量之间的紧密联系。我们将探索具有凯勒度量的复流形所特有的性质，如全纯截面曲率等。 陈类与霍奇理论的初步： 对于凯勒流形，我们将简要介绍陈类，它们是重要的拓扑不变量，编码了流形的几何信息。同时，我们将触及霍奇理论的深刻思想，它揭示了流形的代数拓扑与几何结构之间的深刻联系，特别是在凯勒流形上，代数闭包的结构与度量性质之间存在着奇妙的对应。 复黎曼流形上的几何分析： 探讨复黎曼流形上的偏微分方程，例如拉普拉斯算子，以及与这些算子相关的热核、调和函数等概念。这将展示几何与分析的深度交融，以及如何利用分析工具来研究几何问题。 计算视角与辅助工具 贯穿全书，我们将强调解析几何与计算的紧密联系。虽然本书主要关注理论探索，但它也为读者提供了理解如何利用计算工具来可视化、验证和计算几何对象提供了视角。我们将简要提及数值微分几何、计算机代数系统在研究几何问题中的作用，以及符号计算在推导几何公式中的优势。例如，在计算黎曼曲率张量时，符号计算工具可以极大地简化复杂的代数操作。 读者对象 本书适合对数学有浓厚兴趣的本科高年级学生、研究生，以及从事几何、代数、拓扑、微分方程等领域研究的学者。它需要读者具备扎实的线性代数、微积分、复分析以及基础的微分几何知识。 本书的价值 《解析几何与计算的精妙交织：从欧氏空间到复黎曼流形》不仅仅是一本教材，它更是一次对数学之美和力量的探索。通过将抽象的几何概念与具体的代数计算相结合，本书旨在培养读者严谨的逻辑思维、敏锐的空间想象能力以及解决复杂数学问题的能力。它为读者提供了进入更高级几何领域的坚实基础，并激发对数学世界更深层次的探索欲望。本书将成为所有热爱几何、渴望理解其深层结构的读者的宝贵财富。

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