Equivalence, Invariants and Symmetry pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Peter J. Olver

出品人:

页数:544

译者:

出版时间:2009-2-5

价格:USD 77.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780521101042

丛书系列:

图书标签:

数学
Math
李群
李代数
专业需要
Symmetry
数学
代数
群论
表示论
拓扑学
几何学
不变量
对称性
等价关系
抽象代数

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具体描述

Drawing on a wide range of mathematical disciplines, including geometry, analysis, applied mathematics and algebra, this book presents an innovative synthesis of methods used to study problems of equivalence and symmetry which arise in a variety of mathematical fields and physical applications. Systematic and constructive methods for solving equivalence problems and calculating symmetries are developed and applied to a wide variety of mathematical systems, including differential equations, variational problems, manifolds, Riemannian metrics, polynomials and differential operators. Particular emphasis is given to the construction and classification of invariants, and to the reductions of complicated objects to simple canonical forms. This book will be a valuable resource for students and researchers in geometry, analysis, algebra, mathematical physics and other related fields.

《逻辑的基石：集合论、序理论与模型论入门》本书是一本面向初学者的数学逻辑导论，深入浅出地阐述了集合论、序理论和模型论这三个现代数学的基石。我们的目标是为读者构建一个严谨的数学思维框架，理解数学对象的构造、它们之间的关系以及数学理论的本质。本书不涉及抽象代数中的等价关系、不变量或对称性等概念，而是专注于逻辑推理本身，以及如何运用逻辑来构建和理解数学体系。第一部分：集合论——构建数学的语言集合论是现代数学的基石，几乎所有的数学对象都可以被看作是集合，数学关系和运算也都可以用集合的语言来描述。本书的第一部分将从最基本的概念出发，循序渐进地带领读者领略集合论的魅力。集合的定义与基本运算：我们将从直观理解集合开始，介绍集合的元素、空集、全集等基本概念。随后，我们将详细讲解集合的并集、交集、差集、补集等运算，以及笛卡尔积的概念。这些基本运算是构建更复杂数学结构的基础。例如，我们将通过具体的例子说明如何用集合运算来表示和理解逻辑命题的真值表，以及如何用集合来定义函数。关系的集合表示：关系是数学中描述事物之间联系的重要工具。我们将重点介绍二元关系，并展示如何用有序对集合来表示它们。本书将详细讨论关系的性质，如自反性、对称性、反对称性和传递性。我们将看到，这些性质是定义各种重要数学结构（例如序关系和等价关系）的前提。虽然本书不会深入探讨等价关系本身，但理解关系的这些基本性质对于后续逻辑推理至关重要。函数的集合定义：函数作为一种特殊的二元关系，是连接不同数学集合的桥梁。我们将严格地用集合论的语言来定义函数，包括函数的定义域、值域和单射、满射、双射等性质。通过大量的实例，读者将能够理解函数的构成方式及其重要性，例如函数在计数、映射等数学问题中的应用。集合的基数——计数的力量：计数是数学最古老、也是最核心的问题之一。本书将引入集合的基数概念，用于衡量集合的大小。我们将区分有限集和无限集，并详细介绍可数无限集的概念，例如自然数集、整数集和有理数集的基数。康托尔的对角线论证将被用来证明实数集比自然数集有更大的基数，从而揭示无限世界的丰富性。虽然不涉及对称性，但对不同“大小”的无限集合的区分，本身就是一种深刻的分类和理解。选择公理及其影响：选择公理是集合论中最具争议却又不可或缺的公理之一。我们将介绍选择公理的几种等价表述，并讨论它在证明一些重要定理中所起到的作用，例如佐恩引理和良序定理。我们将探讨选择公理的应用范围，以及它可能带来的非构造性证明。第二部分：序理论——理清数学的层级序理论是研究数学对象之间“排序”关系的学科。本书的第二部分将专注于序关系，帮助读者理解数学结构中的层级和顺序。偏序集与全序集：我们将从偏序集的定义出发，介绍其核心性质：自反性、反对称性和传递性。通过具体例子，如自然数的整除关系、子集关系等，读者将能够直观理解偏序集。随后，我们将引入全序集，即其中任意两个元素都可比较的偏序集，并探讨全序集的特殊性质。格（Lattice）的结构：格是具有特定结构的偏序集，在数学和计算机科学中有广泛的应用。我们将介绍格的定义，以及格中的上确界（最小上界）和下确界（最大下界）的概念。通过对格的深入分析，读者将能够理解集合的并集和交集如何在格的结构中扮演重要角色。良序集与序数：良序集是每个非空子集都有最小元素的（全序）偏序集。我们将重点研究良序集，并介绍序数（Ordinal Numbers）的概念。序数可以看作是良序集的一种“规范表示”，它们提供了一种处理无穷序列和递归定义的方式。本书将介绍序数的加法和乘法运算，以及它们在证明中的应用。第三部分：模型论——探索数学理论的意义模型论是数学逻辑的一个分支，研究数学语言的解释和模型。本书的第三部分将带领读者进入模型论的世界，理解数学命题的真值以及不同数学结构之间的关系。形式语言与逻辑系统：在模型论中，我们首先需要一个精确的数学语言来描述数学对象和关系。我们将介绍谓词逻辑（一阶逻辑）的形式语言，包括个体词项、谓词符号、逻辑联词、量词等。我们将建立一个形式化的系统，用于表达和推理数学命题。模型与真值：模型是逻辑语句的“解释”或“世界”。我们将定义模型，并解释一个逻辑语句在一个模型中如何获得真值。我们将看到，同一个逻辑语句在不同的模型中可能为真，也可能为假，这正是模型论的核心思想——理解数学语句的含义与真值的依赖性。基本定理（一）：我们将介绍一些模型论的基础定理，例如“命题逻辑中的完备性定理”，它表明所有有效的逻辑公式都可以被证明。虽然不涉及等价性，但理解哪些公式是“有效的”（即在所有模型中都为真），是建立数学理论一致性和完备性的基础。基本定理（二）：此外，我们还将触及“一阶逻辑的紧致性定理”，它在证明数学结构的存在性方面起着关键作用。我们将展示如何利用紧致性定理来证明一些非平凡的数学结果，例如无穷可积集的某些性质。同构与同态：虽然不深入研究对称性，但理解结构之间的“相似性”是理解数学理论的关键。我们将简要介绍同构（Isomorphism）和同态（Homomorphism）的概念，它们用于描述不同模型或代数结构之间的一致性。这有助于我们理解，即使不同的数学对象拥有相同的内在结构，它们也可以被视为在某种意义上是“等价”的。本书特色：严谨的逻辑推导：全书以严谨的数学逻辑为导向，强调证明过程的清晰性和准确性。丰富的实例：大量精心挑选的实例将帮助读者将抽象概念与具体数学对象联系起来。循序渐进的结构：内容从基础概念到进阶主题，层层递进，适合数学逻辑的初学者。强调核心概念：专注于集合论、序理论和模型论的核心原理，为读者打下坚实的数学逻辑基础。通过学习本书，读者将能够掌握构建数学理论的语言和工具，理解数学证明的本质，并为进一步深入学习更高级的数学领域奠定坚实的基础。本书将带领读者踏上一场探索数学真理的逻辑之旅，理解数学体系如何在概念的海洋中构建，并在严谨的推理下熠熠生辉。