Irregularities of Distribution (Cambridge Tracts in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Jozsef Beck

出品人:

页数:312

译者:

出版时间:2009-01-08

价格:USD 55.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780521093002

丛书系列:

图书标签:

数学
分布不规则性
康桥数学专著
数论
测度论
概率论
动力系统
遍历理论
随机过程
数学分析

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具体描述

This book is an authoritative description of the various approaches to and methods in the theory of irregularities of distribution. The subject is primarily concerned with number theory, but also borders on combinatorics and probability theory. The work is in three parts. The first is concerned with the classical problem, complemented where appropriate with more recent results. In the second part, the authors study generalizations of the classical problem, pioneered by Schmidt. Here, they include chapters on the integral equation method of Schmidt and the more recent Fourier transform technique. The final part is devoted to Roth's '1/4-theorem'.

概率分布的异常现象：非凡现象的数学分析概率分布，作为描述随机现象规律性的基本工具，在自然科学、工程技术、社会经济等诸多领域扮演着核心角色。我们通常习惯于分析那些遵循标准分布（如正态分布、泊松分布、指数分布等）的理想化情景，这些分布在大量独立同分布的随机变量累加或平均时，往往能够得到很好的近似。然而，现实世界远比数学模型来得复杂和丰富，许多有趣的现象恰恰发生在那些偏离了“常规”分布模式的区域。《概率分布的异常现象》这本著作，便深入探讨了这些“不寻常”的概率分布现象。它并非关注那些早已被广泛研究的典型分布，而是将目光投向那些在统计学、概率论以及相关应用领域中，表现出显著偏差、极端值、非平稳性、多模态性，或者由复杂系统动力学所产生的，难以用经典模型简单刻画的分布。本书旨在揭示这些异常分布背后的数学原理，理解它们产生的机制，并提供一套分析和建模的工具，以应对那些在“正常”统计框架下难以解释或预测的现象。本书的核心关注点在于：偏离理想模型的分布：许多实际系统，由于内在的非线性、反馈回路、外部干扰、或者样本空间本身的有限性，其观测数据在形态上会显著偏离如正态分布等简单模型。例如，金融市场中的极端价格波动（黑天鹅事件）、通信系统中偶尔出现的严重错误码、或者生态系统中某些物种数量的爆发性增长，都可能体现出“厚尾”或“尖峰”的特征，即极端事件发生的概率远高于经典分布所预测的水平。本书将系统性地研究这些“厚尾分布”和“尖峰分布”，例如 Pareto 分布、Cauchy 分布、t 分布以及更一般的重尾分布族，并讨论它们在建模和分析中的挑战与机遇。复杂系统的涌现行为：许多现实世界中的现象并非由简单的个体行为线性叠加而成，而是复杂系统内部相互作用的涌现结果。这些相互作用可能导致非平稳的概率分布，即分布的参数随时间或其他变量发生变化，或者出现多模态的分布，表明系统可能处于不同的稳态或处于相变过程中。例如，社交网络中的信息传播模式、城市交通流量的变化、以及气候系统的长期演变，都可能展现出高度的复杂性和非线性的概率结构。本书将探讨如何利用非参数方法、时间序列模型、马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法等，来刻画和理解这些动态变化的、多模态的概率分布。极端值理论及其应用：极端值是概率分布中最引人关注的“异常”部分，它们往往具有决定性的影响。例如，在风险管理中，一次罕见的金融危机可能带来巨大的损失；在工程设计中，一次极端的天气事件可能导致基础设施的破坏。极端值理论（Extreme Value Theory, EVT）正是研究这些极端事件发生概率的数学分支。本书将深入介绍极值分布（Gumbel, Fréchet, Weibull 分布）以及阈值方法（Peaks-Over-Threshold, POT）等核心理论，并展示其在金融风险评估、自然灾害预测、工程可靠性分析等领域的具体应用。统计推断与模型选择的挑战：当我们面对非标准或复杂的概率分布时，传统的统计推断方法可能面临严峻的挑战。如何有效地估计参数？如何进行假设检验？如何选择最适合描述异常现象的模型？本书将探讨针对非标准分布的统计推断技术，包括最大似然估计的变种、贝叶斯推断、以及模型选择准则（如 AIC, BIC）在复杂分布场景下的适用性与局限性。统计物理学与信息论的视角：许多概率分布的异常现象与统计物理学中的相变、临界现象，以及信息论中的熵、信息增益等概念密切相关。例如，某些复杂系统的统计行为可能表现出与相变过程相似的普适性规律，而信息的度量也可能在描述非平稳或高度不确定的概率分布时展现出新的意义。本书将尝试从这些跨学科的视角，为理解概率分布的异常现象提供更深层次的洞察。本书的读者对象包括：数学和统计学研究者：对概率论、数理统计、随机过程有扎实基础，希望深入探索非标准分布理论的研究者。应用领域的专家：在金融工程、风险管理、保险精算、通信工程、信号处理、机器学习、计算统计、生态学、气象学等领域，工作中经常遇到需要处理非典型数据分布的专业人士。对复杂系统和数据建模感兴趣的学生：希望了解如何运用数学工具来分析和理解现实世界中复杂的、非线性的现象。《概率分布的异常现象》并非一本介绍基础统计概念的入门书籍。它假设读者已经熟悉概率论和数理统计的基本概念，如随机变量、概率分布函数、期望、方差、中心极限定理、回归分析等。本书的重点在于超越这些基础，去探索那些“例外”的、常常蕴藏着重要信息和潜在规律的概率分布形态。本书将涵盖的内容，具体而言，可能包括：重尾分布的生成机制与性质：探讨幂律分布（Pareto）、Lévy 过程、以及与分形结构相关的分布。分析其概率密度函数的渐进行为，理解其期望和方差的有限性问题。多模态分布的识别与解释：介绍混合模型（Mixture Models）的构建，如高斯混合模型（GMM），并讨论如何区分真实的模型多模态与噪声或采样不足。非平稳性与时间依赖性：研究自回归（AR）、移动平均（MA）、自回归滑动平均（ARMA）等模型的推广，以及状态空间模型（State-Space Models）和隐马尔可夫模型（HMM）在描述动态概率分布中的作用。极端值理论的详细介绍：包括广义极值分布（GEV）和指数分布（GPD）的性质，阈值选择的策略，以及依赖性问题（如 copula）在多变量极端值分析中的重要性。统计学中的“长尾”问题：分析采样偏差、数据缺失、测量误差如何导致或放大分布的异常特征。机器学习中的异常检测：介绍基于密度估计、聚类、孤立森林等方法来识别异常数据点或异常模式。计算方法与模拟：探讨蒙特卡罗模拟、马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法在分析复杂和高维概率分布中的应用，以及数值稳定性问题。案例研究：通过一系列精心挑选的实际应用案例，展示如何运用本书介绍的理论和方法来解决现实世界中的问题。例如，分析股市崩盘的概率模型、预测互联网流量峰值、或者模拟生物种群的爆发与衰退。总而言之，《概率分布的异常现象》是一本面向高级研究者和实践者的著作，它旨在拓宽我们对概率分布的理解边界，提供一套系统性的理论框架和实用工具，帮助读者在面对那些“不寻常”但又至关重要的概率现象时，能够做出更准确的分析、更明智的决策。这本书将引导读者深入探索概率世界的“未知领域”，揭示那些隐藏在数据“噪音”和“异常”之下的深刻规律。