Einfa1/4hrung in Die Funktionentheorie pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:

作者:Weyl, Hermann

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頁數:266

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價格:$ 45.14

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isbn號碼:9783764388454

叢書系列:

圖書標籤:

• 復變函數
• 函數論
• 數學分析
• 高等數學
• 數學
• 理論數學
• 工程數學
• 學術著作
• 德文教材
• 數學教材

《函數論導引》：開啓數學探索的奧秘之門 對於任何渴望深入理解數學世界精妙之處的讀者而言，一本能夠循序漸進、條理清晰地引導讀者進入函數論浩瀚海洋的書籍，無疑是寶貴的知識源泉。《函數論導引》（Einfa1/4hrung in Die Funktionentheorie）正是這樣一本精心編纂的著作，它並非簡單羅列概念，而是以一種富有啓發性的方式，帶領讀者從基礎的數集與函數概念齣發，逐步攀登至復數分析的壯麗高峰。本書旨在為數學專業的學生、研究人員以及所有對數學抱有濃厚興趣的讀者提供一個堅實而全麵的函數論入門基礎。 本書的篇幅之所以充裕，並非冗餘，而是為瞭確保每一處講解都細緻入微，力求將函數論的精髓以最易於理解的方式呈現。作者深知，抽象的概念需要具體例證的支撐，嚴謹的證明需要清晰的邏輯梳理。因此，從最基礎的實數和復數的性質，到解析函數的微積分，再到復平麵上的積分理論，每一個環節都得到瞭充分的展開和闡釋。 第一部分：基礎的奠基——數集與函數 在正式踏入函數論的奇妙領域之前，一個穩固的基礎是必不可少的。《函數論導引》深諳此道，因此在開篇便對讀者至關重要的基礎概念進行瞭細緻的鋪墊。 實數係統迴顧： 雖然函數論的核心在於復數，但對實數係統的深刻理解是邁嚮復數分析的基石。本書將迴顧實數的完備性、集閤的概念（開集、閉集、緊集等）、序列與數列的收斂性，以及函數的連續性等經典內容。這些看似基礎的知識，卻貫穿於整個函數論的學習過程，對理解復變函數的性質至關重要。例如，當討論復變函數的連續性時，我們會自然而然地將其與實變函數的連續性進行類比和拓展。 復數的世界： 復數是本書的核心舞颱。本書將係統地介紹復數的代數形式與幾何形式，包括復數的加減乘除運算、模長與輻角，以及歐拉公式等關鍵概念。對復數的幾何意義的深刻理解，例如在復平麵上的錶示、共軛復數的幾何意義，將為後續理解復變函數的映射和幾何性質打下堅實基礎。例如，復數的乘法在幾何上對應於鏇轉和伸縮，這一概念在理解解析函數的保角性時尤為重要。 函數的概念及其性質： 在掌握瞭復數這一新工具後，我們開始探討函數。本書將拓展實變函數中函數的概念，引入復變函數的定義，包括定義域、值域、單值函數與多值函數等。我們將重點關注函數的幾種基本性質，例如函數的單調性、周期性、奇偶性等，並探討這些性質在復數域中的錶現。 第二部分：解析函數的探索——微分與積分 隨著基礎的牢固，《函數論導引》將引領讀者進入函數論的核心——解析函數的探索。解析函數是復變函數中最重要的一類函數，它們在數學和物理的眾多領域有著廣泛的應用。 導數與柯西-黎曼方程： 復變函數的微分是理解其性質的關鍵。本書將嚴格定義復變函數的導數，並引入在復變函數論中起著決定性作用的柯西-黎曼方程。我們將詳細推導柯西-黎曼方程，並深刻闡釋其幾何意義：當且僅當一個函數滿足柯西-黎曼方程，它纔是一個解析函數。通過大量實例，讀者將學會如何判斷一個復變函數是否為解析函數，以及如何計算其導數。 解析函數的性質： 一旦函數被確認為解析函數，它便展現齣許多令人驚嘆的性質。本書將深入探討這些性質，包括： 無窮次可微性： 解析函數具有無窮次可微的優良性質，這與實變函數中的情況有顯著不同。 泰勒級數展開： 任何解析函數在一點的某個鄰域內都可以展開成冪級數（泰勒級數），這為研究函數的局部性質提供瞭強大的工具。我們將詳細講解泰勒級數的收斂性以及如何利用它來近似函數。 調和函數： 解析函數的實部與虛部都是調和函數，這一性質在物理學（如靜電場、穩恒電流場）中有重要應用。本書將詳細介紹調和函數及其性質。 復變函數的積分： 在復平麵上對函數進行積分，引入瞭新的理論和方法。《函數論導引》將係統講解復變函數的路徑積分，並引入一些關鍵的定理： 柯西積分定理： 這是復變函數論中最核心的定理之一。本書將對其進行嚴謹的證明，並闡釋其重要性：在單連通區域內，解析函數沿任意閉閤路徑的積分都為零。 柯西積分公式： 在柯西積分定理的基礎上，我們將推導齣柯西積分公式，它能夠通過函數在邊界上的值來計算函數在區域內部的值，這是一種強大的分析工具。 留數定理： 對於在區域內有奇點的函數，留數定理提供瞭一種計算閉閤路徑上積分的方法，這在求解積分和級數問題中至關重要。本書將詳細講解奇點（可去奇點、極點、本性奇點）的概念，並引齣留數定理及其應用。 第三部分：特殊函數與應用 在掌握瞭函數論的基本理論後，《函數論導引》還將觸及一些特殊的函數以及函數論在其他領域的應用，進一步拓展讀者的視野。 初等復變函數： 除瞭多項式和有理函數，指數函數、對數函數、三角函數和雙麯函數在復數域中的性質也得到瞭深入的探討。特彆是復對數函數的定義和多值性，以及復指數函數的周期性，這些都是理解復變函數特性的重要組成部分。 映射與保形映射： 函數論在幾何上具有深刻的幾何意義，特彆是在映射方麵。本書將介紹復變函數的映射性質，特彆是保形映射（conformal mapping）。保形映射在保持角度和局部形狀不變，這在流體力學、熱傳導等領域有重要應用。 應用簡介： 雖然本書的重點是函數論的理論基礎，但也會適時提及函數論在物理學、工程學等領域的應用，例如在求解微分方程、分析信號等方麵的作用，以激發讀者進一步探索的興趣。 本書的特色與價值 《函數論導引》之所以能夠成為一本優秀的入門讀物，體現在以下幾個方麵： 1. 循序漸進的教學法： 作者深諳學習規律，從最基礎的概念入手，層層遞進，確保讀者能夠紮實地掌握每一個知識點，避免瞭直接陷入復雜理論的睏境。 2. 嚴謹而清晰的數學論證： 數學的美在於其嚴謹性。《函數論導引》在保證數學嚴謹性的同時，力求論證過程清晰明瞭，易於讀者理解。 3. 豐富的例題與習題： 理論的鞏固離不開實踐。本書提供瞭大量的例題，幫助讀者理解抽象概念的具體應用，並配備瞭適量的習題，供讀者檢驗學習成果，鞏固所學知識。 4. 深入淺齣的講解風格： 作者避免使用過於晦澀的語言，而是力求用一種生動而深入淺齣的方式來闡述復雜的數學概念，使得函數論不再是高不可攀的理論。 總而言之，《函數論導引》是一本不可多得的函數論入門書籍。它不僅為讀者構建瞭堅實的函數論知識體係，更重要的是，它激發瞭讀者對數學探索的熱情。通過本書的學習，讀者將能夠理解復數這一強大工具在數學分析中的核心作用，掌握解析函數的關鍵性質，並初步領略函數論在解決實際問題中的魅力。對於任何希望在數學領域有所建樹的讀者來說，本書都將是他們旅程中一份寶貴的財富。

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