Einfa1/4hrung in Die Funktionentheorie pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Weyl, Hermann

出品人:

页数:266

译者:

出版时间:

价格:$ 45.14

装帧:

isbn号码:9783764388454

丛书系列:

图书标签:

• 复变函数
• 函数论
• 数学分析
• 高等数学
• 数学
• 理论数学
• 工程数学
• 学术著作
• 德文教材
• 数学教材

《函数论导引》：开启数学探索的奥秘之门 对于任何渴望深入理解数学世界精妙之处的读者而言，一本能够循序渐进、条理清晰地引导读者进入函数论浩瀚海洋的书籍，无疑是宝贵的知识源泉。《函数论导引》（Einfa1/4hrung in Die Funktionentheorie）正是这样一本精心编纂的著作，它并非简单罗列概念，而是以一种富有启发性的方式，带领读者从基础的数集与函数概念出发，逐步攀登至复数分析的壮丽高峰。本书旨在为数学专业的学生、研究人员以及所有对数学抱有浓厚兴趣的读者提供一个坚实而全面的函数论入门基础。 本书的篇幅之所以充裕，并非冗余，而是为了确保每一处讲解都细致入微，力求将函数论的精髓以最易于理解的方式呈现。作者深知，抽象的概念需要具体例证的支撑，严谨的证明需要清晰的逻辑梳理。因此，从最基础的实数和复数的性质，到解析函数的微积分，再到复平面上的积分理论，每一个环节都得到了充分的展开和阐释。 第一部分：基础的奠基——数集与函数 在正式踏入函数论的奇妙领域之前，一个稳固的基础是必不可少的。《函数论导引》深谙此道，因此在开篇便对读者至关重要的基础概念进行了细致的铺垫。 实数系统回顾： 虽然函数论的核心在于复数，但对实数系统的深刻理解是迈向复数分析的基石。本书将回顾实数的完备性、集合的概念（开集、闭集、紧集等）、序列与数列的收敛性，以及函数的连续性等经典内容。这些看似基础的知识，却贯穿于整个函数论的学习过程，对理解复变函数的性质至关重要。例如，当讨论复变函数的连续性时，我们会自然而然地将其与实变函数的连续性进行类比和拓展。 复数的世界： 复数是本书的核心舞台。本书将系统地介绍复数的代数形式与几何形式，包括复数的加减乘除运算、模长与辐角，以及欧拉公式等关键概念。对复数的几何意义的深刻理解，例如在复平面上的表示、共轭复数的几何意义，将为后续理解复变函数的映射和几何性质打下坚实基础。例如，复数的乘法在几何上对应于旋转和伸缩，这一概念在理解解析函数的保角性时尤为重要。 函数的概念及其性质： 在掌握了复数这一新工具后，我们开始探讨函数。本书将拓展实变函数中函数的概念，引入复变函数的定义，包括定义域、值域、单值函数与多值函数等。我们将重点关注函数的几种基本性质，例如函数的单调性、周期性、奇偶性等，并探讨这些性质在复数域中的表现。 第二部分：解析函数的探索——微分与积分 随着基础的牢固，《函数论导引》将引领读者进入函数论的核心——解析函数的探索。解析函数是复变函数中最重要的一类函数，它们在数学和物理的众多领域有着广泛的应用。 导数与柯西-黎曼方程： 复变函数的微分是理解其性质的关键。本书将严格定义复变函数的导数，并引入在复变函数论中起着决定性作用的柯西-黎曼方程。我们将详细推导柯西-黎曼方程，并深刻阐释其几何意义：当且仅当一个函数满足柯西-黎曼方程，它才是一个解析函数。通过大量实例，读者将学会如何判断一个复变函数是否为解析函数，以及如何计算其导数。 解析函数的性质： 一旦函数被确认为解析函数，它便展现出许多令人惊叹的性质。本书将深入探讨这些性质，包括： 无穷次可微性： 解析函数具有无穷次可微的优良性质，这与实变函数中的情况有显著不同。 泰勒级数展开： 任何解析函数在一点的某个邻域内都可以展开成幂级数（泰勒级数），这为研究函数的局部性质提供了强大的工具。我们将详细讲解泰勒级数的收敛性以及如何利用它来近似函数。 调和函数： 解析函数的实部与虚部都是调和函数，这一性质在物理学（如静电场、稳恒电流场）中有重要应用。本书将详细介绍调和函数及其性质。 复变函数的积分： 在复平面上对函数进行积分，引入了新的理论和方法。《函数论导引》将系统讲解复变函数的路径积分，并引入一些关键的定理： 柯西积分定理： 这是复变函数论中最核心的定理之一。本书将对其进行严谨的证明，并阐释其重要性：在单连通区域内，解析函数沿任意闭合路径的积分都为零。 柯西积分公式： 在柯西积分定理的基础上，我们将推导出柯西积分公式，它能够通过函数在边界上的值来计算函数在区域内部的值，这是一种强大的分析工具。 留数定理： 对于在区域内有奇点的函数，留数定理提供了一种计算闭合路径上积分的方法，这在求解积分和级数问题中至关重要。本书将详细讲解奇点（可去奇点、极点、本性奇点）的概念，并引出留数定理及其应用。 第三部分：特殊函数与应用 在掌握了函数论的基本理论后，《函数论导引》还将触及一些特殊的函数以及函数论在其他领域的应用，进一步拓展读者的视野。 初等复变函数： 除了多项式和有理函数，指数函数、对数函数、三角函数和双曲函数在复数域中的性质也得到了深入的探讨。特别是复对数函数的定义和多值性，以及复指数函数的周期性，这些都是理解复变函数特性的重要组成部分。 映射与保形映射： 函数论在几何上具有深刻的几何意义，特别是在映射方面。本书将介绍复变函数的映射性质，特别是保形映射（conformal mapping）。保形映射在保持角度和局部形状不变，这在流体力学、热传导等领域有重要应用。 应用简介： 虽然本书的重点是函数论的理论基础，但也会适时提及函数论在物理学、工程学等领域的应用，例如在求解微分方程、分析信号等方面的作用，以激发读者进一步探索的兴趣。 本书的特色与价值 《函数论导引》之所以能够成为一本优秀的入门读物，体现在以下几个方面： 1. 循序渐进的教学法： 作者深谙学习规律，从最基础的概念入手，层层递进，确保读者能够扎实地掌握每一个知识点，避免了直接陷入复杂理论的困境。 2. 严谨而清晰的数学论证： 数学的美在于其严谨性。《函数论导引》在保证数学严谨性的同时，力求论证过程清晰明了，易于读者理解。 3. 丰富的例题与习题： 理论的巩固离不开实践。本书提供了大量的例题，帮助读者理解抽象概念的具体应用，并配备了适量的习题，供读者检验学习成果，巩固所学知识。 4. 深入浅出的讲解风格： 作者避免使用过于晦涩的语言，而是力求用一种生动而深入浅出的方式来阐述复杂的数学概念，使得函数论不再是高不可攀的理论。 总而言之，《函数论导引》是一本不可多得的函数论入门书籍。它不仅为读者构建了坚实的函数论知识体系，更重要的是，它激发了读者对数学探索的热情。通过本书的学习，读者将能够理解复数这一强大工具在数学分析中的核心作用，掌握解析函数的关键性质，并初步领略函数论在解决实际问题中的魅力。对于任何希望在数学领域有所建树的读者来说，本书都将是他们旅程中一份宝贵的财富。

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