Soliton Equations and Their Algebro-Geometric Solutions pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:

作者:Gesztesy, Fritz/ Holden, Helge/ Michor, Johanna/ Teschl, Gerald

出品人:

页数:448

译者:

出版时间:2008-9

价格:$ 192.10

装帧:

isbn号码:9780521753081

丛书系列:

图书标签:

Soliton
Integrable Systems
Algebro-Geometric Methods
Nonlinear Waves
Mathematical Physics
Differential Equations
Geometry
Algebraic Curves
Soliton Theory
Partial Differential Equations

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具体描述

As a partner to Volume 1: Dimensional Continuous Models, this monograph provides a self-contained introduction to algebro-geometric solutions of completely integrable, nonlinear, partial differential-difference equations, also known as soliton equations. The systems studied in this volume include the Toda lattice hierarchy, the Kac-van Moerbeke hierarchy, and the Ablowitz-Ladik hierarchy. An extensive treatment of the class of algebro-geometric solutions in the stationary as well as time-dependent contexts is provided. The theory presented includes trace formulas, algebro-geometric initial value problems, Baker-Akhiezer functions, and theta function representations of all relevant quantities involved. The book uses basic techniques from the theory of difference equations and spectral analysis, some elements of algebraic geometry and especially, the theory of compact Riemann surfaces. The presentation is constructive and rigorous, with ample background material provided in various appendices. Detailed notes for each chapter, together with an exhaustive bibliography, enhance understanding of the main results.

这是一本深入探索孤立子方程及其代数几何解法的专著。本书系统地梳理了孤立子方程的理论发展脉络，从经典的可积系统出发，逐步引入代数几何的强大工具，揭示了孤立子方程背后深刻的数学结构。引言孤立子方程，作为非线性偏微分方程研究的核心领域之一，自上世纪六十年代以来，以其独特的性质和丰富的应用吸引了无数研究者的目光。不同于传统的线性方程，孤立子方程能够保持其波形在传播过程中不发生形变，这种“孤立”的特性使其在物理学、工程学等诸多领域扮演着至关重要的角色。从光学中的非线性色散方程，到流体力学中的水波方程，再到凝聚态物理中的一些模型，孤立子方程的身影无处不在。然而，孤立子方程的求解并非易事。传统的线性化方法在此类非线性方程面前往往束手无策。正是为了克服这一困难，代数几何的方法应运而生，并逐渐成为求解孤立子方程最强大、最系统的工具之一。本书正是致力于为读者呈现这一精彩而深刻的数学融合。代数几何的视角本书将带领读者走进代数几何的殿堂，并以此视角审视孤立子方程。我们不会仅仅停留在方程的形式层面，而是深入挖掘其内在的几何本质。通过引入黎曼曲面、theta函数、Jacobian簇等代数几何的重要概念，我们将展示如何将孤立子方程的求解问题转化为在这些代数几何对象上的几何构造和代数运算。黎曼曲面理论：黎曼曲面是连接代数方程和复分析的桥梁。本书将介绍黎曼曲面的基本概念，包括其拓扑性质、复结构以及在孤立子方程研究中的核心作用。我们将探讨如何构造特定的黎曼曲面，使得该曲面上的某些性质与孤立子方程的解紧密相关。 Jacobian簇与theta函数：Jacobian簇是由代数簇的线性系统的空间构成的，而theta函数则是定义在Jacobian簇上的重要函数。本书将详细阐述Jacobian簇和theta函数在求解孤立子方程中的关键作用。我们将展示如何利用theta函数的解析性质来构造孤立子方程的显式解，并解释这些解的几何意义。阿贝尔积分：阿贝尔积分是黎曼曲面上的一种重要积分，与黎曼曲面的几何性质密切相关。本书将探讨阿贝尔积分在孤立子方程代数几何解法中的应用，并展示如何通过对阿贝尔积分的分析来理解孤立子解的形成和演化。经典孤立子方程的代数几何解本书将聚焦于一系列经典的、具有代表性的孤立子方程，并逐一展示它们如何通过代数几何的框架得到求解。 Korteweg-de Vries (KdV) 方程：KdV方程是最早被发现的孤立子方程之一，也是孤立子理论的奠基石。本书将详细介绍KdV方程的代数几何解法，包括如何通过相应的黎曼曲面和theta函数构造其多孤立子解。非线性薛定谔 (NLS) 方程：NLS方程在光学、量子力学等领域有广泛的应用。本书将阐述NLS方程的代数几何求解方法，展示其与特定代数几何对象的联系。 Kadomtsev-Petviashvili (KP) 方程：KP方程是KdV方程在高维度的推广，具有更丰富的结构。本书将深入探讨KP方程的代数几何解法，揭示其在高维空间中的孤立子行为。其他重要方程：除了上述方程，本书还将触及其他一些重要的孤立子方程，如Sine-Gordon方程、Boussinesq方程等，并分析它们在代数几何框架下的求解策略。现代进展与展望本书不仅回顾了孤立子方程代数几何解法的经典成果，还将展望该领域的现代进展。我们将探讨一些前沿的研究方向，例如：高阶孤立子方程的求解：随着研究的深入，人们对更高阶、更复杂的孤立子方程产生了浓厚的兴趣。本书将探讨如何将代数几何的工具推广应用于求解这些方程。退化黎曼曲面与奇异解：在某些情况下，孤立子方程的解可能与退化的黎曼曲面或奇异的代数几何对象相关联。本书将对这些情况进行讨论，并介绍相关的研究方法。与其它数学分支的联系：孤立子方程和代数几何的交叉研究，也深刻地影响着其他数学分支，例如李代数、无穷维代数、表示论等。本书将尝试勾勒出这些联系。读者对象本书适合于数学、物理学、工程学等相关领域的研究生、博士后以及对孤立子理论和代数几何有浓厚兴趣的研究人员。读者应具备一定的微积分、线性代数、复变函数和基础微分方程知识。对于初学者，本书提供了一个系统深入的入门途径，通过循序渐进的讲解，帮助读者掌握孤立子方程代数几何解法的精髓。本书特点系统性强：本书从基础概念出发，逐步深入，逻辑严谨，内容连贯。方法论深入：不仅呈现了具体的解法，更强调了代数几何方法背后的思想和原理。理论与应用结合：理论讲解扎实，并辅以经典孤立子方程的实例分析，展现了该理论的应用价值。前沿性：对该领域的最新进展有所触及，为读者提供未来的研究方向。通过本书的学习，读者将能够深刻理解孤立子方程的本质，掌握运用代数几何工具求解这类非线性方程的方法，并为进一步深入研究孤立子理论打下坚实的基础。