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出版者:Addison Wesley

作者:Franklin Demana

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1993-03-31

价格:USD 99.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780201529005

丛书系列:

图书标签:

• Precalculus
• Mathematics
• College
• Algebra
• Trigonometry
• Functions
• Graphs
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探索宇宙的语言：一本关于代数、几何与函数思维的入门之旅 本书旨在为读者提供一个坚实的基础，使其能够深入理解高等数学的基石——微积分。我们着重于培养读者的数学思维、问题解决能力以及对数学概念的直观理解，而非仅仅停留在公式的机械应用上。本书的结构设计旨在引导学习者从熟悉的概念逐步过渡到更抽象、更强大的数学工具。 第一部分：代数的深度挖掘与结构重塑 本部分将带领读者重温并深化对代数核心概念的理解，为后续函数和图形的分析做好准备。 1. 复习与拓展：从有理到无理 我们首先回顾了多项式的运算、因式分解和有理表达式的简化。重点在于理解多项式的根与系数之间的关系（如韦达定理的应用），这为解决高次方程提供了代数捷径。随后，我们将深入探讨无理数的性质，特别是根式的化简、分母有理化的高级技巧，以及指数和对数运算律的严格证明和实际应用。我们强调了指数函数作为一种描述快速增长或衰减现象的强大工具，并探讨了其在复利计算和自然增长模型中的地位。 2. 线性方程组的矩阵视角 线性代数作为现代科学的语言，其基础在本书中得到了充分的展示。我们不仅会解出二元和三元线性方程组，更会引入矩阵的概念。读者将学习矩阵的加减乘法、数乘，以及如何使用高斯消元法和行简化阶梯形矩阵来系统地求解任意规模的线性方程组。我们还将探讨矩阵的行列式，理解其几何意义——行列式的值表示了由矩阵对应线性变换所产生的面积或体积的缩放因子。这为后续向量空间的概念奠定了直观基础。 3. 不等式的世界：解集的构建 不等式是描述约束条件和范围的关键。本书详细区分了线性不等式、绝对值不等式以及涉及有理表达式的不等式的解题策略。我们将通过数轴图示法和符号分析法来精确确定解集。对于涉及多个变量的约束，我们会引入线性规划的基本思想，展示如何通过图形确定可行域，这是优化问题的基础。 第二部分：函数的本质与可视化 函数是连接输入与输出的数学桥梁。本部分的核心在于培养读者对不同类型函数的特征、图像和变换的深刻洞察力。 4. 函数的严格定义与性质 我们从集合论的角度正式定义了函数，并详细讨论了域（Domain）、值域（Range）、奇偶性（Symmetry）等核心属性。读者将学习如何通过垂直线检验来判断关系是否为函数，并掌握复合函数（$f(g(x))$）的计算及其对原函数行为的影响。反函数（Inverse Functions）的引入，着重于理解其几何意义——图形关于直线 $y=x$ 的对称性，以及反函数存在的充要条件（单射性）。 5. 核心函数家族的深入探究 多项式函数： 我们深入研究了二次函数（抛物线的顶点式、一般式、交点式及其应用），并扩展到三次及更高次多项式。通过因式定理、余数定理和有理根定理，读者将学会精确找到多项式的实根和复根。图形的端点行为（End Behavior）和重数（Multiplicity）如何影响图形与x轴的交点，是本节的重点。 有理函数： 掌握识别和绘制有理函数图形的关键特征：垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。我们详细解析了如何通过分子和分母的次数关系来确定渐近线的类型，并探讨了图形的间断点（可去间断点）。 绝对值与分段函数： 绝对值函数的“V”形特性及其平移、伸缩变换将被系统分析。分段函数则训练读者处理在不同区间内由不同规则定义的函数的图示和计算，这为理解极限的局部性质提供了实践。 第三部分：超越线性：指数、对数与周期性 本部分关注那些描述自然界中非线性变化的函数，并为三角学的探索铺平道路。 6. 对数：指数的“反向操作” 对数函数被严格定义为指数函数的反函数。我们详细阐述了对数的底（Base）对函数增长速度的影响，并系统应用换底公式解决复杂方程。读者将学习如何利用对数将指数关系线性化，从而更容易地处理实际数据拟合问题。 7. 三角学的几何起源与代数扩展 本部分从直角三角形的边角关系（SOH CAH TOA）开始，引入正弦、余弦、正切等基本三角函数。随后，我们将圆度量（弧度制）引入，这是理解周期函数的基础。读者将学习如何将三角函数扩展到任意实数角，理解单位圆的强大作用。我们详细推导了最基本的三角恒等式（如毕达哥拉斯恒等式），并利用这些恒等式来简化复杂的三角表达式和证明更复杂的定理。 8. 三角函数的图像与变换 周期性是三角函数最显著的特征。我们将分析 $y = A sin(Bx - C) + D$ 形式的函数图像，重点理解振幅 ($A$)、周期 ($frac{2pi}{|B|}$)、相移 ($C$) 和垂直平移 ($D$) 如何系统地改变基础正弦或余弦函数的形状。本节通过大量的应用实例，展示了三角函数在描述振动、波浪和循环现象中的不可替代性。 第四部分：序列、级数与数列的极限思维 最后一部分将学习者的注意力从函数图像转向离散量的有序排列，并为微积分中极限概念的引入做准备。 9. 序列与级数的基础 我们将区分序列（Sequence）和级数（Series）。算术序列和几何序列的显式公式与求和公式将得到详细推导。我们着重分析几何级数的收敛性条件——当公比的绝对值小于一时，无限项之和如何趋于一个有限值。本节训练读者运用求和符号（Sigma Notation）来简洁地表达复杂求和。 10. 数列的收敛性初步探索 虽然严格的 $epsilon-N$ 论证留给微积分，但本节将直观地介绍数列的极限概念。读者将学习如何通过观察数列的项，判断其是否趋向于一个固定值，或发散到无穷大。理解数列收敛性的概念是理解更广泛的函数极限的先决条件。 本书旨在通过严谨的逻辑和丰富的实例，确保读者不仅“知道如何做”，更“理解为什么”。通过对代数结构、函数变换和周期现象的全面掌握，读者将为迎接微积分中的变化率和累积量的研究做好充分准备。

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说实话，我是在一个非常不情愿的状态下开始阅读这本书的，因为我一直对“预科”这个词抱有偏见，总觉得那是对基础知识的重复啰嗦。然而，我很快发现自己错了。这本书在处理代数基础，比如多项式和有理函数的部分时，展现出一种令人惊喜的深度和广度。它没有止步于简单的因式分解和有理运算，而是花了大量的篇幅去探讨函数的渐近线行为以及它们在现实世界中的建模能力。我记得有一章专门讨论了实际问题中的优化场景，它用二次函数和三次函数来模拟了成本效益曲线，那段文字的叙述方式非常贴近工程学的思维，而不是纯粹的数学推导。更让我印象深刻的是，书中的术语解释非常到位，很多晦涩的数学术语，比如“单射”或“满射”，作者都用非常生活化的比喻来解释其背后的含义，而不是简单地罗列定义。这种教学策略，无疑大大降低了学习曲线的陡峭程度，让我感觉自己不是在被动接受知识，而是在积极地构建一个数学认知框架。它让我对“预科”这个词重拾了信心，认识到真正的基础工作是多么重要。

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从一个对数学持有复杂情感的读者角度来看，这本书的阅读体验是渐入佳境的。它在内容的组织上展现出一种强大的结构性，你几乎可以预见下一章会如何自然地承接上一章的概念。它并没有过分强调计算的技巧性，而是将重点放在了函数思想的建立上，这对于即将踏入微积分领域的学习者来说至关重要。例如，在处理极限的初步概念时，作者并没有急于引入$epsilon-delta$语言的严谨证明，而是通过大量关于函数“趋近”行为的图形化描述和数值逼近的例子来培养读者的直觉。这种循序渐进的方式，避免了在初学阶段就被过度形式化的证明压垮的风险。它像一位耐心的向导，在你还未完全准备好接受复杂理论时，先为你铺设好坚实而平坦的思维路径。因此，这本书不仅仅是一本知识的集合，更像是一份为高等数学学习量身定制的思维训练手册，读完之后，我感觉自己对于数学的整体把握能力得到了质的提升，而非仅仅是记住了几个公式。

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坦白说，这本书最让我感到挑战但也最有收获的部分，是关于解析几何和圆锥曲线的探讨。我一直对椭圆、抛物线和双曲线感到头疼，因为它们复杂的标准方程和繁多的参数总是让我混淆。然而，这本书的叙述方式堪称教科书级别的优雅。它从平面上到焦点的距离定义出发，一步步推导出最基本的方程形式，清晰地展示了这些曲线的内在几何联系。特别是对离心率的解释，它将焦点与准线的关系作为核心，将所有曲线统一在一个简洁的框架下进行分析，这让我对这些看似不相关的图形产生了豁然开朗的整体认知。书中的插图质量非常高，不仅标明了焦点、顶点和准线的位置，还用不同颜色的线条勾勒出了定义中的距离关系，使得抽象的代数表达式立刻变得具象化。虽然完成这几章的习题花费了我大量的时间，但每一次成功解开一个关于轨迹的问题时，那种成就感是无与伦比的，它让我真正体会到了数学之美在于其内在的结构一致性。

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在深入到向量和矩阵的部分时，这本书的编排逻辑开始展现出其高明之处。通常，许多教材在引入这些概念时会直接跳入代数运算，使得学生对它们的应用场景感到迷茫。但这本《微积分预科数学》采取了不同的路线，它先用二维和三维几何来可视化向量的加减法和平行四边形法则，确保读者对“方向”和“大小”这两个核心要素有深刻理解。随后，在引入矩阵时，它巧妙地将其定位为“线性变换的描述工具”，而不是孤立的数字方块。我特别喜欢它在讲解矩阵乘法时，没有一开始就给出那个复杂的“行乘以列”的运算规则，而是先展示了如何用矩阵来描述一个旋转操作，然后自然而然地引出运算规则的必要性。这种基于“为什么需要这个工具”的教学方法，极大地增强了我学习的内在驱动力。相比于其他教材，这里的练习题也更加侧重于几何解释，比如要求用矩阵来描述一个反射操作，这对于建立对线性代数的直觉帮助极大。

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这本《微积分预科数学》的封面设计得极其简洁，大片的留白，只有书名和作者的名字以一种沉稳的黑色字体印在中央。拿到书的时候，我最直观的感受是它的分量——厚实，让人觉得这不仅仅是一本课本，更像是一部需要时间去啃食的参考书。我本来以为它会像我以前遇到的那些教科书一样，充斥着大量枯燥的公式堆砌和生硬的定义，但翻开第一页后，我立刻被它排版上的精心设计所吸引。图表部分色彩的运用非常克制，主要集中在关键的函数图像和几何图形上，没有多余花哨的装饰，让人能迅速聚焦到数学概念本身。特别是对三角函数和指数函数部分的讲解，作者似乎非常注重几何直观的建立，每一个定理的引入都伴随着清晰的几何图形推导，这对我这种偏爱“看懂”而不是“记住”的读者来说，简直是福音。书中的例题数量也足够丰富，从基础的练习到稍微需要动脑筋的综合应用题都有覆盖，而且很多例题的步骤详解非常细致，即使是概念初次接触的人也能跟上思路。总体而言，这本书给我的第一印象是专业、严谨，且充满了一种老派的教学诚意。

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