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☆☆☆☆☆

出版者:Wiley Custom Services

作者:William E Boyce

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2007

价格:0

装帧:Paperback

isbn号码:9780470096529

丛书系列:

图书标签:

微分方程
常微分方程
数学
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理工科

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具体描述

好的，以下是一份关于一本假设的、不涉及《Elementary Differential Equations》内容的图书简介。这份简介将聚焦于其他数学或工程领域的经典主题，力求内容详实且自然流畅。 --- 《高级拓扑学导论：从基础概念到前沿应用》作者： [虚构作者姓名] 出版社： [虚构出版社名称] 装帧：精装 / 850页 / 附录、索引、习题集内容概述本书旨在为研究生和高年级本科生提供一套全面而深入的现代拓扑学基础训练。它不仅详尽阐述了代数拓扑、微分拓扑和几何拓扑学的核心概念与基本定理，更着重于引导读者理解这些抽象结构如何应用于现代物理学、数据科学以及复杂系统分析之中。本书的叙事结构清晰，从点集拓扑的严谨基础出发，逐步过渡到更具几何直觉的同伦理论和同调理论，最终触及流形上的纤维丛与特征类等前沿领域。第一部分：点集拓扑的严谨基础 (Foundations of Point-Set Topology) 本部分构建了读者理解所有后续拓扑概念所必需的严密框架。我们首先从集合论的视角出发，细致考察拓扑空间的定义及其等价形式（如闭集、开集、邻域系统）。 1. 拓扑空间与连续性内容涵盖了最基础的拓扑性质，包括开子集、闭子集、紧致性（Compactness）和连通性（Connectedness）。我们使用大量的例子来区分这些概念在不同空间（如欧几里得空间、度量空间、柯尔莫哥洛夫空间）中的表现差异。特别是，Tychonoff 定理及其在紧致空间乘积上的应用被给予了深入的探讨，这对于理解函数空间至关重要。 2. 构造与商空间如何从已知空间构造新空间是拓扑学的核心技巧。本章详细讨论了子空间、商空间（Quotient Spaces）的构造，以及积空间（Product Spaces）的拓扑结构。商空间的构建，尤其是涉及等价关系的应用（如圆周、环面、射影空间的构造），通过明确的图示和详细的代数推导来确保读者的理解。我们还讨论了分离公理（如 $T_1, T_2$ 等）的层次结构，并论证了度量空间总是满足所有分离公理。 3. 连续映射与同胚在建立起拓扑结构后，本部分聚焦于连续函数的性质。我们利用开集定义来形式化连续性，并深入分析了同胚（Homeomorphism）的概念，这是区分拓扑等价性的关键工具。本章的难点在于区分“看似相似”但拓扑性质截然不同的空间，例如，证明一个环面（Torus）与一个打结的圆环（Torus with a hole）在特定拓扑意义上是等价的，而与一个球面（Sphere）则不是。第二部分：代数拓扑的桥梁 (The Bridge to Algebraic Topology) 本部分开始引入代数工具来“计算”拓扑空间的不变量，这是拓扑学最强大且最具吸引力的部分。 4. 基本群与同伦 (Fundamental Group and Homotopy) 同伦（Homotopy）的概念被引入，用于衡量路径之间的形变关系。在此基础上，我们定义了基本群 $pi_1(X, x_0)$，这是一个衡量空间“洞”数量的代数不变量。本章详尽讨论了覆盖空间（Covering Spaces）理论，特别是单连通空间（Simply Connected Spaces）的特性。读者将通过计算圆周 $mathbb{S}^1$、圆盘 $mathbb{D}^2$ 以及各种图的自同胚群，掌握 $pi_1$ 的具体计算方法。对霍普夫定理（Hopf's Theorem）的介绍，将基本群与映射的次数联系起来。 5. 同调论 I：奇异同调 (Homology Theory I: Singular Homology) 奇异同调被认为是拓扑不变量中最稳定和最容易计算的工具之一。本章从链复形（Chain Complexes）的代数结构开始，构建了奇异链群 $C_n(X)$，并定义了边界算子 $partial$。通过研究同调群 $H_n(X)$，我们确立了其不变性：任何连续映射都会诱导出同调群之间的同态映射，这使得同调群成为区分拓扑空间形状的强大工具。本章特别强调了Mayer-Vietoris 序列的应用，它允许我们将复杂空间的同调群分解为更容易处理的子空间同调群的组合。 6. 同调论 II：简化与应用本部分进一步探讨了同调论的实用性。我们详细推导了经典空间的同调群，例如球面 $mathbb{S}^n$、射影空间 $mathbb{P}^n$ 以及环面 $mathbb{T}^2$。欧拉示性数（Euler Characteristic）的定义及其与链复形中边界算子迹之间的关系（即欧拉-庞加莱公式）是本章的核心。此外，我们引入了相对同调（Relative Homology）的概念，为后续研究流形边界提供基础。第三部分：微分几何与流形 (Differential Geometry and Manifolds) 本部分将拓扑学的抽象概念植根于光滑结构，进入微分拓扑的领域。 7. 微分流形基础 (Foundations of Differentiable Manifolds) 我们首先定义了光滑结构和微分流形（Differentiable Manifolds）。这要求读者熟悉微积分中的多变量函数的偏微分和隐函数定理。流形被定义为局部上看起来像 $mathbb{R}^n$ 的拓扑空间。本章详细介绍了切空间（Tangent Space）的概念，它是将线性代数的工具引入光滑空间的桥梁。我们将展示如何通过坐标变换来定义流形上的光滑函数和向量场。 8. 向量场、流与张量 (Vector Fields, Flows, and Tensors) 向量场被定义为光滑流形上的“光滑”的切向量的截面。我们研究了向量场的积分曲线，即流（Flows）的概念，并讨论了李导数（Lie Derivative）在保持几何结构不变性方面的作用。此外，本书对张量场（Tensor Fields）进行了严谨的介绍，区分了协变张量（如微分形式）和反变张量（如向量场），并为读者理解黎曼几何中的度量张量奠定了基础。 9. 微分形式与德拉姆上同调 (Differential Forms and de Rham Cohomology) 微分形式被引入作为一种特殊的协变张量，它们是对微分流形上积分理论的几何表达。我们定义了楔积（Wedge Product）和外微分（Exterior Derivative） $d$。关键的一步是证明 $d^2 = 0$，这直接导出了德拉姆上同调群 $H_{dR}^k(M)$ 的定义。本章的最高潮是德拉姆定理（de Rham's Theorem）的叙述——它确立了奇异同调群与德拉姆上同调群之间的同构关系，从而完美地将代数拓扑的计算工具与微分几何的分析结构连接起来。结语与延伸阅读本书的最后一章简要介绍了纤维丛（Fiber Bundles）和特征类（Characteristic Classes）的概念，作为进入现代几何学和拓扑物理学的敲门砖。我们提供了详细的习题集，旨在巩固计算技能，并鼓励读者探索广阔的数学世界。本书的风格是理论严谨性与直观理解相结合，确保读者不仅知道“如何计算”，更理解“为何如此”。 --- 本书特色：大量的图示：超过300幅原创插图，特别是对商空间和基本群的直观解释。计算导向：超过200个详细的解题示例，涵盖从 $mathbb{S}^2$ 到流形上纤维丛的计算。跨学科连接：明确指出了同调理论在数据分析（拓扑数据分析 TDA）和微分形式在经典场论中的作用。

作者简介

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

这书是给工科的学生用的. 重于计算而不是理论. 例题不多, 其中好的例题更不多, 好的习题也不多, 难以很好的阐释理论和方法, 对学生巩固和加强知识的帮助也有限. 不过美国很多学校都用这套书, 也许实在是没有更好的工科教材了. 总之不适合自学, 不适合数学系的学生使用, 但可...

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

我不得不承认，一开始我对这本教材的期望值并不高，毕竟微分方程这个领域似乎已经被前辈们写尽了所有的可能性。然而，深入阅读后，我发现自己对“基础”二字的理解被重新定义了。这本书的“基础”并非指内容的简单或初级，而是一种对概念体系的**彻底夯实**。它并没有急于引入复杂的拉普拉斯变换或级数解法，而是花了大量篇幅在第一章就细致地铺垫了“解的存在性与唯一性”这一看似枯燥却至关重要的理论基石。作者似乎非常清楚，一个不理解解的“寿命”和“行为”的求解者，其掌握的技巧不过是空中楼阁。书中对一阶微分方程的解法，如分离变量法和积分因子法，讲解得极其细致入微，每一步推导的逻辑衔接都无可挑剔，即使是那些我过去总是需要反复查阅笔记才能记住的细节，在这里都能找到清晰的背景解释。最让我感到惊喜的是，它对欧拉法的数值逼近思想的引入，虽然篇幅不长，但其对误差来源的分析，非常具有启发性，它提醒读者，我们所求的解析解，在现实中往往需要通过某种形式的近似来获取。这种对理论与实践的深度融合，使得这本书不仅仅是一本教科书，更像是一本优秀的数学思维训练手册。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和辅助材料，体现了现代科学出版物的最高水准。在阅读物理或工程类书籍时，图形的质量往往是决定理解深度的关键因素之一。这本书在处理偏微分方程的初步介绍时，对三维拉普拉斯算子 $ abla^2$ 在不同坐标系下的表示，配上了清晰的三维立体图示，并辅以简短的文字解释了为什么在柱坐标系下需要保留 $r$ 因子，这比单纯的公式推导有效得多。此外，书本的装帧质量也令人满意，纸张的质地厚实，墨水饱和度高，即使在长时间的阅读和标记后，书本的结构依然稳固，这对于需要反复翻阅的工具书来说至关重要。更值得称赞的是，附带的在线资源中，作者提供了一些关键概念的交互式模拟（尽管我主要依赖纸质书），例如，展示不同阻尼系数下二阶系统振动响应的动态变化，这种多媒体辅助学习的理念，极大地丰富了学习体验，让原本静态的数学模型真正“活”了起来，这在传统教材中是极为罕见的加分项。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计简洁得令人耳目一新，那种深邃的蓝色调配上清晰的白色字体，一下子就抓住了我的注意力。我是在寻找一本能够真正帮助我构建起微积分和微分方程之间坚实桥梁的教材时偶然发现它的。坦率地说，我之前接触过的几本教材，要么过于侧重理论的推导，让我感觉像在啃一本艰深的哲学著作，要么就是习题的难度设置极不合理，要么就是讲解的步骤跳跃性太大，完全无法跟上。这本书的叙述方式，则像一位经验老到的导师，它总能在我即将迷失方向的关键节点，用一种恰到好处的类比或者一个生动的实际应用案例将我拉回来。例如，它讲解常系数线性微分方程组时的矩阵方法，不是直接扔出一个复杂的公式，而是先用流体力学中的概念，比如两种不同化学物质在管道中的混合过程，来可视化解的演变，这让我立刻对抽象的特征值和特征向量有了直观的认识。而且，书中的例题选择非常精妙，它们覆盖了从经典物理到现代工程学的诸多领域，确保了我们不仅仅是在学习数学工具，更是在学习如何用数学语言来解读真实世界。这种平衡感，是很多同类书籍难以企及的。我尤其欣赏它在讲解动力学系统时的深入探讨，那种对相平面的分析，简直是数学艺术品级别的呈现。

评分☆☆☆☆☆

我对这本书的习题设计给予最高的评价，它们简直是**“精炼”**二字的完美体现。很多教材的习题集动辄上百道，但其中充斥着大量重复劳动和简单的代数运算，读者的精力往往被低效的练习所消耗。然而，这本书的每一组习题似乎都经过了精心筛选，它们的目的性极强。基础练习部分，旨在巩固刚刚学到的特定技巧，比如区分使用积分因子法还是恰当的代换法来简化一个非标准形式的方程。而到了“挑战与探索”部分，难度系数陡然上升，但这种上升不是靠增加运算量来实现的，而是要求读者进行**概念的迁移和方法的创新组合**。我记得有一道关于伯努利方程的题目，它要求我们将一个非线性方程通过一个巧妙的变量替换转化为线性方程，并在其后讨论该解在特定区间内的稳定性。完成这道题的成就感，远超我解完十道纯粹计算题的总和。这本书清楚地表明，作者珍视读者的每一分钟学习时间，力求让每一次思考都指向更深层次的理解。

评分☆☆☆☆☆

这本书在结构编排上的匠心独运，绝对值得大书特书。它采用了**螺旋上升、逐步加深**的教学策略，这一点与我过去读过的那些线性堆砌知识点的教材截然不同。例如，在介绍了初值问题（IVP）的基本概念后，它没有立刻进入复杂的边界值问题（BVP），而是先用一个关于电路暂态响应的案例，巩固了常系数方程的解法，确保读者对齐次解和特解的叠加原理形成牢固的直觉。随后，当引入拉普拉斯变换时，作者并没有将其视为一个独立的“解题工具包”，而是巧妙地将其置于“如何处理非齐次项和初始条件”的语境下进行讲解。我发现，许多教材在讲授拉氏变换时，往往会列出一大堆变换对，然后就是机械的计算，但此书却花了整整一节的篇幅讨论拉普拉斯逆变换在系统响应分析中的物理意义，它用一个受迫振动的例子，清晰地展示了自由响应和强迫响应是如何通过积分逆变换自然地结合在一起的。这种脉络清晰、层层递进的编排，极大地降低了初学者的学习曲线，使得那些原本看起来难以逾越的知识点，变得触手可及。

评分☆☆☆☆☆