Stochastic Processes and Orthogonal Polynomials pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Wim Schoutens

出品人:

页数:197

译者:

出版时间:2000-4-27

价格:USD 109.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780387950150

丛书系列:

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• Mathematical Analysis
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• Approximation Theory
• Asymptotic Analysis
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随机过程与正交多项式：一场跨越概率论与数学分析的精妙对话 在现代科学研究的广袤图景中，数学作为描述和理解世界的基础语言，扮演着至关重要的角色。而在这门宏大而精深的学科中，随机过程与正交多项式是两个独立又紧密交织的璀璨分支。前者以其捕捉和分析不确定性现象的能力，在物理、金融、工程、生物等众多领域展现出无与伦比的实用价值；后者则以其优雅的代数结构和优越的逼近性质，成为数学分析、数值计算和理论物理等领域不可或缺的工具。 《随机过程与正交多项式》 这本书，便是一次深入探索这两个领域之间深刻联系的学术之旅。它旨在揭示隐藏在这两个看似独立的数学结构背后的统一性，展现它们如何相互启发、相互促进，共同构筑起解决复杂问题的强大理论框架。本书并非简单地将两个主题并列，而是致力于阐述它们在各自领域内的精髓，并着重挖掘它们在特定场景下的交汇点，呈现出一种超越表面联系的深层数学美感。 随机过程：驾驭不确定性的艺术 本书首先会深入探讨随机过程的理论基石。我们将从最基础的概率论概念出发，逐步引入随机变量、概率分布、期望、方差等核心要素。在此基础上，我们将进入随机过程的广阔天地，对各种重要的随机过程模型进行详尽的介绍和分析。 马尔可夫链 (Markov Chains)：作为最简单也最基础的随机过程模型之一，马尔可夫链以其“无记忆性”的特点，在状态转移、平稳分布、遍历性等方面展现出丰富的理论。本书将细致讲解离散时间马尔可夫链和连续时间马尔可夫链的定义、性质，以及其在排队论、可靠性分析、社交网络模型等领域的应用。我们将通过清晰的数学推导和直观的例子，帮助读者理解马尔可夫链的动力学行为。 泊松过程 (Poisson Processes)：描述随机事件在时间或空间上独立发生的模型，泊松过程是研究计数数据和事件序列的有力工具。本书将深入探讨其增量独立平稳、泊松分布的性质，以及如何构建和分析复合泊松过程。从电话呼叫的到达，到放射性粒子的衰减，泊松过程的身影无处不在。 布朗运动 (Brownian Motion)：作为描述微观粒子无规则运动的模型，布朗运动是研究连续时间随机过程的典范。本书将详细介绍标准布朗运动的定义、性质（如连续性、独立增量、平方可积性），以及与之相关的随机积分（如伊藤积分）的理论。布朗运动在金融数学（Black-Scholes模型）、统计物理（扩散过程）等领域具有极其重要的地位，我们将通过严谨的数学论证，揭示其内在的深刻含义。 平稳过程 (Stationary Processes)：对于那些统计特性不随时间变化的随机过程，平稳性是一个非常重要的概念。本书将介绍严平稳和宽平稳的定义，以及如何利用自协方差函数来刻画平稳过程的性质。平稳过程在信号处理、时间序列分析等领域有着广泛的应用，我们将探讨其谱表示等重要理论。 其他重要随机过程：除了上述经典模型，本书还将涉及其他一些重要的随机过程，如随机游走 (Random Walks)、维纳过程 (Wiener Processes)（布朗运动的另一个名称）、高斯过程 (Gaussian Processes) 等，根据实际需要，将为读者提供更全面的认识。 在分析这些随机过程时，本书将不仅关注其定义和性质，更将深入探讨它们的演化规律、统计特性、极限行为，并结合实际问题，给出相应的建模方法和分析工具。我们会强调随机过程在描述和预测不确定性现象中的关键作用，以及其在科学研究和工程实践中的强大生命力。 正交多项式：数学分析的“瑞士军刀” 转向正交多项式的世界，我们将见证一套优雅而强大的数学工具。正交多项式是一类特殊的函数，它们在给定的区间上，满足特定的正交关系。这种正交性赋予了它们许多优越的性质，使得它们在近似理论、数值积分、微分方程求解、概率论等领域大放异彩。 基本概念与性质：本书将从正交多项式的基本定义入手，包括多项式序列、正交性条件、范数等。我们将深入探讨正交多项式的递推关系，这是它们最为重要的代数性质之一，能够高效地生成和计算多项式序列。同时，我们将研究它们的根的分布，以及在给定区间上的分布规律。 经典正交多项式族：我们将重点介绍几族最为重要的经典正交多项式，它们各自拥有独特的定义和丰富的性质： 切比雪夫多项式 (Chebyshev Polynomials)：在逼近理论和数值计算中扮演着核心角色，它们能够提供最优的逼近效果，是设计插值和逼近函数的有力工具。我们将探讨它们的三角函数表示、递推关系以及在积分求积公式中的应用。 勒让德多项式 (Legendre Polynomials)：它们是求解二阶常微分方程（如勒让德方程）的特解，广泛应用于物理学（如静电场、量子力学）和工程学中的边值问题。本书将阐述它们的积分定义、递推关系以及在微分方程边值问题求解中的作用。 拉盖尔多项式 (Laguerre Polynomials)：它们与指数衰减函数一起构成一个正交基，在求解某些偏微分方程和概率统计问题中具有重要价值。我们将分析它们的定义、性质以及在特定积分变换中的应用。 埃尔米特多项式 (Hermite Polynomials)：与高斯概率密度函数紧密相关，埃尔米特多项式是量子力学中谐振子体系的重要工具，也在概率论和统计学中有着广泛的应用。我们将探讨其与高斯积分的关系，以及在谱方法中的应用。 其他重要的正交多项式：根据研究的侧重点，我们还将简要介绍其他重要的正交多项式家族，如雅可比多项式 (Jacobi Polynomials) 等，展示其在不同数学分支中的个性化应用。 正交多项式的应用：本书将着重阐述正交多项式在以下几个关键领域的应用： 逼近理论：如何利用正交多项式作为基函数，对任意连续函数进行最佳逼近，以及逼近误差的分析。 数值积分（求积公式）：如何利用正交多项式的根作为积分节点，构建高精度的数值积分公式，如高斯-勒让德求积、高斯-切比雪夫求积等。 微分方程的求解：如何利用正交多项式作为试函数，通过伽辽金法等数值方法求解常微分方程和偏微分方程。 概率论与数理统计：正交多项式在概率密度函数的展开、矩的计算、统计量的估计等方面扮演着重要角色。 随机过程与正交多项式的交汇之处 本书的核心价值在于深入挖掘随机过程与正交多项式之间精妙的联系。这种联系并非偶然，而是隐藏在它们各自的数学结构之中。 正交多项式作为随机变量的刻画工具：很多重要的随机变量（如正态分布、贝塔分布等）的概率密度函数，都可以被看作是与某种正交多项式族相关的函数。例如，埃尔米特多项式与标准正态分布的概率密度函数有着天然的联系，而切比雪夫多项式与某些截断的均匀分布有着密切的关系。本书将展示如何利用正交多项式展开来表示和分析这些随机变量的特性，如矩的计算、分布函数的逼近等。 随机过程的统计特性与正交多项式：某些随机过程的统计特性，例如自协方差函数，也可能与正交多项式的性质相互呼应。在分析某些随机过程的长期行为或离散化表示时，正交多项式可以作为一种有效的工具。例如，在对离散时间平稳过程进行谱分析时，有时会自然地出现与特定正交多项式相关的谱密度函数。 随机过程的模拟与正交多项式：在模拟某些具有特殊概率分布的随机变量时，正交多项式可以提供高效的生成方法。例如，可以通过利用正交多项式的递推关系，构造出具有特定分布的随机数生成器。 正交多项式在随机过程分析中的算法实现：在实际应用中，很多随机过程的分析需要借助数值方法。而正交多项式在数值积分、多项式插值等方面的优越性，使其成为实现随机过程分析算法的理想选择。例如，在计算随机过程的期望值或相关函数时，常常需要进行数值积分，此时高效的高斯求积公式（基于正交多项式的性质）就能发挥巨大作用。 特定随机过程模型与正交多项式的深层关联：本书将聚焦于那些直接显现出正交多项式特性的随机过程模型。例如，我们将探讨与离散概率分布（如二项分布、泊松分布）相关的多项式，以及它们在分析离散时间随机过程中的应用。同时，我们将关注那些概率密度函数本身就与某个正交多项式族相关的随机过程，例如，基于某个特定权函数（与正交多项式对应的权函数）的连续时间过程，其样本路径的性质和统计特性就可以与相应的正交多项式联系起来。 学习本书，你将获得： 通过系统地学习《随机过程与正交多项式》，读者将能够： 深刻理解随机过程的核心概念和模型：掌握描述和分析不确定性现象的强大工具。 精通正交多项式的理论与应用：掌握一套优雅且高效的数学工具，用于解决逼近、积分、微分方程等问题。 洞察随机过程与正交多项式之间的深层联系：发现数学领域内在的统一性和美感，掌握一种更加高级的数学思维方式。 提升解决复杂科学与工程问题的能力：能够运用本书介绍的理论和方法，应对更广泛、更具挑战性的实际问题。 本书的编写旨在为数学、物理、工程、金融、统计等领域的学生、研究人员和实践者提供一份全面而深入的参考。它既是对这两个重要数学分支的独立阐述，更是对它们之间相互融合、相得益彰的深刻揭示，引领读者走进一个充满数学智慧和应用潜力的广阔天地。

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如果将这本书定位为一本“参考手册”而非“教学用书”，或许还能找到一丝存在的理由，但这需要读者拥有极强的自我导航和信息过滤能力。它的“参考”价值仅体现在其对某些罕见或特定的数学构造进行了罗列，但即便如此，这种罗列也常常缺乏必要的上下文解释。例如，在讨论正交多项式的一般化理论时，作者似乎更热衷于展示理论上的完备性，而不是提供任何可以实际操作的计算技巧。我试图寻找如何利用这些多项式去近似求解某个常微分方程的有效步骤，但书中仅仅给出了一个高度抽象的、基于希尔伯特空间投影的论述，对于实际的数值计算几乎没有指导意义。这本书更像是数学家为了证明理论的严密性而写就的“内部文件”，而非面向广大应用领域研究者或工程技术人员的友好指南。它成功地展示了随机过程和正交多项式在理论上的交集，但却完全忽略了将这些深奥概念转化为实际工具的必要步骤和直观洞察，使得整本书给人的感觉是空洞而自恋的。

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这本书的习题设计简直是反人类的折磨。它们要么是过于简单、直接套用公式的机械练习，对提升分析能力毫无帮助；要么是极其晦涩、与章节内容关联性不强的“挑战题”，其难度跨越了整本书的学习曲线。我尝试做了几个看似中等难度的题目，却发现它们要么需要引入完全没有在正文中介绍的外部知识，要么其解法异常繁琐，远远超出了该主题初级或中级掌握的要求。更糟糕的是，书中竟然完全没有提供任何习题的答案或详细的解题步骤。对于一个旨在自学或巩固知识的读者来说，缺乏反馈机制的学习路径是极其危险且低效的。我不得不承认，这本书的价值几乎完全依赖于其正文内容的阐述，而一旦脱离了文本的引导去独立思考和解决问题，这本书就完全失去了辅助学习的功能。可以说，习题部分的缺失和质量问题，彻底宣告了它作为一本有效教学工具的失败。

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从学术严谨性的角度审视，这本书的论证结构存在明显的缺陷，其整体的连贯性令人质疑。它似乎试图在一个单一的框架内囊括从基础概率论到高级测度论在内的所有相关内容，结果导致了在不同深度和广度之间的摇摆不定。某些章节过于基础，仿佛是为本科生准备的入门导论，而紧接着下一章又突然跳跃到需要研究生级别随机分析背景才能理解的复杂定理。这种内容组织上的“锯齿效应”使得阅读体验如同坐过山车般不稳定。此外，书中引用的参考文献相对过时，许多现代随机过程理论中已经被公认的更优化的方法和更简洁的表述，在这本书里都没有体现。我感觉自己像是在阅读一本二十年前的文献综述，而非一本紧跟时代前沿的专业参考书。对于需要将随机过程应用于现代计算科学或数据分析的读者而言，这本书提供的工具箱显得陈旧且不适用。缺乏对蒙特卡洛方法、鞅论在统计推断中的应用等现代热点话题的探讨，使得其价值大打折扣。

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这本书的排版和装帧简直是一场灾难，封面设计得像是一份八十年代的晦涩教科书，字体选择让人费解，而且纸张质量低劣，拿在手里沉甸甸的，但丝毫没有“厚重感”，反而有一种廉价的填充感。内容方面，这本书的叙述风格极其跳跃，作者似乎深谙如何用最复杂的数学语言来表达最基础的概念，每一页都充斥着密密麻麻的公式和证明，中间几乎没有足够清晰的解释或直观的例子来引导读者。阅读体验非常糟糕，我常常需要花费大量时间去猜测作者究竟想表达什么，而不是沉浸在对随机过程和正交多项式的理解之中。更令人沮丧的是，书中似乎存在大量的印刷错误和符号不一致，这对于需要精确性的数学书籍来说是致命的。对于初学者而言，这本书无疑是劝退利器；即便对于有一定基础的研究者，其晦涩的表达也使得查阅特定知识点成为一项考验耐心的任务。我曾试图通过目录去定位我需要的部分，但目录的组织结构本身也显得逻辑混乱，缺乏清晰的章节划分和主题聚焦。总而言之，这本书在形式和内容传递效率上都未能达到现代学术出版应有的水准，更像是一个未经充分编辑的、作者的个人笔记汇编，而非一本面向广泛读者的专业著作。

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我花了整整一个周末试图理解其中关于马尔可夫链的特定章节，结果发现作者对时间齐次性和状态空间的讨论显得过于理论化，完全脱离了实际应用场景。例如，当涉及到连续时间过程时，作者只是简单地抛出了Lévy过程的定义，却没有深入剖析其路径的性质及其在金融建模或物理扩散问题中的直观意义。更令人困惑的是，书中对某些核心定理的证明过程，中间环节被大量省略，仅仅用“不证自明”或者“可通过标准方法推导”一笔带过，这对于希望建立扎实理解的读者来说是极大的障碍。这种处理方式迫使我不得不频繁地从外部资源寻找补充材料，使得阅读的连贯性被完全打断。正交多项式的部分也未能幸免，关于其递归关系的推导，作者采用了非常规的积分表示法，导致读者在代数操作上迷失方向。如果说一本好的教材应该起到桥梁的作用，那么这本书更像是一堵密不透风的墙，将读者阻挡在知识门槛之外。我期待的深度和清晰度完全没有体现出来，只有堆砌的符号和缺乏上下文的定理陈述。

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