Second Order Elliptic Equations and Elliptic Systems (Translations of Mathematical Monographs) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Ya-Zhe Chen

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1998-03

价格:USD 104.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821809709

丛书系列:

图书标签:

• 偏微分方程
• 椭圆方程
• 椭圆系统
• 数学分析
• 泛函分析
• 偏微分方程组
• 数值分析
• 数学物理
• 常微分方程
• 微积分

好的，这是一本关于偏微分方程，特别是二阶椭圆型方程和椭圆型方程组的专业著作的详细内容介绍，旨在全面涵盖该领域的核心理论与方法，而不涉及您提到的特定书籍的内容。 --- 《高维非线性椭圆型偏微分方程理论与应用》 书籍简介 本书旨在系统、深入地探讨高维空间中二阶非线性椭圆型偏微分方程（PDEs）的理论基础、存在性、唯一性、正则性以及定性性质。作为偏微分方程领域，特别是变分法和正则性理论的核心分支，椭圆型方程在描述稳态物理现象（如势场理论、稳态扩散、弹性理论等）中占据着不可替代的地位。本书的深度和广度使其不仅适合于偏微分方程专业的研究生和研究人员，也为希望在数学物理和应用数学领域深耕的工程师和科学家提供了一套严谨的理论工具。 全书结构设计上，从基础的线性椭圆型方程出发，逐步过渡到复杂多变的非线性问题，特别关注具有奇异性、退化性或随机性的方程。重点章节深入探讨了由变分问题引出的椭圆型方程的解的结构和性质。 第一部分：线性椭圆型方程基础 本部分奠定了理解后续非线性问题所必需的数学框架。 第一章：基础概念与基本解 本章首先回顾了对椭圆型方程的严格定义，区分了绝对椭圆型、弱椭圆型以及退化椭圆型方程。重点介绍了二维和三维空间中的基本解（格林函数），并讨论了这些基本解在构建弱解和分布解中的关键作用。讨论了最大值原理的初步形式及其在保证解的边界行为方面的意义。 第二章：Sobolev 空间与弱解理论 本书的核心工具——Sobolev 空间 $W^{k,p}$ 得到详细介绍。这部分详述了函数空间上的嵌入定理（Rellich-Kondrachov 定理），为后续的能量估计和紧性论证打下基础。接着，严格定义了椭圆型方程的弱解概念，特别是对于不可微系数的方程。 第三章：基本算子估计与先验估计 本章聚焦于椭圆型算子在 Sobolev 空间中的正则性估计。讲解了关于二阶线性椭圆型方程的 Schrödinger 型估计 和 Hölder 估计 的经典理论，例如 A. V. D'Alembert-Poincaré 估计。通过这些先验估计，证明了解的存在性（基于泛函分析中的 Lax-Milgram 定理）和唯一性。 第四章：椭圆型方程的正则性理论 本章是理论分析的精髓。系统阐述了从弱解到经典解（或至少是更高正则性的解）的提升过程。深入分析了二阶线性方程解的 $C^{2,alpha}$ Hölder 连续性。讨论了边界正则性，特别是当系数和边界足够光滑时，解的二阶导数在边界附近的性质。 第二部分：非线性椭圆型方程的理论 本部分转向更具挑战性的非线性问题，特别是与变分方法紧密相关的方程。 第五章：变分法基础与自然梯度 本章介绍了将椭圆型方程与变分泛函联系起来的方法，即 Euler-Lagrange 方程。重点讨论了二次泛函和一般的连续可微泛函。引入了变分不等式的概念，作为泛函优化问题在分布意义下的表达。 第六章：非线性椭圆型方程的解的存在性 本章主要处理 $F(x, u, Du, D^2u) = 0$ 形式的方程。探讨了 Monge-Ampère 方程 和 p-Laplace 方程 等典型非线性方程。利用 Schauder 不动点定理 和 Brouwer 不动点定理 结合紧性方法，证明了在特定能量约束下的解的存在性。对非线性项的增长性（如 $p>2$ 的情况）进行了细致的分类讨论。 第七章：非线性方程的正则性提升 对于非线性问题，正则性提升远比线性情况复杂。本章详细介绍了 Morrey 空间 的应用，特别是在处理 $p$-Laplace 方程时的梯度估计。对解的二阶导数的局部有界性进行了深入分析，并讨论了当解可能在某处失效（blow-up）时的临界情况。 第八章：自由边界问题与变分不等式 本章讨论了涉及约束条件的椭圆型方程，例如最优控制问题和Stefan 问题。通过 Stampacchia 的截断技巧 和 Demyanov 算子，分析了变分不等式解的正则性，并探讨了自由边界（即解的“光滑区域”与“非光滑区域”的分界线）的正则性。 第三部分：特殊方程与高级主题 本部分拓展到具有特定物理背景或高度复杂性的方程类型。 第九章：退化与奇异椭圆型方程 本章关注系数在某处消失或趋于无穷的方程，例如 Fokker-Planck 方程 的稳态部分或 Moser-Trudinger 类型的方程。深入研究了这些方程如何打破标准椭圆型理论的假设，并介绍了新的分析工具，如 Capacity Theory（容量论）来处理奇异性。 第十章：随机系数的椭圆型方程（随机偏微分方程的稳态部分） 本章引入了概率论的观点，讨论了系数依赖于随机场的椭圆型方程。重点在于 随机平均值原理 和 遍历性理论 的初步应用。分析了在宏观尺度下，随机场如何影响解的统计性质（如均值和方差）。 第十一章：椭圆型系统的多尺度分析 本章转向一组耦合的椭圆型方程（椭圆型系统）。特别关注 弹性力学中的 Navier-Lamé 方程组 和 电磁学中的稳态麦克斯韦方程组。讨论了系统中的耦合项如何影响整体的正则性和解的稳定性。引入了 块状矩阵估计 来处理相互依赖的导数项。 第十二章：数值方法与稳定性分析 最后，本章简要介绍了求解高维非线性椭圆型方程的数值技术。重点介绍了 有限元法（FEM） 在处理复杂几何和混合边界条件时的应用。讨论了数值解的收敛性，以及在迭代求解非线性系统时如何保证数值稳定性和精度。 本书特点： 本书的叙事逻辑严密，从基础概念到前沿研究的过渡自然流畅。每一章都包含大量的定义、定理和详细的证明步骤，旨在培养读者对该领域深刻的理论洞察力。书中的许多例子直接来源于经典物理模型的简化，确保了理论与实际应用的紧密联系。虽然内容具有高度的专业性，但对关键步骤的详细分解，使得具有扎实的分析基础的读者能够独立掌握这些复杂的理论工具。 ---

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这本书的深度显然不是为初学者准备的，它直指偏微分方程理论的核心地带。其中关于正则性理论的讨论，尤其令人印象深刻，那种层层递进的论证结构，严密得如同滴水不漏的堡垒。每一个定理的证明，都凝聚了作者深厚的功力，包含了对先前所有引理和引理前置条件的精确调用。我花了数周时间才勉强跟上关于最大值原理推广部分的思路，那种豁然开朗的感觉，是单纯通过阅读一些综述性文章所无法获得的满足感。书中对一些关键点的讨论，比如解的存在性与唯一性证明中的边界条件处理，展现了作者对细节的苛求。这不只是一本教科书，更像是一份详尽的“算法蓝图”，展示了如何从基本假设构建起一个宏伟的数学理论大厦。读完其中一个章节，感觉自己的数学思维都得到了彻底的洗礼和重塑。

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阅读体验中，我不得不提到书中对“系统”部分的处理方式，这部分内容相对于单独的方程研究，复杂性呈指数级增长。作者在阐述多变量椭圆系统时，似乎有一种将原本看似不相关的多个方程强行整合进一个统一框架下的魔力。不同类型的耦合关系是如何影响最终解的性质，书中分析得极为透彻。我特别留意了那些关于向量值解的讨论，这要求读者对泛函分析中的范数理论有扎实的理解，书中对 Lp 空间和索博列夫空间的引用频繁且精确，这要求读者必须时刻保持对背景知识的复习。虽然偶尔需要停下来查阅其他参考书来巩固某些分析基础，但这恰恰证明了本书作为“进阶工具书”的定位——它假设你已经具备了坚实的分析基础，并准备好迎接更高级别的挑战。它不是来教你基础，而是来帮你精通前沿。

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从装帧的厚度和页数的密度来看，这本书无疑是一部重量级的学术专著，它更像是研究人员的案头必备工具书，而非课堂教材。其内容组织结构呈现出一种高度的模块化特性，使得研究者可以针对特定问题快速定位到相关的定理和证明。不过，这种极度专业化的聚焦，也意味着它可能不适合那些仅仅想对椭圆方程有一个“大致了解”的读者。书中几乎没有大量的图示或直观的示意图来辅助理解，完全依赖于纯粹的符号逻辑和文字推导。对于那些需要快速在工程或应用领域使用这些方程的实践者来说，这本书可能显得过于抽象和理论化了。它更偏向于数学纯粹理论的探索，而非工程应用导向的快速解法指南，适合那些致力于在该领域进行深入研究或寻求理论突破的学者。

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初次接触这类专门研究椭圆型方程的著作，我原本以为会是一场枯燥乏味的公式堆砌，但这本书的叙述方式却出乎我的意料。作者在引入新概念时，往往会先进行一番相当细致的背景铺陈，这对于我这种非纯数学专业背景的读者来说，是极其友好的。他们并没有直接跃入复杂的证明，而是先用几何直觉或物理背景来勾勒出问题的轮廓，使得那些抽象的数学结构变得可触摸、可理解。举例来说，对于热传导或电磁场这些经典应用场景的引入，处理得非常巧妙，让人在理解“为什么需要研究这些方程”时，能找到一个坚实的立足点。虽然阅读过程依然需要高度集中注意力，但这种循序渐进的引导，极大地降低了初次接触高等椭圆方程时的心理门槛。它更像是一位耐心的导师，而不是冷冰冰的参考手册。

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这本书的封面设计非常朴素，封面上印着作者的姓名和书名，字体是那种经典的衬线字体，带着一种老派的学术气息。纸张的质感略微偏黄，散发出旧书特有的味道，虽然是新书，但总让人联想到图书馆里那些尘封已久的经典著作。内页的排版十分严谨，数学公式的印刷清晰锐利，每一个符号都处理得恰到好处，看得出出版方在细节上花费了心思。这本书的装帧给人一种沉甸甸的感觉，捧在手里时，能真切感受到其中蕴含的知识重量。尽管内容艰深，但这种扎实的物理实体感，对于数学学习者来说，本身就是一种无声的鼓励，仿佛在说：“拿起我，去挑战那些深刻的数学难题吧。”我喜欢这种不花哨、专注于内容本身的风格，它让读者能更纯粹地沉浸在数学的逻辑世界里，而不是被花哨的视觉元素所干扰。翻开书本时，空气中似乎都弥漫着一种严肃而又引人入胜的学术氛围。

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