Collected Mathematical Papers. Edited by J.w.l. Glaisher. With a Mathematical Introd (Volume 1) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:General Books LLC

作者:Henry John Stephen Smith

出品人:

页数:424

译者:

出版时间:2010-01-03

价格:USD 43.04

装帧:Paperback

isbn号码:9781151981189

丛书系列:

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近现代数学前沿：理论、方法与应用探析 本书精选近现代数学领域内最具影响力、最具代表性的前沿研究论文与综述文章，旨在为专业研究人员、高年级本科生及研究生提供一个全面而深入的视角，洞察当前数学科学的发展脉络、核心议题与未来趋势。 本书汇集了来自代数、几何、拓扑、分析、数理逻辑、应用数学等多个核心分支的经典与新近成果。我们特别侧重于那些成功构建了跨学科桥梁、引入了创新性技术范式或为基础科学突破提供了关键数学工具的工作。全书结构严谨，力求在保持学术深度的同时，兼顾不同领域读者间的理解与交流。 --- 第一部分：代数与几何的深刻融合：范畴、结构与不变量 本部分聚焦于抽象代数在现代几何学和拓扑学中的应用与深化，特别是围绕范畴论在统一不同数学分支中的核心作用。 章节一：高阶范畴论与模型结构 (Higher Category Theory and Model Structures) 本章深入探讨了高阶范畴（如$infty$-范畴，即 $(infty, 1)$-范畴）的严格定义、构造方法及其在代数拓扑学中的基础地位。内容涵盖了导出代数几何（Derived Algebraic Geometry）的核心框架，重点解析了三角范畴（Triangulated Categories）与导出函子（Derived Functors）的概念。 关键主题： 霍姆拓扑（Homotopy Theory）与代数结构的联系，带边空间（Spaces with corners）的范畴化，以及高阶代数结构（如高阶李代数、高阶代数群）的范畴论描述。我们着重讨论了Rezk完备性定理在稳定同伦论中的应用。 方法论： 详细阐述了使用模型范畴（Model Categories）作为技术工具来处理非交换几何中的局部化与粘合问题。 章节二：代数K理论与L理论的前沿进展 (Frontiers in Algebraic K-Theory and L-Theory) 本章回顾了自十年前以来，代数K理论在解决算术几何与拓扑学中的悬而未决问题方面取得的进展。重点分析了比（Beilinson）-宗（Soulé）公式的推广，以及其在研究代数簇的局部与整体性质间的联系。 核心内容： 针对Motivic Cohomology（动机上同调）的最新构造，特别是与Quillen-Glatz猜想相关的研究。对流形上的L2不变量（L2-Invariants on Manifolds）的分析，探讨了林德霍夫（Lück-Lott）代数在不动点定理中的应用。 专题讨论： 介绍了非交换代数K理论在描述图谱与网络动力学中的初步尝试，以及这些理论如何帮助理解量子场论中的规范场。 章节三：微分几何中的拓扑场论 (Topological Field Theories in Differential Geometry) 本节着重于西格尔-维滕理论（Siegel-Witten Theory）的现代解释，及其在低维流形结构分类中的作用。 几何分析： 探讨了Chern-Simons理论的量子化过程，特别是如何通过路径积分来定义Chern-Simons不变量。内容包括Floer同调的构造与性质，以及其在纽结理论（Knot Theory）中的具体应用案例。 新视角： 分析了镜像对称（Mirror Symmetry）在卡拉比-丘流形（Calabi-Yau Manifolds）上的代数化版本，结合了弦论中的几何背景。 --- 第二部分：分析的深化与动力系统的复杂性 本部分转向数学分析领域，关注偏微分方程（PDEs）、调和分析的非线性问题，以及复杂系统的动力学行为。 章节四：非线性PDEs的全局解与奇性形成 (Global Solutions and Singularity Formation in Nonlinear PDEs) 本章集中讨论了几类关键的非线性偏微分方程，如纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes）、薛定谔方程（Schrödinger）和波方程（Wave Equations）的适度性（Well-posedness）和爆破现象（Blow-up Phenomena）。 关键进展： 现代调和分析技术，尤其是微商估计（Microlocal Estimates）和重整化群方法（Renormalization Group Methods）在处理非线性色散关系时的效率。对三维不可压缩纳维-斯托克斯方程的能量耗散和滑度的研究，探讨了是否存在非光滑解的数学证据。 案例分析： 深入分析了Schrödinger方程中孤波（Solitons）和呼吸解（Breathing Solutions）的稳定性，及其与非线性光学模型的关联。 章节五：测度论、势论与概率方法的交集 (Intersections of Measure Theory, Potential Theory, and Probabilistic Methods) 本部分关注于几何测度论（Geometric Measure Theory）在随机过程分析中的应用，特别是随机调和分析（Stochastic Harmonic Analysis）。 测度与正则性： 讨论了卡尔曼-斯图茨-沃兹（Calderón-Zygmund）算子的随机边界（Stochastic Boundaries）下的行为，以及Hausdorff测度在分析非光滑集上的函数空间时的局限性。 动力系统中的遍历理论： 重新审视了庞加莱回归定理在复杂映射（如分形吸引子）中的应用，并引入了信息维度（Information Dimension）的概念来描述随机过程的几何复杂性。重点关注随机微分方程（SDEs）在描述金融市场波动中的精确解法。 --- 第三部分：数理逻辑、计算与理论基础 本部分探讨了现代数学的逻辑基础、计算复杂性理论，以及这些基础对可计算性理论的影响。 章节六：模型论在算术与几何中的新应用 (New Applications of Model Theory in Arithmetic and Geometry) 本章将焦点置于模型论（Model Theory）的方法如何揭示代数结构之间的深层同构关系。 核心工具： 深入解析了超实数系统（Surreal Numbers）和非标准分析（Nonstandard Analysis）在处理无穷小和无穷大量时的严谨性。重点讨论了Tarski-Ziegler同构定理在将代数问题转化为逻辑问题上的威力。 应用实例： 探讨了Deformation Quantization（形变量子化）的逻辑结构，以及稳定模型（Stable Models）在区分代数簇的同构类别中的作用。 章节七：计算复杂性与数学证明的结构 (Computational Complexity and the Structure of Mathematical Proofs) 本节探讨了理论计算机科学对数学证明的认识论影响。内容从P vs NP问题出发，延伸到证明的自动化与简洁性。 理论框架： 详细阐述了交互式证明系统（Interactive Proof Systems）和零知识证明（Zero-Knowledge Proofs）在验证复杂数学定理中的潜力。分析了柯兰德-罗宾斯定理（Kleene-Robbins Theorem）在定义可计算函数类中的地位。 现代挑战： 讨论了Hodge 猜想和黎曼猜想等未解决问题的证明所需计算资源的理论极限，以及如何使用量子计算的潜力来突破这些限制。 --- 本书结构旨在体现现代数学研究的跨学科精神，引导读者超越单一领域的局限，理解数学作为一个整体的演进方向。每一章节均附有详尽的参考文献和开放性问题，激发后续研究的灵感。

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