Riemann-Roch Algebra (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften) (v. 277) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:William Fulton

出品人:

页数:220

译者:

出版时间:1985-08-15

价格:USD 149.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387960869

丛书系列:Grundlehren der mathematischen Wissenschaften

图书标签:

• 其余代数7
• Riemann-Roch theorem
• Algebraic geometry
• Birational geometry
• Intersection theory
• Characteristic classes
• Sheaf cohomology
• Complex manifolds
• Hodge theory
• Arithmetic geometry
• Number theory

黎曼-罗赫代数 (Riemann-Roch Algebra) （基于格伦德勒数学科学基础丛书，第277卷） 导言 本书深入探讨了黎曼-罗赫代数这一深刻而基础的数学结构。该代数并非指代一个特定的、单一的代数系统，而是指代一系列在代数几何、复分析、表示论以及数论等多个领域中扮演核心角色的代数框架，它们共同源于对经典黎曼-罗赫定理的几何和代数推广。本书的重点在于揭示这些代数结构背后的统一性、内在联系，以及它们在解决几何和算术问题中的强大威力。 第一部分：背景与基础 本书始于对黎曼曲面理论的严谨回顾，这是黎曼-罗赫定理诞生的土壤。我们将详细考察线丛（line bundles）、局部自由层的概念，以及在紧致黎曼曲面上的函数域的代数结构。重点讨论了维度公式——黎曼-罗赫定理的经典表述——及其在复分析和代数几何中的不同诠释。 随后，我们将转向代数几何的语言，将黎曼曲面视为光滑射影曲线的特例。在此背景下，我们引入了层上同调（sheaf cohomology）的概念，特别是 $ ext{H}^0$ 和 $ ext{H}^1$ 群，这些是理解黎曼-罗赫代数几何基础的关键工具。我们详细阐述了向量丛（vector bundles）及其在代数簇上的推广，特别是如何利用这些工具来定义广义的截面空间。 第二部分：黎曼-罗赫代数的代数结构 本书的核心在于对黎曼-罗赫代数的构造和性质的探讨。我们借鉴代数几何中的经典方法，引入了拟线性系统（Pencils of linear systems）和模空间（Moduli Spaces）的概念。黎曼-罗赫代数在此处表现为一个围绕特定几何对象（如曲线、簇或更一般的概形）构建的同调代数（Homological Algebra）结构。 我们重点分析了以下几种关键的代数构造： 1. 向量丛上的黎曼-罗赫代数： 针对代数簇 $X$ 上的某个向量丛 $E$，我们构造了一个基于其上同调群的代数结构。这通常涉及对拉普拉斯算子（Laplacian operator）或更一般的微分算子的谱分析，以及如何将这些分析结果转化为代数运算。 2. 曲线的模空间上的函数代数： 当我们考虑一族曲线（例如椭圆曲线或高 genus 曲线）的模空间时，黎曼-罗赫代数被用来描述该模空间上定义的“通用”对象的截面空间。这需要精细地处理模空间上的标定（Markings）和稳定化（Stabilization）问题，特别是在算术几何的背景下。 3. 非交换黎曼-罗赫代数： 考虑到更一般的情况，即当所研究的对象不再是光滑的代数簇时，我们探讨了如何使用非交换几何的工具来推广黎曼-罗赫理论。这涉及到使用非交换代数来替代传统的函数环，例如在动力系统或量子场论的某些模型中出现的情况。 第三部分：代数与几何的交织 本书的后续章节致力于阐明黎曼-罗赫代数如何成为连接不同数学领域的桥梁。 拓扑/几何视角： 我们详细分析了吉布斯-阿蒂亚（Grothendieck-Atiyah）的黎曼-罗赫定理的代数框架。这包括对Chern类（Chern classes）和Todd类（Todd classes）的深入研究，以及如何利用它们来计算上同调群的维数。我们将这种计算视为代数结构（例如张量积和对称幂）作用于向量丛上同调群的体现。 表示论视角： 我们考察了黎曼-罗赫代数在有限群表示论中的应用。特别是，当曲线具有自同构群时，黎曼-罗赫代数成为描述这些自同构作用于截面空间的方式的代数工具。这与共形场论（Conformal Field Theory, CFT）中的 Verma 模和 Krichever 构造有深刻的联系。我们展示了如何通过构造一个特定的李代数或 Hopf 代数结构，使得黎曼-罗赫代数成为其表示理论中的关键元素。 算术几何的推广： 最终，本书探讨了黎曼-罗赫代数在算术几何中的极端推广，例如在Arakelov几何的框架下。我们讨论了如何用Green函数和势函数（Potentials）来代替经典的函数和除数，从而在数域上而非复数域上定义类似的代数结构，并研究了其在BSD猜想某些变体中的潜在角色。 结论 本书旨在为读者提供一个全面而深入的视角，理解黎曼-罗赫代数不仅仅是一个几何公式的推论，而是一套具有丰富内在结构的、在现代数学研究中不可或缺的代数框架。通过这种框架，我们可以对几何对象进行精确的算术和拓扑计算，并揭示不同数学分支之间的深层同构。全书结构严谨，逻辑清晰，适合具有扎实的代数几何和代数拓扑基础的研究人员和高年级研究生。

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