Selberg Trace Formula for Psl (Lecture Notes in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Dennis A. Hejhal

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1983-08

价格:USD 75.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780387123233

丛书系列:Lecture Notes in Mathematics

图书标签:

• 数学
• 数论
• 自守形式
• Selberg迹公式
• PSL群
• 谱理论
• 调和分析
• 李群
• 表示论
• 几何学

专题综述：解析数论、自守形式与黎曼曲面几何 导言 本书旨在为读者提供一个深入探索数学交叉领域——解析数论、自守形式理论以及非欧几何——的全面视角。我们将聚焦于这些领域内几个核心概念的相互联系和相互影响，特别强调现代数学研究的前沿动态和重要进展。本书的结构设计旨在引导读者从基础概念逐步深入到复杂的高级理论，并最终触及当前研究的热点问题。 第一部分：经典解析数论的回顾与现代转型 1.1 黎曼$zeta$函数与素数分布 本部分将从黎曼$zeta$函数的经典定义出发，回顾其在素数定理证明中的关键作用。我们将详细分析欧拉乘积公式，并探讨$zeta$函数零点分布与素数随机性之间的深刻联系。重点将放在魏因布朗（Weinberger）的素数定理变体，以及解析方法在处理素数分布不规则性方面的局限性与突破口。此外，将引入狄利克雷$L$函数，并讨论其在算术级数中素数分布理论中的重要地位，特别是关于“零点是否存在于临界线之外”这一核心问题的进展。 1.2 狄利克雷特征与代数数论的桥梁 详细考察狄利克雷特征的构造及其在分析傅里叶级数中的应用。我们将阐释如何利用特征函数来分离和研究模算术的结构。这部分将过渡到代数数论，讨论有限域上的特征和高斯和的性质，为后续引入自守形式的广义化打下基础。 第二部分：自守形式的结构与模函数 2.1 模群的代数与几何结构 深入研究模群 $ ext{SL}_2(mathbb{Z})$ 的结构。我们将从线性群的定义出发，构建其在庞加莱上半平面 $mathbb{H}$ 上的作用，详细描述莫比乌斯变换及其对 $mathbb{H}$ 的作用。重点分析商空间 $ ext{SL}_2(mathbb{Z}) ackslash mathbb{H}$（即一级模曲面）的拓扑结构，包括其亏格、尖点（cusps）和抛物线子群的性质。使用矩阵论的语言来描述自由群的生成元及其关系式。 2.2 模函数的定义与性质 精确定义模函数，特别是其在尖点处的行为（范特定义）。我们将考察艾森斯坦级数（Eisenstein Series）的构造，并证明它们是模函数空间中的基本元素。利用模微分方程来理解模函数的解析性质，并引入拉马努金 $ au$ 函数作为模形式理论的标志性对象。 2.3 Hecke算子：自守形式的动力学 Hecke算子的引入是理解模形式谱结构的关键。我们将定义作用于模空间的Hecke算子，并证明它们在模空间中是正规算子。深入分析Hecke特征值与数论函数（如除数函数）之间的关系，特别是Hecke关系式在系数乘积公式中的体现。这一部分将强调Hecke算子的谱分解如何将模空间与数论问题联系起来。 第三部分：非欧几何与黎曼曲面 3.1 庞加莱上半平面的几何 详细阐述庞加莱度量（Poincaré metric）在 $mathbb{H}$ 上的定义，以及它如何诱导出非欧几何结构。分析测地线（geodesics）的性质，证明它们在 $mathbb{H}$ 中表现为半圆或垂直线段。重点讨论 $ ext{PSL}_2(mathbb{R})$ 作用下的等距变换群，以及该群与双曲几何的关系。 3.2 黎曼曲面的构造与算术应用 将商空间 $Gamma ackslash mathbb{H}$（其中 $Gamma$ 是一个离散子群，如 $ ext{SL}_2(mathbb{Z})$）视为一个带尖点的黎曼曲面。分析曲面的拓扑不变量，特别是亏格（genus）的计算，并将其与模群的指数联系起来（如冯·德·韦尔德定理）。讨论如何利用曲面的几何结构来研究模函数的周期积分。 3.3 谱理论与几何的交叉 引入拉普拉斯-贝特拉米算子（Laplace-Beltrami Operator）在 $mathbb{H}$ 上的定义。阐述模函数如何成为该算子在特定边界条件下的特征函数。通过泊松核（Poisson Kernel）的构造，将模块化积分与狄利克雷问题联系起来。讨论模空间的几何结构如何影响其光谱属性，这是连接几何与分析的核心桥梁。 第四部分：痕迹公式的理论基础与应用潜力 4.1 黎曼-策勒（Riemann-Zeller）型痕迹公式的起源 本部分将追溯痕迹公式的早期形式，即黎曼对$zeta$函数零点与素数分布之间关系的一种猜想性的表达。解释几何对分析的启示：为什么一个离散的、由不动点构成的集合（如双曲流形上的测地线）的长度信息，能够完全决定一个连续的谱（如拉普拉斯特征值）。 4.2 策勒（Selberg）痕迹公式的代数基础 深入阐述策勒痕迹公式的构造。我们首先考察离散群 $Gamma$ 的共轭类（即测地线）的长度公式，并将其与 Hecke 算子在函数空间上的作用迹联系起来。将详细推导策勒公式的基本形式，其中包含对曲面上所有闭合测地线长度的求和，以及对特征函数谱的求和。 4.3 潜在的应用领域：从数论到量子混沌 讨论策勒痕迹公式在现代数学物理中的重要地位。分析它如何成为研究量子混沌（Quantum Chaos）的基石，即将经典动力学系统的不规则性转化为量子能级（谱）的统计性质。展望该公式在更一般化的李群上的推广，特别是与阿代尔（Adèles）和自守表示理论的结合，以及它在构造更精细的素数计数函数方面的潜力。 结论 本书旨在提供一个多维度的视野，展示解析数论、自守形式理论和几何分析之间错综复杂的关系。通过对这些核心概念的系统梳理，读者将能够把握现代数论研究的脉络，为进一步探索更前沿的课题做好准备。

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