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出版者:Dynamic Ideas

作者:Dimitris Bertsimas

出品人:

页数:602

译者:

出版时间:2005-6

价格:0

装帧:Hardcover

isbn号码:9780975914625

丛书系列:

图书标签:

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《数值分析方法与计算》 本书旨在为读者提供一套全面而实用的数值分析工具集，聚焦于算法的理解、实现与应用。我们将深入探讨各种数值计算的核心概念，从基本的精度问题到复杂方程组的求解，再到积分与微分的近似计算，并辅以大量的实例和代码片段，帮助读者掌握将理论转化为实践的能力。 第一部分：数值计算的基础 浮点数表示与误差分析： 介绍计算机如何表示实数，包括定点数和浮点数的概念，以及它们各自的优缺点。 详细阐述浮点运算中可能出现的各种误差，如截断误差、舍入误差、模型误差等，并分析误差的传播规律。 讨论有效数字的概念，以及如何通过恰当的计算策略来减小误差的影响。 引入条件数，用以衡量问题的敏感性，并指导读者识别和规避病态问题。 案例分析：例如，在计算 (x - y) 时，如果 (x approx y)，即使 (x) 和 (y) 的相对误差很小，其差值的相对误差也可能非常大。我们将通过具体例子说明如何识别和处理这类问题。 函数逼近与插值： 探讨如何用简单的函数（如多项式）来近似复杂的函数。 深入讲解多项式插值，包括拉格朗日插值、牛顿插值等方法，并分析它们的误差界。 介绍样条插值，尤其是三次样条插值，以及其在平滑曲线拟合方面的优势。 讨论最佳逼近的概念，并介绍切比雪夫逼近等理论。 实例演示：使用插值多项式来近似一个给定的数据点集，例如测量得到的实验数据，或用于模拟物理过程的函数。 第二部分：方程求解与线性代数 非线性方程求解： 介绍几种经典的单变量非线性方程求根方法，包括二分法、不动点迭代法、牛顿法及其变种（如割线法）。 分析这些方法的收敛性、收敛阶和适用范围。 探讨多变量非线性方程组的求解，重点介绍牛顿法的多维推广，以及雅可比矩阵的计算与应用。 案例分析：求解复杂的物理模型方程，如化学反应速率方程，或者工程设计中的非线性约束方程。 线性方程组的求解： 详细讲解直接法，如高斯消元法、LU分解法，并分析它们的计算复杂度和数值稳定性。 介绍迭代法，如雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法，以及收敛判据。 讨论大规模稀疏线性方程组的求解方法，包括预条件共轭梯度法等。 介绍矩阵特征值与特征向量的计算方法，如幂法、反幂法、QR算法等。 实例演练：在结构分析、电路模拟、流体力学等领域，线性方程组是核心计算部分，本书将通过实例展示这些方法的实际应用。 第三部分：积分与微分的数值计算 数值积分： 介绍各种数值积分方法，包括梯形法则、辛普森法则，以及更高级的牛顿-科特斯公式。 分析这些方法的误差和收敛性。 探讨自适应积分方法，以更有效地处理被积函数在某些区域的复杂性。 实例：计算无法解析求解的定积分，如气象学中大气压力的积分，或生物学中药物在体内分布的积分。 数值微分： 介绍基于有限差分的数值微分方法，如向前差分、向后差分和中心差分。 分析这些方法的精度和误差来源，并讨论如何提高精度。 探讨求解常微分方程（ODE）的数值方法，包括欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等，并分析它们的稳定性和收敛性。 介绍偏微分方程（PDE）的数值解法，如有限差分法、有限元法和有限体积法（将侧重于概念介绍）。 应用场景：在工程领域，常用于模拟动态系统，如机械振动的响应，或热传导过程。 第四部分：优化方法导论（仅基础概念） 优化问题的基本概念： 介绍优化问题的定义，包括目标函数、约束条件和决策变量。 区分无约束优化和约束优化问题。 介绍全局最优和局部最优的概念。 无约束优化的基本思路： 简要介绍梯度下降法作为一种基础的迭代优化方法，以及它在寻找局部最小值方面的作用。 提及其他一些概念性的方法，例如对偶退火等，但不深入讲解算法细节。 本书强调实践性，每个章节都配有详细的算法伪代码和可运行的示例程序（例如使用Python或MATLAB），帮助读者亲手实现和测试这些数值方法。通过系统学习本书，读者将能够独立分析和解决各种工程、科学和数据分析中的计算问题，为进一步深入研究打下坚实的基础。

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这本书的结构安排堪称典范，它不像其他教材那样生硬地堆砌知识点，而是构建了一个有机联结的知识体系。从最基础的集合论回顾开始，逐步过渡到核心算法的建立与分析，整个过程如同精密机械的装配，每一个齿轮都咬合得天衣无缝。我非常欣赏作者在引入新概念时所采用的“动机先行”的策略，总是先提出一个实际存在的问题或局限性，然后顺理成章地引出解决该问题的数学工具。这种“为解决问题而生”的讲述方式，极大地激发了读者的探索欲。在讨论收敛性的部分，作者采用了多种证明技巧的展示，这对于希望提升数学建模能力的读者来说，无疑是极大的财富。如果说有什么可以改进的地方，也许是希望在关于复杂系统分析的应用实例上能再多扩展一些，毕竟理论的最终价值还是体现在其广泛的适用性上。

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老实说，这本书的深度远超我的预期，它像是一部关于数字世界底层逻辑的百科全书。我尤其钟爱它对证明过程的详略得当，作者似乎深谙读者的心理，知道何时该深入剖析每一个细节，何时可以点到为止，留给读者自己去探索。这种叙述方式非常有层次感，仿佛作者正耐心地引导你攀登一座知识的高峰，每一步都有清晰的标记和必要的休息点。书中的一些章节，比如关于迭代方法的讨论，简直是艺术品，那种从看似杂乱无章的尝试中提炼出高效规则的过程，读起来令人心潮澎湃。我尝试着根据书中的方法解决了一些我手头上的难题，结果令人惊喜，那种用理论武装起来的解决问题的自信感，是其他泛泛而谈的书籍所无法给予的。唯一的遗憾可能在于参考文献部分略显单薄，对于希望进行更前沿研究的读者来说，可能需要花更多精力去搜寻后续资料。

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这本书的封面设计得非常有意思，那种深邃的蓝色调，配上抽象的几何图形，立刻让人联想到数学的严谨与深奥。我是在一个偶然的机会下翻到这本书的，当时我正在寻找一些关于高等数学和应用数学交叉领域的深入探讨。这本书的排版非常清晰，即使是复杂的公式和定理，也显得井井有条。阅读的体验很流畅，作者在阐述每一个概念时，都非常注重逻辑的连贯性，从基础的定义到复杂的证明，环环相扣，让人很容易跟上思路。我特别欣赏作者在讲解一些经典算法时所采用的类比和直观解释，这极大地降低了理解难度的门槛，让即便是初学者也能领略到其中的精妙之处。不过，我希望书中能有更多的实际案例分析，用以佐证理论的强大，这样对工程实践者来说会更有帮助。整体来说，这是一本值得细细品读的专业书籍，它不仅仅是知识的传递，更是一种思维方式的塑造。

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我接触过不少数学领域的专业书籍，但这本书在“可读性”和“专业性”之间找到了一个近乎完美的平衡点。它的语言风格非常现代且富有活力，完全没有传统教科书那种枯燥乏味的感觉。很多数学家的书总是让人觉得高高在上，而这本书的作者则更像是一位经验丰富的导师，用通俗易懂的语言将那些原本晦涩难懂的概念娓娓道来。书中穿插的一些历史背景和思想演变的小插曲，也让阅读过程充满了趣味性，让人明白这些理论是如何在历史长河中逐步完善起来的。特别是关于优化思想的哲学探讨部分，让我对计算的本质有了更深层次的理解。我花了比预期更长的时间来消化吸收，不是因为难懂，而是因为每一页都充满了值得反复咀嚼的洞见，生怕遗漏了任何一个细微的精彩之处。

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拿起这本书，我立刻感受到了作者对这个领域的热忱和敬畏。它不像是一本标准的教材，更像是一部融合了个人深刻见解的学术专著。作者在论述一些关键定理时，常常会提到不同学派之间的观点差异，这种包容和批判性的视角，让读者在学习知识的同时，也学会了如何进行独立的学术思考。书中的图表绘制得非常精美且信息量巨大，很多原本需要通过大量文字描述的几何直观性，通过一张图表便能瞬间明了，这体现了作者极高的专业素养和对读者体验的关怀。我特别喜欢其中关于计算复杂度的探讨，作者并没有止步于描述算法的效率，而是深入挖掘了其背后的理论限制，这使得整本书的格局被拔高了不止一个档次。尽管有些地方的讨论需要极大的专注力才能完全掌握，但这种略带挑战性的阅读体验，恰恰是成就高水平读者的必经之路。

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