Completing the Riesz-Dunford Functional Calculus pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Amer Mathematical Society

作者:John B. Conway

出品人:

页数:104

译者:

出版时间:1989-10

价格:USD 22.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821824801

丛书系列:

图书标签:

• Functional Analysis
• Operator Theory
• Riesz-Dunford Calculus
• Spectral Theory
• Banach Spaces
• C*-algebras
• Functional Calculus
• Mathematical Analysis
• Operator Algebras
• Abstract Algebra

泛函分析中的重要工具：算子理论与函数演算的广阔天地 本书将带领读者深入探索泛函分析这一数学分支的核心领域，重点聚焦于线性算子理论及其在函数演算中的应用。不同于对特定、精细化工具的探讨，本书旨在构建一个宏大而坚实的理论框架，为理解和应用更高级的分析技术奠定基础。我们将从最基础的拓扑向量空间和赋范空间出发，逐步过渡到更具挑战性的巴拿克空间和希尔伯特空间，这些空间是现代数学物理和应用数学的基石。 第一部分：基础空间的严谨构建 我们首先会回顾并深入探讨拓扑向量空间的基本概念，包括拓扑结构如何与向量空间结构相交织。Hausdorff 性质、完备性以及 Baire 分类等核心概念将被细致阐述。随后，我们将重点考察赋范空间，并引入巴拿克空间的概念。我们将详细分析范数对空间结构的影响，以及为什么完备性在分析中至关重要。对于希尔伯特空间，内积的引入带来了强大的几何直观，我们将通过正交分解、投影定理等关键工具，展示几何结构如何简化代数问题。著名的 Hahn-Banach 定理和开映射定理将在本部分得到严格的证明和深刻的讨论，它们是连接对偶空间与原空间的关键桥梁。 第二部分：线性算子及其谱理论的奠基 本部分的核心在于研究定义在这些函数空间上的有界线性算子。我们将定义算子范数，并探讨算子空间的拓扑结构。紧接着，我们将进入算子理论中最具吸引力也最关键的部分——谱理论。对于有界线性算子 $T$（或 $mathcal{L}(X)$ 中的元素），我们定义其谱 $sigma(T)$。我们将详尽论述谱的拓扑性质，例如谱是闭集且有界。谱半径公式 $ ho(T) = lim_{n oinfty} |T^n|^{1/n}$ 将被严格推导，并解释其在稳定性分析中的重要性。 对于紧算子，我们将探讨其谱的离散性（除了零点外），以及与特征值和特征向量的紧密关系。这部分内容将自然地引向对非自伴算子的研究，展示在一般巴拿克空间上，谱分解的复杂性和难度，为后续更一般理论的引入做铺垫。 第三部分：泛函演算的宏观视角与初步尝试 在深入探讨具体函数演算之前，本书将对“函数演算”这一概念进行宏观的哲学和数学定义。它本质上是将一个函数 $f$（例如多项式、指数函数或三角函数）作用于一个算子 $T$，得到一个新的算子 $f(T)$，同时保持代数结构和拓扑一致性。 我们将首先回顾多项式演算，这是所有函数演算的起点。随后，我们将构建用于有界线性算子的连续函数演算。我们利用一致逼近定理（Stone-Weierstrass 定理的推广视角）来论证，对于连续函数 $f$ 在紧算子或特定类型算子上的定义，可以通过一致收敛的序列逼近来构造，并证明构造出的算子仍是有界的且保持代数同态的性质。这部分将着重于证明 $f(T)$ 的定义是良定义的，并且满足基本运算律（如加法、乘法和复合）。 第四部分：拓扑向量空间上的线性代数与拓扑 为了更全面地理解算子在一般拓扑环境下的行为，我们将花费篇幅回顾和深化对拓扑向量空间的讨论，特别是 Montel 空间和 Fréchet 空间。我们将研究这些空间上的线性泛函的连续性标准，以及有界线性算子在这些更一般的空间上的定义和性质。 关键在于，我们将探讨拓扑结构如何影响线性算子的紧致性和有界性。例如，在无穷维空间中，连续性和有界性并不总是等价的，这需要依赖于基础拓扑的性质。我们将引入诸如连续线性映射在紧集上的映射性质，并讨论如何利用拓扑结构来区分不同类型的算子（如粘连算子与完全连续算子）。 第五部分：算子半群与演化方程的动力学视角 最后，本书将把视角从静态的算子代数转向动态的演化过程——算子半群。我们将定义一个 ${T(t)}_{tge 0}$ 的一参数半群，并考察其在巴拿克空间上的有界性条件。我们将详细讨论半群的生成元 $A$（Infinitesimal Generator），即 $A = lim_{t o 0^+} frac{T(t) - I}{t}$ 的存在性与性质。 对于生成元 $A$，我们将深入研究 Hille-Yosida 定理，该定理提供了生成一致有界半群的充分必要条件。该定理将动态系统的稳定性和算子理论中的谱特性紧密联系起来。我们将分析，如果 $A$ 的谱 $sigma(A)$ 位于解析函数所要求的区域内，那么指数函数的定义 $e^{At}$ 如何成为一个有意义的构造，并且与半群的构造相一致。这部分内容强调了分析工具在解决偏微分方程（如热方程或薛定谔方程）中的核心作用，展示了算子理论如何成为描述物理世界演化的语言。 全书的论述风格将力求严谨、清晰，强调理论的内在逻辑和相互联系，为读者在更高阶的分析领域（如多变量函数演算、特定代数结构上的函数演算等）进行下一步研究打下坚实而全面的基础。

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