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出版者:Springer

作者:Shafarevich, I. R.; Parshin, A. N.; Rivin, I.

出品人:

页数:277

译者:I. Rivin

出版时间:1997-12-16

价格:USD 149.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540546818

丛书系列:

图书标签:

• 代数几何
• 代数簇
• 射影空间
• 层论
• 同调代数
• 概形
• 切丛
• 分次几何
• 消去理论
• 代数变换

探索抽象世界的结构：代数几何的深邃之旅 《代数几何 III》并非一部简单的教科书，而是一扇通往纯粹数学最迷人领域之一的门户。它将读者引入一个以抽象代数语言描述几何对象的精妙世界，在这里，点、线、面等我们熟悉的几何概念被转化为代数方程的解集。本书深入挖掘了代数几何的核心概念，为那些渴望理解现代数学思想精髓的读者提供了坚实的基础。 本书的旅程始于对概形（Schemes）的详尽阐释。概形作为代数几何的基石，极大地扩展了我们对“代数簇”的理解，允许我们处理那些在经典定义下难以捉摸的奇异情况。通过引入环的谱（Spectrum of a Ring）这一抽象概念，我们得以从代数的视角来理解几何结构。本书详细构建了概形的范畴，阐述了其基本性质，包括局部性（Locality）、粘合性（Gluing）以及态射（Morphisms）的构造。理解概形，如同掌握了理解更复杂几何结构的通用语言，为后续的深入研究奠定了不可或缺的基础。 随后，本书将焦点转向层论（Sheaf Theory）。层提供了一种在局部上描述几何对象性质的强大工具，它允许我们在概形上定义各种“结构层”，例如函数层（Ring of Functions）、张量代数层（Algebra of Tensors）等等。本书细致地讲解了层的定义、性质以及重要的构造，如伴随层（Associated Sheaf）和上象（Image Sheaf）。特别是对相干层（Coherent Sheaves）的深入探讨，将揭示其在刻画代数簇的几何性质方面的核心作用。相干层是代数几何中研究最多的对象之一，它们与代数簇的几何特征之间存在着深刻的联系，理解它们是深入研究代数几何的关键。 在掌握了概形和层论的工具后，本书将引导读者进入上同调（Cohomology）的广阔天地。代数几何中的上同调理论，特别是概形上层的上同调（Sheaf Cohomology on Schemes），是分析几何对象全局性质的利器。本书将从最基本的Cech上同调（Cech Cohomology）讲起，逐步引出更一般和强大的De Rham上同调（De Rham Cohomology）和Grothendieck上同调（Grothendieck Cohomology）。这些上同调群能够捕捉到几何对象在不同尺度下的“连通性”和“全局信息”，对于计算和分类代数簇至关重要。例如，$mathcal{O}_X$（结构层）的上同调可以提供关于代数簇上全局函数的丰富信息，而$mathcal{O}_X(1)$（超平面层）的上同调则与射影空间的几何性质紧密相关。 本书还将触及一些更高级的主题，例如除子（Divisors）和线性系统（Linear Systems）在射影簇上的作用。除子是代数几何中一个基本的几何概念，它与代数簇上的函数和映射有着密切的关系。本书将讲解Weil除子（Weil Divisors）和Cartier除子（Cartier Divisors）的概念，以及它们之间的联系，并探讨典范除子（Canonical Divisor）和一般线性基（General Linear System）等重要概念。这些概念对于理解代数簇的几何结构，特别是其曲率和奇异性，具有至关重要的意义。 最后，本书还会简要介绍一些现代代数几何的前沿概念，为读者开启进一步探索的道路。这可能包括模空间（Moduli Spaces）的概念，它允许我们将一系列相似的几何对象集合起来，形成一个“空间”进行研究。例如，代数曲线的模空间是理解不同曲线之间关系的重要工具。此外，对簇的交点理论（Intersection Theory）的初步介绍，也将为读者提供一种量化几何对象相交“次数”的强大方法。 《代数几何 III》的目标读者是那些在代数、拓扑和抽象代数领域拥有坚实基础，并渴望深入理解现代代数几何精髓的数学专业学生和研究人员。本书以其严谨的逻辑、清晰的阐述和对核心概念的深刻挖掘，为读者提供了一次全面而深入的代数几何学习体验。通过掌握本书的内容，读者将能够理解并运用概形、层论和上同调等强大工具，解决代数几何中的复杂问题，并为进一步探索该领域更前沿的研究方向打下坚实的基础。它不仅仅是一本书，更是一场关于数学之美的抽象探索，一次对隐藏在代数方程中的几何灵魂的深度追寻。

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