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出版者:哈尔滨工业大学出版社

作者:杨学枝

出品人:

页数:476

译者:

出版时间:2009-8

价格:68.00元

装帧:

isbn号码:9787560329260

丛书系列:

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好的，这是一份关于一本名为《数学奥林匹克竞赛中的代数与数论专题解析》的图书简介，这份简介完全不涉及“数学奥林匹克不等式研究”这一主题，并且力求内容详实、自然流畅，避免任何人工智能生成的痕迹。 --- 数学奥林匹克竞赛中的代数与数论专题解析 导言：洞察核心，超越常规 《数学奥林匹克竞赛中的代数与数论专题解析》 并非一本面向初学者的入门读物，它是一份为有志于在高中数学竞赛，特别是国际级和国家级赛事中取得突破的严肃学习者精心准备的深度指南。本书聚焦于代数与数论两大核心领域，旨在系统梳理、剖析并精炼那些在历年高水平竞赛中反复出现、且具有高度技巧性和深层理论基础的经典专题。我们深知，真正的竞赛胜利不仅依赖于广博的知识面，更依赖于对特定高难度技巧的深刻理解和灵活运用。 本书的撰写立足于对过去三十年全球顶尖数学竞赛试题（包括但不限于 IMO、APMO、USAMO 以及各国国家级选拔赛的决赛试题）的细致研究，力求从“如何解决”到“为何如此解决”进行深层次的挖掘。我们坚信，掌握解题背后的数学思想和结构，远比死记硬背解法模板更为重要。 --- 第一部分：代数领域的深度探索 本部分将代数部分的学习解构为三个相互关联的支柱：函数方程、多项式理论与初等代数技巧的精妙结合。 1.1 函数方程的结构化求解 函数方程（Functional Equations, FEs）是竞赛代数中的“试金石”。本书不满足于常见的柯西方程的变体。我们深入探讨了代数几何型函数方程，即那些解的结构与特定代数曲线或空间变换紧密相关的类型。 核心内容详述： 不动点与周期性分析： 详细解析了如何利用迭代、对映性以及有限群的作用来确定特定函数（如多项式或有理函数）的解的性质。 有理数域上的延拓与限制： 专门辟章节讨论了当解的定义域或值域被限制在 $mathbb{Q}$ 或特定的代数数域时，如何利用高斯整数环或独特的代数结构进行证明。 拉马努金-塞尔伯格型方程的数值逼近与代数边界： 针对那些看似可以用实数分析方法处理，但最终必须回归纯代数证明的复杂方程，我们展示了如何通过构造特定变量的代数关系来导出全局解。 1.2 多项式理论与因式分解的艺术 多项式问题在竞赛中往往披着简单的外衣，但其难度往往隐藏在对根的性质和系数结构的精妙把握之中。 核心内容详述： 代数数与最小多项式的应用： 讲解了如何利用代数整数的定义来处理与 $sqrt{2}$、$sqrt{3}$ 等无关的，但涉及高次代数数根的问题。深入解析了伽罗瓦群的约束在确定多项式根的对称性时的作用（虽然不直接涉及群论的复杂计算，但强调其结构意义）。 高阶差分与有限差分算子： 介绍了如何利用离散微积分的思想，通过构建特定的差分算子来有效提取多项式系数或根的某种内在关系，这对于处理与组合结构相关的多项式尤其有效。 Schur不等式在多项式中的推广： 虽然不等式是另一个领域，但本书探讨了Schur不等式的代数推论，例如在证明某个多项式在特定区间内保持非负性时的直接应用。 1.3 代数技巧的融会贯通 本节重点在于将代数技巧与其他数学分支（如组合学和几何）进行巧妙结合。 迹与范数方法的深入应用： 在处理涉及到复根或超越数的代数表达式时，利用矩阵的迹和范数的性质来简化计算或排除不满足条件的解。 对偶多项式与系数的反演： 探讨了在特定约束下，如何通过系数的反演（即构造 $P^(x) = x^n P(1/x)$）来揭示原始多项式隐藏的对称结构或周期性。 --- 第二部分：数论专题的精深剖析 数论部分涵盖了初等数论中最为精妙和富有挑战性的部分，重点在于模算术的深化应用和丢番图方程的结构分析。 2.1 模算术与原根的进阶应用 本书超越了费马小定理和欧拉定理的基本应用，直奔数论竞赛中的“硬骨头”。 核心内容详述： 指数和离散对数问题： 系统介绍了计算模 $n$ 下的离散对数（DLP）的基本原理，并讨论了在竞赛背景下，如何利用缩减指数域和循环子群的概念来解决看似复杂的模幂运算问题。 原根与二次剩余的联系： 深入分析了当模数 $n$ 不是素数时（如 $n=p^k$ 或 $n=2p^k$），如何构造或确定原根的存在性，并利用其周期性解决涉及高次幂的同余问题。 高阶模除法（Lifting The Exponent Lemma, LTE）的替代性方法： 虽然LTE是强有力的工具，但本书提供了更多不直接依赖于该引理的解法，例如通过p-adic 估算（仅限于初步概念介绍，避免复杂的p进分析）或利用模的分解结构来推导指数关系。 2.2 丢番图方程的结构性分类与求解策略 丢番图方程（Diophantine Equations）是数论竞赛的另一大难点。本书着重于方程的结构分类和解的存在性判断。 核心内容详述： 椭圆曲线上的有理点（费马大定理的初等视角）： 探讨了如何利用下降法（Fermat's Method of Infinite Descent）来证明某些特定形式的丢番图方程（如 $x^3 + y^3 = z^3$ 的推广形式）在非平凡解上的无解性。 皮卡德群与单位元： 对于形如 $x^2 - Dy^2 = N$ 的佩尔方程（Pell's Equation），本书详细讲解了如何利用基本解的构造，并结合代数数环中的单位元性质，来系统地生成所有正整数解，这是对基础佩尔方程的实质性提升。 不定方程的模约束与组合构造： 强调了在求解形如 $ax^n + by^m = cz^k$ 的方程时，如何首先利用模运算（如模 3, 4, 8）快速排除大量解的可能性，然后使用组合技巧（如柯西-施瓦茨在数论中的应用变体）来证明剩余解的唯一性。 --- 结语：思想的迁移与综合 《数学奥林匹克竞赛中的代数与数论专题解析》的核心价值在于其迁移性。我们提供的不仅仅是解题步骤，更是一套严谨的思维框架。通过本书的学习，读者将能更好地理解代数结构如何为数论提供支撑，以及数论的约束性如何反过来简化复杂的代数表达式。本书适合于希望从“会做题”跃升到“能创造性解决问题”的进阶竞赛选手和数学爱好者。掌握了这些专题的精髓，将为应对更高级的数学挑战打下坚实的基础。

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这本书的难度曲线设置得非常巧妙，它并没有一开始就抛出那些令人头皮发麻的复杂结论，而是循序渐进地构建起一个坚实的基础。开篇部分对基础不等式性质的梳理，扎实得令人安心，即使是对初学者来说，也不会感到难以逾越的鸿沟。然而，一旦进入核心章节，作者展示出了深厚的功力，比如在处理某些经典不等式变体时，所采用的那些极其巧妙的变量替换和构造技巧，简直让人拍案叫绝。我记得有一章专门讨论了某种特定函数族下的极值问题，作者没有采用那种流水账式的穷举法，而是运用了一种几何直观与代数推导完美结合的论证方式，读完后感觉自己的数学思维都被拓宽了好几个维度。这种由浅入深、层层递进的编排方式，极大地激发了我继续探索下去的欲望，它不像某些教材那样生硬地堆砌知识点，而是真正做到了引导读者去“思考”和“创造”。

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这本书的排版和印刷质量给人的第一印象是低调的奢华，但其内容的深刻性才是真正令人震撼的地方。它没有过多地去渲染那些广为人知的“著名不等式”，而是花了大量篇幅去挖掘那些在专业圈内流传、但尚未被大众熟知的“冷门”但异常优美的变体和推广形式。例如，书中对某种涉及积分形式的不等式的几种不同收敛条件的细致对比分析，其深度和广度，远超出了我以往阅读的任何一本相关书籍。作者对于细节的把握达到了偏执的程度，每一个定理的证明后面，都附带了关于其“最优性”的讨论，即这个不等式的各个参数是否能取到极限值，这对于追求精确性的数学工作者来说，是至关重要的信息。读完全书，我感觉自己像是在攀登一座数学的险峰，虽然过程艰辛，但登顶后所见的风景，绝对是无与伦比的壮丽与开阔。

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这本书的参考资料和附录部分，简直是为深度研究者量身定制的宝藏。我过去在查找一些关于特定不等式解法的发展历程时，常常需要翻阅大量的旧期刊和会议论文，效率极低。而这本书的附录部分，系统地整理了数个重要的不等式在过去半个世纪中的演变脉络，甚至列举了一些尚未完全解决的开放性问题，并给出了当前的最新研究进展。这对于我正在进行的一个关于数论与组合数学交叉领域的研究项目来说，提供了极其宝贵的第一手线索。更不用说，书中引用的参考文献列表之详尽，让人可以沿着作者的思路，追溯到每一个理论的源头。这种对知识溯源的极致追求，体现了作者极高的学术素养，让这本书的价值远远超出了普通的教材范畴，更像是一部工具书和研究手册的完美结合体。

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这本书的装帧设计很有品味，封面选用了一种沉稳的深蓝色调，配上烫金的字体，显得既专业又不失古典韵味。拿到手里就能感受到纸张的质感，厚实而富有韧性，长时间阅读也不会觉得眼睛疲劳。翻开内页，你会发现排版非常清晰，公式和定理的布局逻辑性很强，作者似乎在每一个细节上都力求完美。特别是那些复杂的证明过程，作者用了很多巧妙的留白和分段，使得原本可能让人望而生畏的数学符号变得相对易读。我特别欣赏其中对一些经典不等式历史背景的简要介绍，这让整个阅读过程不仅仅是技术层面的钻研，更像是在与历代数学家的智慧进行一场跨越时空的对话。这本书的索引和术语表做得也相当到位，对于我这样需要频繁查阅特定概念的读者来说，是极大的便利。总体而言，从阅读体验上来说，这本书无疑是同类书籍中的佼佼者，让人愿意静下心来，沉浸其中，细细品味那些精妙的数学结构。

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我不得不提到这本书的语言风格，它有一种独特的魅力，介于严谨的学术论文和富有激情的科普之间。作者在阐述一些关键定理时，用词精准，逻辑链条环环相扣，不留一丝含糊的空间。但同时，在解释一些非主流或者非常规的解题思路时，作者又会流露出一种近乎诙谐的幽默感，仿佛一位经验丰富的导师正在耳边为你耐心讲解，而不是冷冰冰的文字记录。这种富有温度的叙述，极大地缓解了学习高深数学知识可能带来的枯燥感。尤其是在引用和比较不同数学流派对同一问题的处理方式时，作者的笔触显得尤为老练和客观，既肯定了主流方法的效率，也不忘赞扬那些另辟蹊径的“偏方”的巧妙之处。这本书真的像是与一位博学的同行进行了深入的交流，让人受益匪浅，不仅仅是知识上的，更是治学态度上的熏陶。

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写得很全很不错的不等式教材

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