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出版者:Springer

作者:Jan S. Hesthaven

出品人:

页数:515

译者:

出版时间:2007-12-18

价格:USD 59.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387720654

丛书系列:Texts in Applied Mathematics

图书标签:

• 数学
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• Nodal Discontinuous Galerkin Methods
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《数值分析中的前沿方法：有限元与光谱方法的融合》 本书深入探讨了在科学与工程领域解决复杂偏微分方程（PDEs）时，两种强大且日益重要的数值技术——有限元方法（FEM）和光谱方法的结合与发展。我们将目光聚焦于这些方法的核心思想、理论基础以及在处理高精度、复杂几何和多尺度问题时的独特优势。 第一部分：有限元方法（FEM）的精髓与演进 本部分将系统梳理有限元方法的发展脉络，从其经典理论到现代改进。我们将深入剖析能量最小化原理、变分表述以及基函数的选择对精度和稳定性的影响。重点介绍： 基函数与单元的构成： 从最基础的线性单元到高阶多项式单元，探讨不同类型基函数（Lagrange、Serendipity等）的构造及其对解的逼近能力。 弱形式与 Galerkin 法则： 详细阐述将强形式的 PDE 转化为弱形式的过程，以及 Galerkin 方法在构造离散方程组中的作用。 网格剖分与适应性： 讨论网格的质量、生成以及自适应网格细化（AMR）技术在捕获局部特征（如激波、薄层）方面的重要性。 稳定性与收敛性分析： 深入研究 LBB 条件（或称 Ladyzhenskaya-Babuška-Brezzi 条件）等稳定条件，并对不同阶数的 FEM 方法进行收敛性证明。 高级 FEM 技术： 介绍诸如混合有限元、非协调有限元、超收敛技术等，以应对特定问题的挑战。 第二部分：光谱方法的力量与应用 光谱方法以其卓越的精度和效率而闻名，特别是在处理光滑解和规则几何形状的问题时。本部分将详细介绍其核心思想和主要类型： 多项式逼近与基函数： 重点介绍 Chebyshev 多项式、Legendre 多项式等正交多项式作为基函数，以及它们在全局或局部逼近中的作用。 谱Galerkin、谱配置与谱延拓法： 详细分析这几种主流谱方法的原理，特别是它们在弱形式或强形式的离散化上的区别。 间断谱方法（Spectral Element Methods）： 介绍如何通过在单元边界引入间断性，来克服传统连续谱方法在处理复杂几何和不连续性问题时的局限性，并为后续方法奠定基础。 傅里叶方法与快速算法： 探讨基于傅里叶级数展开的方法，以及 Fast Fourier Transform (FFT) 在加速计算中的关键作用，尤其是在周期性边界条件下的应用。 谱方法的收敛性与误差估计： 分析谱方法在光滑解下的指数级收敛特性，并探讨其误差的渐近分析。 第三部分：融合与创新——现代数值方法的探索 本部分将是本书的重中之重，我们将聚焦于两种方法的融合，以及由此衍生的最新一代数值技术。我们将特别关注那些能够结合 FEM 的灵活性和谱方法的高精度优势的框架。 谱单元方法（Spectral Element Methods）的深入研究： 详细阐述谱单元方法的理论基础，包括如何在单元内部使用高阶多项式基函数，并在单元之间通过光滑插值或弱耦合实现高精度。 高阶有限元方法（High-Order FEM）与谱方法的联系： 探讨如何通过构造更高阶的多项式基函数（如 p-FEM），使 FEM 向谱方法的性能靠拢。 间断有限元方法（Discontinuous Galerkin Methods - DGM）的理论与实践（但不限于此书内容）： 虽然本书名称不包含此书内容，但我们会从更广阔的视角探讨“间断”这一概念如何影响数值方法的性质。例如，间断 Galerkin 方法在处理对流主导问题、保持守恒律以及处理激波方面展现出独特优势，其思想与谱方法的局部处理方式存在共通之处。我们将探讨其基本框架、基函数选择、数值积分以及单元间的耦合机制。 在复杂问题中的应用： 深入讨论这些融合方法在流体力学（如可压缩流、湍流）、固体力学（如裂纹扩展、复合材料）、电磁学（如散射问题）以及传热传质等领域的成功应用案例，展示其在精度、效率和鲁棒性方面的优越表现。 高效实现与并行计算： 讨论在现代高性能计算架构下，如何高效地实现和并行化这些高阶和融合方法，包括优化的矩阵组装、求解器选择以及数据管理策略。 未来发展方向： 展望数值分析领域的最新趋势，例如机器学习与数值方法的结合、自适应高阶方法的进一步发展以及在多物理场耦合问题中的应用前景。 本书旨在为对计算数学、计算物理、计算工程以及相关领域的学生、研究人员和工程师提供一个全面而深入的理解框架，使他们能够掌握和应用这些尖端数值技术，解决现实世界中的复杂科学与工程挑战。

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**评价三：** 我曾经花费大量时间在寻找能够真正理解并实践NDGMs的书籍，直到我遇到了《Nodal Discontinuous Galerkin Methods》。这本书的出现，如同在我迷雾般的求知之路上点亮了一盏明灯。作者以一种令人信服的方式，将NDGMs的复杂理论分解为易于理解的组成部分。它不仅详尽地介绍了NDGMs的理论基础，例如如何在单元内使用高阶多项式来近似解，以及如何在单元界面上允许“间断”以处理复杂的物理现象，还深入探讨了这些方法在实际应用中的各种考量。例如，书中关于数值积分的精度、高阶插值基函数的选择以及如何有效地处理边界和接口条件等方面的论述，都为我解决实际工程问题提供了宝贵的指导。我尤其欣赏作者在书中对不同NDGMs变种的对比分析，这让我能够根据具体问题的需求，选择最合适的数值方法。书中的公式推导严谨而清晰，图表配合得恰到好处，极大地帮助了我理解抽象的数学概念。更重要的是，作者在书中对NDGMs在处理高分辨率要求、复杂几何形状以及需要严格守恒的方程组等方面的优势进行了充分的展示，这让我对这种方法的潜力和应用前景有了更深刻的认识。这本书对我而言，不仅仅是一本技术参考书，更是一次关于数值方法精妙之处的深刻探索。

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**评价八：** 《Nodal Discontinuous Galerkin Methods》这本书，对我而言，绝不仅仅是一本技术指南，它更像是一场关于数值计算方法深刻的哲学思辨。作者以其高超的叙述能力，将节点间断伽辽金方法（NDGMs）这一精妙的数学工具，以一种前所未有的清晰度呈现在读者面前。从对传统数值方法的局限性分析，到 NDGMs 如何通过在单元内部采用高阶多项式近似，并在单元界面上引入“间断”来克服这些局限，整个过程都令人信服且富有启发性。我尤其赞赏作者在书中对于 NDGMs 在处理高梯度问题、强非线性方程组以及复杂几何形状时的卓越表现的详尽阐述。书中对不同类型的间断伽辽金方法（如超算、耦合或非耦合）的对比分析，以及其在收敛性、稳定性和计算效率方面的权衡，为我提供了选择合适数值策略的宝贵见解。书中的数学推导严谨而富有条理，图示的运用更是恰到好处，使得抽象的理论概念变得直观易懂。每一次研读，都能从作者的笔触中感受到他对这一领域的热爱以及对知识传播的执着。这本书无疑为我深入理解和应用 NDGMs 奠定了坚实的基础。

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**评价四：** 在我多年的科研生涯中，我接触过无数关于数值方法的书籍，但《Nodal Discontinuous Galerkin Methods》无疑是我阅读过中最具启发性、最全面的一本。这本书不仅仅是 NDGMs 的一本指南，它更像是对求解偏微分方程的一套全新的、更精妙的视角。作者在书中对 NDGMs 的介绍，从最基本的离散化理念出发，逐步深入到其核心的数学原理，包括如何在每个计算域单元内部使用高阶多项式来近似解，以及如何在单元边界上允许解的“间断”来处理复杂的物理现象。这种方法论在处理诸如激波、尖锐梯度等问题时，显示出了传统方法难以企及的优势。书中对于离散化误差的分析，以及如何通过增加多项式次数或细化网格来提高精度，都给予了我深刻的启示。我还特别注意到，作者在书中对 NDGMs 在处理复杂几何形状和流体动力学方程组方面的优越性进行了详细的阐述，这对于我当前的研究项目具有直接的指导意义。本书的论述逻辑严密，数学推导清晰，图示生动形象，使得即便是一些非常抽象的概念，也变得容易理解和掌握。这本书的价值远超于一本教材，它为我打开了一扇通往更高级、更有效数值计算方法的门。

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**评价六：** 在我探索高效数值计算方法的漫漫征途上，《Nodal Discontinuous Galerkin Methods》这本书无疑是一座璀璨的灯塔，照亮了我前进的道路。作者以极其精湛的技艺，将这一复杂而强大的数值方法——节点间断伽辽金方法（NDGMs）——的精髓呈现在读者面前。这本书并非简单地罗列公式和算法，而是深入浅出地剖析了 NDGMs 的核心思想，即如何利用单元内部的高阶多项式近似，并允许在单元界面上存在间断，从而在求解偏微分方程时获得极高的精度和灵活性。我尤其欣赏作者在书中对 NDGMs 在处理尖锐梯度、激波和复杂几何形状等问题时的独特优势的强调，这与传统有限元方法或有限差分方法形成了鲜明的对比，并为我提供了解决许多长期困扰我的工程难题的全新思路。书中关于基函数选择、数值积分、稳定化技术以及高阶精度构造的详尽论述，都为我提供了扎实的理论基础和实用的技术指导。每一次翻阅，都能从中发掘出新的洞见，感受到作者深厚的学术造诣和对科学传播的执着。这本书无疑是任何致力于在计算科学领域取得突破性进展的研究人员的必备读物。

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**评价七：** 作为一名渴望精进数值模拟技术的学生，我一直都在寻找一本能够真正引领我进入节点间断伽辽金方法（NDGMs）核心世界的书籍，而《Nodal Discontinuous Galerkin Methods》正是如此一本杰作。作者以其卓越的洞察力，将 NDGMs 的理论框架构建得清晰而系统。本书从最基础的离散化概念入手，逐步深入到如何在每个计算单元内部使用高阶多项式进行逼近，以及如何在单元界面上允许解的“间断”，从而巧妙地处理各种复杂物理现象，例如激波、接触间断以及不连续的初始条件等。我对于书中关于 NDGMs 在处理高维问题、复杂流场模拟以及电磁波传播等领域的应用优势进行了深入的探讨，这为我未来将所学知识应用于实际研究提供了极大的启发和方向。书中对数值稳定性的分析，以及如何通过特定的数值技巧（如局部时间积分、通量修正等）来增强算法的鲁棒性，都让我对 NDGMs 的实际应用性能有了更深刻的理解。这本书的数学推导严谨，逻辑清晰，并且配有大量的图示和表格，极大地帮助我克服了学习过程中可能遇到的困难。阅读此书，仿佛是在一位经验丰富的水手指导下，扬帆起航，探索着计算方法学的一片新大陆。

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**评价二：** 作为一名对计算数学充满好奇的学生，我一直渴望找到一本能够系统性地介绍前沿数值方法的教材，而《Nodal Discontinuous Galerkin Methods》正是这样一本让我惊喜连连的书籍。它不仅仅是一本技术手册，更是一次关于数值计算思想的深刻启迪。作者在开篇就清晰地阐述了NDGMs相较于传统方法的独特优势，例如其在处理激波、接触间断等问题上的天然优势，以及其易于并行计算的特点，这些都极大地激发了我深入学习的动力。书中对NDGMs基本框架的讲解，从离散化到数值积分，再到边界条件的施加，每一个环节都进行了细致入微的分析，并且辅以详尽的数学推导和直观的图示，使得即使是初学者也能逐步领会其精髓。尤其让我印象深刻的是，作者在讨论具体算法实现时，并没有止步于理论层面，而是进一步深入到数值稳定性、收敛性分析以及算法优化等方面，这对于我理解算法的实际应用性能至关重要。书中对不同阶数多项式插值的效果比较，以及单元间通量耦合策略的讨论，都让我对NDGMs的灵活性和强大能力有了更深的认识。阅读此书的过程，仿佛是在一位经验丰富的向导的带领下，探索着数值计算领域的一片新天地，让我对未来的研究方向充满了信心和期待。

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**评价九：** 作为一名在计算模拟领域深耕多年的研究者，我始终在追寻更高效、更精确的数值求解方法，而《Nodal Discontinuous Galerkin Methods》这本书的出现，无疑是我探索道路上的一个重大突破。作者以其深厚的学术造诣和卓越的表达能力，将节点间断伽辽金方法（NDGMs）的精髓娓娓道来。本书从最基础的数值离散化思想出发，清晰地阐述了 NDGMs 如何在每个计算单元内部使用高阶多项式来近似求解，并允许在单元界面上存在“间断”，从而在处理具有复杂边界、高梯度以及需要严格守恒律的物理问题时，展现出无与伦比的优势。我特别欣赏书中对 NDGMs 在求解计算流体动力学（CFD）、电磁波传播以及地震波模拟等实际应用领域案例的深入剖析，这些生动的实例不仅直观地展示了该方法的强大威力，也为我提供了将理论知识转化为实际解决问题能力的宝贵思路。书中关于基函数选择、数值积分精度、稳定化技术以及边界条件处理等方面的详尽论述，都为我提供了坚实的理论基础和实用的操作指导。这本书的写作风格严谨而富有逻辑，图文并茂，使得我每一次阅读都如同接受了一次高水平的学术熏陶。

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**评价五：** 作为一名希望深入理解节点间断伽辽金方法的学习者，这本书无疑是我在学术道路上遇到的一个重要里程碑。《Nodal Discontinuous Galerkin Methods》以其独到的视角和深厚的学术造诣，为我揭示了这一强大数值工具的内在奥秘。作者从根本上阐述了 NDGMs 如何通过在每个计算单元内部使用高阶多项式近似，并允许在单元边界上存在间断，来解决一系列复杂的偏微分方程。这种设计不仅使得NDGMs在处理具有复杂边界条件的物理问题时表现出色，而且在需要高精度模拟激波或界面等物理现象时，也显示出了其独特的优势。书中对不同基函数（例如 Legendre 或 Chebyshev 多项式）的选择、数值积分技术的应用以及如何处理单元间的耦合等问题进行了详尽的论述，为我提供了坚实的理论基础和实际操作的指导。我尤其对书中关于 NDGMs 在计算流体力学（CFD）和波传播模拟中的应用案例印象深刻，这些实例不仅直观地展示了该方法的强大威力，也为我未来将所学知识应用于实际科研挑战提供了宝贵的参考。这本书的写作风格严谨而富有逻辑，数学推导过程清晰易懂，图文并茂，使得我每一次阅读都如同接受了一次高水平的学术洗礼。

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**评价一：** 这本书犹如一座精心雕琢的知识宝库，为我这等在数值计算领域摸索多年的研究者提供了前所未有的清晰指引。翻开第一页，便被其严谨的逻辑结构和清晰的数学推导所折服。作者并没有像许多同类书籍那样，一开始就将读者淹没在复杂的理论海洋中，而是循序渐进，从最基础的离散化概念入手，逐步构建起节点间断伽辽金方法（Nodal Discontinuous Galerkin Methods，简称NDGMs）的完整框架。尤其是对于那些曾对传统有限元方法（FEM）或有限差分方法（FDM）感到力不从心，或是对其固有局限性感到沮丧的读者而言，这本书无疑是一剂强心针。作者深入浅出地阐述了NDGMs的核心思想，即在单元内部使用高阶多项式近似，同时允许在单元界面上存在间断，这使得NDGMs在处理复杂的几何形状、高梯度物理现象以及需要守恒律的方程组时，展现出了卓越的性能。书中对不同基函数（如Legendre多项式）的选择、离散化误差的分析以及数值稳定性的探讨，都进行了详尽的阐述，并配以大量生动形象的例子，使得抽象的数学概念变得触手可及。更令人称道的是，作者还对NDGMs在不同应用领域的潜力进行了展望，例如计算流体动力学（CFD）、电磁学以及声学等，这无疑为我进一步探索和应用这一强大的数值工具提供了宝贵的思路和方向。每一次阅读，都能从中汲取新的养分，感受到作者深厚的学术功底和对教学的热忱。

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**评价十：** 在我探索数值计算前沿的道路上，遇到《Nodal Discontinuous Galerkin Methods》这本书，无疑是我一次极具价值的学术旅程。作者以一种令人赞叹的清晰度和深度，将节点间断伽辽金方法（NDGMs）这一强大的数值工具呈现于我。本书不仅仅是算法的堆砌，它更是一次对数值计算思维模式的深刻重塑。作者从对传统数值方法的局限性进行细致的分析开始，逐步引导读者理解 NDGMs 的核心理念：如何在计算单元内部使用高阶多项式逼近，同时允许在单元界面上存在“间断”，从而实现对复杂物理现象的精确描述。这种方法的优势在处理激波、尖锐梯度以及复杂几何形状时尤为突出，为我解决实际工程问题提供了全新的视角。我尤其欣赏书中关于 NDGMs 在计算流体动力学、电磁学以及声学等领域的应用实例，这些案例生动地展示了该方法在不同学科领域的普适性和优越性。书中对数值稳定性的分析，以及各种离散化技术和求解策略的讨论，都为我深入理解 NDGMs 的性能和优化提供了宝贵的指导。这本书的严谨性和深度，无疑将对我未来的学术研究产生深远的影响。

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