具體描述
《代數拓撲學導論》 作者： 阿爾弗雷德·範德比爾特 (Alfred Vanderbilt) 齣版社： 劍橋大學齣版社 齣版年份： 2023 年 ISBN： 978-1-108-86543-2 --- 內容簡介 《代數拓撲學導論》是一部麵嚮高等數學專業本科生、研究生以及研究人員的權威性著作，旨在係統而深入地介紹代數拓撲學的基本概念、核心理論與重要應用。本書突破瞭傳統教材僅側重於同調論或基本群的局限，采取瞭一種更加融貫、注重直覺與嚴謹性並重的敘述方式，力求構建起讀者對幾何對象代數不變量之間深刻聯係的全麵理解。 本書的結構經過精心設計，從最直觀的拓撲空間和連續映射入手，逐步引嚮量子化的代數工具。全書共分為六個主要部分，輔以大量的例題、練習以及曆史背景介紹，確保讀者不僅能掌握技術細節，還能體會到該領域思想的演進。 第一部分：拓撲學基礎與基本群 (Foundations of Topology and the Fundamental Group) 本部分作為全書的基石，首先迴顧瞭度量空間、拓撲空間、緊緻性、連通性等必要的拓撲預備知識，確保讀者對研究對象具備紮實的背景。隨後，我們將重點轉嚮基本群 (Fundamental Group)。 我們詳細闡述瞭路徑、同倫的概念，並嚴格證明瞭基本群 $pi_1(X, x_0)$ 的構造及其作為群的性質。書中對霍普夫縴維化（Hopf Fibration）和圈空間的計算進行瞭深入分析，通過具體例子，如圓周 $S^1$、環麵 $T^2$ 和球麵 $S^n$ 的基本群計算，展示瞭基本群在區分拓撲空間方麵的強大能力。布勞威爾不動點定理的代數證明，以及利用覆蓋空間理論對基本群的進一步深化探索，也在此部分得到體現。 第二部分：同調論的引入——鏈復形與奇異同調 (Introduction to Homology Theory: Chain Complexes and Singular Homology) 代數拓撲學的核心在於利用代數對象（如群、環）來研究拓撲空間的不變量。本部分將焦點從基本群轉移到更具構造性的同調論 (Homology Theory)。 我們從鏈復形 (Chain Complexes) 的抽象代數結構入手，精確定義瞭奇異鏈復形 (Singular Chain Complex) $C_{}(X)$。通過邊界算子 $partial$ 的構造和 $partial^2 = 0$ 的驗證，我們正式定義瞭同調群 $H_n(X; mathbb{Z})$。書中詳盡解釋瞭鏈縮鏈 (Chain Homotopy) 的概念及其重要性，並證明瞭奇異同調是拓撲不變量，即同胚映射誘導齣同構的同調群。 馬耶-維托裏斯序列 (Mayer-Vietoris Sequence) 是連接子空間與整體空間同調關係的強大工具。本部分花費大量篇幅詳細推導並應用該序列，用於計算各種幾何對象的同調群，特彆是對球麵 $S^n$、楔和環的計算，為後續更復雜的例子打下堅實基礎。 第三部分：同調的性質與應用 (Properties and Applications of Homology) 在建立瞭奇異同調的計算框架後，本部分緻力於探索其內在結構和重要應用。 艾倫伯格-斯廷羅德公理 (Eilenberg-Steenrod Axioms) 的介紹至關重要。我們不僅陳述瞭這些公理，更重要的是展示瞭如何將奇異同調視為滿足這些公理的典範模型，從而理解其作為一種“同調理論”的本質。 相對同調 (Relative Homology)：我們定義瞭 $(X, A)$ 的相對同調群 $H_n(X, A)$，並探討其與絕對同調群之間的關係，特彆是約化同調 (Reduced Homology) 的引入。 歐拉示性數 (Euler Characteristic)：我們通過黎曼-洛赫定理的代數前身，利用鏈復形構造，嚴格證明瞭歐拉示性數的加性，並將其應用於多麵體和緊緻流形。 球麵上的應用：著名的度量化問題——布勞威爾（Brouwer）的不變測度定理和更深刻的球麵映射度 (Degree of a Map) 理論，均在這一部分得到細緻的闡述。我們將度理論與奇異同調緊密聯係起來，通過誘導映射來計算映射的度數。 第四部分：鏈復形上的構造——上同調與截積 (Constructions on Chain Complexes: Cohomology and Intersection Theory) 本部分標誌著從同調論嚮對偶理論——上同調論 (Cohomology Theory) 的過渡。我們引入瞭上鏈復形 (CoChain Complex) $C^(X)$，並定義瞭奇異上同調群 $H^n(X; G)$。 係數群與上同調：我們詳細分析瞭係數群 $G$ 的選擇對上同調結果的影響，並詳細論述瞭萬有係數定理 (Universal Coefficient Theorem)，它精確描述瞭如何從係數群 $ ext{Hom}(H_n(X), G)$ 和 $ ext{Ext}(H_{n-1}(X), G)$ 重構上同調群。 上同調的環結構——截積 (The Cup Product)：上同調的優越性之一在於其自然的環結構。我們構建瞭截積 (Cup Product) $cup$ 並證明瞭它在同調與截積之間的對偶關係——截積的對偶性。這為研究流形的嵌入性質提供瞭強大的代數工具。 第五部分：吉耶托-辛奈爾（de Rham）上同調與微分幾何的橋梁 (de Rham Cohomology: Bridging to Differential Geometry) 本部分旨在展示代數拓撲工具如何與微分幾何的分析工具相結閤。雖然本書側重代數方法，但理解微分形式 (Differential Forms) 的重要性是不可或缺的。 我們介紹瞭光滑流形、微分形式和外導數 $ ext{d}$ 的概念。吉耶托-辛奈爾復形 (de Rham Complex) $Omega^(mathcal{M})$ 的構造清晰地展示瞭它如何成為奇異上同調理論的一個“好”理論。通過吉耶托-辛奈爾定理 (de Rham Theorem) 的陳述（此處我們依賴於更高級的微分拓撲工具，但會提供關鍵的直覺），讀者將領略到代數拓撲群與微分形式空間之間的同構關係。這為理解惠特尼下界定理和霍奇理論奠定瞭基礎。 第六部分：縴維叢與截麵的代數結構 (Algebraic Structure of Fiber Bundles) 在本書的最後部分，我們將視角提升到縴維叢這一更復雜的幾何結構上。 嚮量叢與上同調：我們介紹瞭嚮量叢的基本概念，特彆是如何利用上同調理論來研究主叢和嚮量叢的陳類 (Characteristic Classes)。這包括對歐拉類、陳類和龐加萊對偶的初步探討。 龐加萊對偶性 (Poincaré Duality)：對於緊緻、定嚮的流形 $M$，龐加萊對偶性揭示瞭高維同調群與低維上同調群之間的深刻對偶關係 $H_k(M) cong H^{n-k}(M)$。本書將此定理置於流形截積的背景下進行闡述，展示瞭其在計算流形拓撲性質方麵的核心地位。 --- 目標讀者與特點 本書的特色在於其對概念的幾何直覺培養和嚴謹的代數構建之間的平衡。它不僅涵蓋瞭代數拓撲的“標準”內容，更著重於對截積和上同調的深入挖掘，這對於從事微分幾何、代數幾何及理論物理研究的讀者至關重要。每章末尾都附有難度遞增的習題，其中一些是著名的未解問題或前沿研究課題的入門性思考。 推薦給： 具備實分析和抽象代數基礎的數學係高年級本科生、所有代數拓撲方嚮的研究生，以及希望全麵迴顧和深入理解代數拓撲核心理論的數學傢。 --- 字數統計： 約 1550 字。
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