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《代数拓扑学导论》 作者： 阿尔弗雷德·范德比尔特 (Alfred Vanderbilt) 出版社： 剑桥大学出版社 出版年份： 2023 年 ISBN： 978-1-108-86543-2 --- 内容简介 《代数拓扑学导论》是一部面向高等数学专业本科生、研究生以及研究人员的权威性著作，旨在系统而深入地介绍代数拓扑学的基本概念、核心理论与重要应用。本书突破了传统教材仅侧重于同调论或基本群的局限，采取了一种更加融贯、注重直觉与严谨性并重的叙述方式，力求构建起读者对几何对象代数不变量之间深刻联系的全面理解。 本书的结构经过精心设计，从最直观的拓扑空间和连续映射入手，逐步引向量子化的代数工具。全书共分为六个主要部分，辅以大量的例题、练习以及历史背景介绍，确保读者不仅能掌握技术细节，还能体会到该领域思想的演进。 第一部分：拓扑学基础与基本群 (Foundations of Topology and the Fundamental Group) 本部分作为全书的基石，首先回顾了度量空间、拓扑空间、紧致性、连通性等必要的拓扑预备知识，确保读者对研究对象具备扎实的背景。随后，我们将重点转向基本群 (Fundamental Group)。 我们详细阐述了路径、同伦的概念，并严格证明了基本群 $pi_1(X, x_0)$ 的构造及其作为群的性质。书中对霍普夫纤维化（Hopf Fibration）和圈空间的计算进行了深入分析，通过具体例子，如圆周 $S^1$、环面 $T^2$ 和球面 $S^n$ 的基本群计算，展示了基本群在区分拓扑空间方面的强大能力。布劳威尔不动点定理的代数证明，以及利用覆盖空间理论对基本群的进一步深化探索，也在此部分得到体现。 第二部分：同调论的引入——链复形与奇异同调 (Introduction to Homology Theory: Chain Complexes and Singular Homology) 代数拓扑学的核心在于利用代数对象（如群、环）来研究拓扑空间的不变量。本部分将焦点从基本群转移到更具构造性的同调论 (Homology Theory)。 我们从链复形 (Chain Complexes) 的抽象代数结构入手，精确定义了奇异链复形 (Singular Chain Complex) $C_{}(X)$。通过边界算子 $partial$ 的构造和 $partial^2 = 0$ 的验证，我们正式定义了同调群 $H_n(X; mathbb{Z})$。书中详尽解释了链缩链 (Chain Homotopy) 的概念及其重要性，并证明了奇异同调是拓扑不变量，即同胚映射诱导出同构的同调群。 马耶-维托里斯序列 (Mayer-Vietoris Sequence) 是连接子空间与整体空间同调关系的强大工具。本部分花费大量篇幅详细推导并应用该序列，用于计算各种几何对象的同调群，特别是对球面 $S^n$、楔和环的计算，为后续更复杂的例子打下坚实基础。 第三部分：同调的性质与应用 (Properties and Applications of Homology) 在建立了奇异同调的计算框架后，本部分致力于探索其内在结构和重要应用。 艾伦伯格-斯廷罗德公理 (Eilenberg-Steenrod Axioms) 的介绍至关重要。我们不仅陈述了这些公理，更重要的是展示了如何将奇异同调视为满足这些公理的典范模型，从而理解其作为一种“同调理论”的本质。 相对同调 (Relative Homology)：我们定义了 $(X, A)$ 的相对同调群 $H_n(X, A)$，并探讨其与绝对同调群之间的关系，特别是约化同调 (Reduced Homology) 的引入。 欧拉示性数 (Euler Characteristic)：我们通过黎曼-洛赫定理的代数前身，利用链复形构造，严格证明了欧拉示性数的加性，并将其应用于多面体和紧致流形。 球面上的应用：著名的度量化问题——布劳威尔（Brouwer）的不变测度定理和更深刻的球面映射度 (Degree of a Map) 理论，均在这一部分得到细致的阐述。我们将度理论与奇异同调紧密联系起来，通过诱导映射来计算映射的度数。 第四部分：链复形上的构造——上同调与截积 (Constructions on Chain Complexes: Cohomology and Intersection Theory) 本部分标志着从同调论向对偶理论——上同调论 (Cohomology Theory) 的过渡。我们引入了上链复形 (CoChain Complex) $C^(X)$，并定义了奇异上同调群 $H^n(X; G)$。 系数群与上同调：我们详细分析了系数群 $G$ 的选择对上同调结果的影响，并详细论述了万有系数定理 (Universal Coefficient Theorem)，它精确描述了如何从系数群 $ ext{Hom}(H_n(X), G)$ 和 $ ext{Ext}(H_{n-1}(X), G)$ 重构上同调群。 上同调的环结构——截积 (The Cup Product)：上同调的优越性之一在于其自然的环结构。我们构建了截积 (Cup Product) $cup$ 并证明了它在同调与截积之间的对偶关系——截积的对偶性。这为研究流形的嵌入性质提供了强大的代数工具。 第五部分：吉耶托-辛奈尔（de Rham）上同调与微分几何的桥梁 (de Rham Cohomology: Bridging to Differential Geometry) 本部分旨在展示代数拓扑工具如何与微分几何的分析工具相结合。虽然本书侧重代数方法，但理解微分形式 (Differential Forms) 的重要性是不可或缺的。 我们介绍了光滑流形、微分形式和外导数 $ ext{d}$ 的概念。吉耶托-辛奈尔复形 (de Rham Complex) $Omega^(mathcal{M})$ 的构造清晰地展示了它如何成为奇异上同调理论的一个“好”理论。通过吉耶托-辛奈尔定理 (de Rham Theorem) 的陈述（此处我们依赖于更高级的微分拓扑工具，但会提供关键的直觉），读者将领略到代数拓扑群与微分形式空间之间的同构关系。这为理解惠特尼下界定理和霍奇理论奠定了基础。 第六部分：纤维丛与截面的代数结构 (Algebraic Structure of Fiber Bundles) 在本书的最后部分，我们将视角提升到纤维丛这一更复杂的几何结构上。 向量丛与上同调：我们介绍了向量丛的基本概念，特别是如何利用上同调理论来研究主丛和向量丛的陈类 (Characteristic Classes)。这包括对欧拉类、陈类和庞加莱对偶的初步探讨。 庞加莱对偶性 (Poincaré Duality)：对于紧致、定向的流形 $M$，庞加莱对偶性揭示了高维同调群与低维上同调群之间的深刻对偶关系 $H_k(M) cong H^{n-k}(M)$。本书将此定理置于流形截积的背景下进行阐述，展示了其在计算流形拓扑性质方面的核心地位。 --- 目标读者与特点 本书的特色在于其对概念的几何直觉培养和严谨的代数构建之间的平衡。它不仅涵盖了代数拓扑的“标准”内容，更着重于对截积和上同调的深入挖掘，这对于从事微分几何、代数几何及理论物理研究的读者至关重要。每章末尾都附有难度递增的习题，其中一些是著名的未解问题或前沿研究课题的入门性思考。 推荐给： 具备实分析和抽象代数基础的数学系高年级本科生、所有代数拓扑方向的研究生，以及希望全面回顾和深入理解代数拓扑核心理论的数学家。 --- 字数统计： 约 1550 字。
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