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《探索几何的奥秘：21世纪几何学导论》 作者： 艾米莉亚·凡尔纳 博士 出版社： 环球学术出版社 页数： 680页 定价： 人民币 188.00 元 --- 内容简介 《探索几何的奥秘：21世纪几何学导论》 是一部面向高等教育阶段学生和几何学爱好者的深度学术专著。本书旨在为读者构建一个从传统欧几里得几何基石出发，稳健过渡到现代微分几何、拓扑学、代数几何等前沿领域的系统性知识框架。我们摒弃了初级数学教材中侧重于公式记忆和简单作图的教学模式，转而强调几何直觉的培养、公理体系的严谨性分析，以及几何结构在物理学、计算机科学和艺术设计中的深刻应用。 本书的撰写历时五年，集合了作者多年在世界顶级学府进行教学和研究的经验。它不仅是对经典几何学思想的梳理，更是对当代几何学研究热点和新发现的全面介绍。 --- 核心章节与特色 全书共分为七大部分，三十六章，结构清晰，逻辑严密。 第一部分：欧几里得几何的再审视与非欧几何的萌芽 (第1-6章) 本部分超越了中学阶段对欧氏几何的肤浅理解，深入探讨了其公理系统的完备性、独立性与一致性。 1. 希尔伯特公理体系的现代解读： 详细分析了欧氏几何的五大公设如何通过现代集合论的语言被精确地形式化。 2. 欧氏几何的结构群： 介绍刚体运动群（欧几里得群）的代数结构，为后续的李群理论打下基础。 3. 平行公设的“陷阱”与诞生： 追溯非欧几何（双曲几何和椭圆几何）的发现历程，重点解析罗巴切夫斯基和黎曼在思想上的突破。 4. 庞加莱圆盘模型与黎曼球面模型： 使用直观的模型来展示非欧几何的内在一致性，并计算双曲空间中的面积和周长公式。 第二部分：仿射与射影几何的基础 (第7-12章) 本部分将几何从度量结构中解放出来，专注于变换不变性，这是现代几何学的核心视角。 1. 仿射空间与仿射变换： 引入仿射坐标系，并定义不变的几何性质（如平行性、中点）。 2. 射影空间的构造： 详细阐述如何通过“添加无穷远点和线”的方式，将欧氏空间提升到射影空间。 3. 对偶性原理的精妙体现： 展示射影几何中点与线的对偶关系，并给出经典的皮诺定理（Pappus’s Theorem）和帕斯卡定理（Pascal’s Theorem）的射影证明。 4. 二次曲线的射影分类： 证明在射影平面上，所有圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）都可以通过一个统一的二次型来描述。 第三部分：微分几何入门：流形与曲线论 (第13-19章) 这是本书的转折点，引入微积分工具来研究弯曲空间。 1. 曲线的内在几何： 深入分析曲线的曲率和挠率，特别是弗雷内-塞雷（Frenet-Serret）公式的完整推导及其物理意义。 2. 曲面的第一、第二基本形式： 建立曲面几何的度量基础，通过高斯曲率这一内在不变量，重新审视高斯绝妙定理（Theorema Egregium）。 3. 切空间与向量场： 定义流形上的切空间，这是理解微分几何中所有线性构造的起点。 4. 测地线： 定义测地线作为流形上“最短路径”，并将其与变分原理联系起来。 第四部分：黎曼几何的宏伟蓝图 (第20-25章) 本部分着重于可度量流形的理论框架，这是广义相对论的数学语言。 1. 黎曼度量与指标符号： 详细解释如何使用度量张量来定义流形上任意两点之间的距离。 2. 协变导数与平行移动： 解决在弯曲空间中如何定义导数的问题，引入黎曼联络的概念。 3. 黎曼曲率张量： 这是黎曼几何的核心对象，展示它如何量化空间的弯曲程度。本书提供了曲率张量在三维空间中的具体计算方法。 4. 测地线方程的张量形式： 给出著名的测地线方程，并与牛顿力学中的惯性运动进行对比。 第五部分：拓扑学的基石：连续性与形变 (第26-30章) 拓扑学关注的是在连续形变下保持不变的性质，是现代几何的另一大支柱。 1. 度量空间与拓扑空间： 从严格的拓扑定义入手，区分拓扑性质与度量性质。 2. 同胚与连续映射： 定义同胚，这是拓扑学中“形状相同”的精确含义。 3. 连通性与紧致性： 深入分析这些关键的拓扑不变量，并讨论它们在分析学中的重要性。 4. 基本群与穴洞： 介绍代数拓扑的初步概念，如何使用基本群来区分不同“洞”的形状（例如，圆环与球面的区别）。 第六部分：代数几何的视角 (第31-34章) 代数几何使用代数工具（多项式方程）来研究几何对象（簇）。 1. 仿射代数簇： 将多项式方程组与几何图形对应起来。 2. 零点集与理想： 介绍希尔伯特零点定理（Hilbert's Nullstellensatz）的基本思想。 3. 射影空间中的代数几何： 阐述在射影空间中研究代数曲线的优势。 第七部分：现代应用与交叉领域 (第35-36章) 本部分聚焦于几何学在当今科技中的实际影响。 1. 微分几何在广义相对论中的应用： 简要概述爱因斯坦场方程的几何解释，强调时空曲率为引力的本质。 2. 计算几何与网格生成： 讨论如何在计算机图形学和有限元分析中，利用黎曼几何的原理处理复杂曲面。 --- 本书的独特价值 《探索几何的奥秘》 不仅仅是一本教科书，更是一本思想的指南。其核心价值在于： 深度与广度的完美平衡： 成功地将高等几何学的各个分支——从古典到现代——有机地串联起来，避免了传统教材中“各说各话”的弊端。 强调内在几何： 始终坚持从几何对象的内在属性出发（如曲率、拓扑不变量），而非依赖于外部坐标系，培养读者对几何本质的深刻洞察力。 丰富的图示与例题： 书中包含了超过300个精心绘制的几何图示，以及数百道从概念验证到研究性探索的习题，确保理论的有效吸收。 严谨的数学语言： 采用现代数学的公理化方法，为有志于从事数学、理论物理、或高级工程研究的读者提供坚实的工具箱。 本书适合于数学系、物理系本科高年级学生、研究生，以及所有渴望系统掌握现代几何学精髓的专业人士和严肃的自学者。它将引导读者穿越历史的烟云，直抵几何学思想的当代前沿。
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