Subsets of the Plane pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:John Wiley & Sons Inc

作者:Howard E. Taylor

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1962-12

价格:0

装帧:Hardcover

isbn号码:9780471848271

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 几何学
• 平面几何
• 集合论
• 拓扑学
• 离散数学
• 组合数学
• 研究生教材
• 高等教育
• 学术著作

《平面上的子集》（Subsets of the Plane） 本书深入探索了拓扑学、几何学和集合论交汇的前沿领域，聚焦于二维欧几里得空间 $mathbb{R}^2$ 中各种子集的内在结构、性质及其拓扑特征。它并非对平面上所有可能的集合进行全面的分类，而是精心挑选了一系列具有深刻数学意义和广泛应用潜力的特定结构进行细致的剖析。 第一部分：基础结构与度量性质 本部分首先回顾了 $mathbb{R}^2$ 上的标准拓扑结构，包括开集、闭集、紧致性、连通性等基本概念。重点在于建立起这些概念在平面背景下的直观理解和严格定义。 集的分类与拓扑： 详细讨论了开集、闭集、$F_sigma$ 集和 $G_delta$ 集在平面上的具体形态。分析了稠密性（如第一、第二范畴的集合）在平面子集中的体现，特别是Baire范畴定理在 $mathbb{R}^2$ 上的应用场景，用以区分“大”集合与“小”集合。 勒贝格测度与豪斯多夫测度： 对平面上子集的“大小”进行了精确的量化。重点分析了可测集和不可测集的存在性，通过Vitali集的构造来阐释不可测集在平面上的非构造性本质。豪斯多夫测度 ($mathcal{H}^1$ 和 $mathcal{H}^2$) 被引入，用以衡量曲线和碎形的“维度”和“长度”，为后续的几何分析打下基础。 函数的扩展： 讨论了定义在 $mathbb{R}^2$ 子集上的实值函数的性质，包括连续性、一致连续性、黎曼可积性和勒贝格可积性。特别关注了黎曼积分和勒贝格积分在处理不规则边界区域时的差异。 第二部分：曲线的几何与拓扑 本部分将研究一维的、在平面内嵌入或浸入的对象的复杂性。 Jordan 曲线与Jordan-Brouwer 分割定理： 深入探讨了简单闭曲线（Jordan 曲线）的性质，并详细阐述了Jordan 分割定理在 $mathbb{R}^2$ 上的具体应用——即一条简单闭曲线将平面分割为内部（有界）和外部（无界）两个连通区域。讨论了如何利用度量几何来严格证明这一直观事实。 分形曲线的测度： 引入了分形几何的概念，重点分析了如科赫雪花（Koch curve）和Sierpinski曲线等自相似集。计算它们在 $mathbb{R}^2$ 上的豪斯多夫维数和勒贝格测度，揭示它们如何占据零面积却拥有无限长度的矛盾特性。 测地线与最短路径： 在具有非标准度量的平面子集上（例如，有障碍物的区域），研究最短路径问题。讨论了测地线在平面上（如光滑曲面嵌入 $mathbb{R}^3$ 后的投影）的性质，并简要触及了变分法在求解曲线能量最小化问题中的应用。 第三部分：区域覆盖与镶嵌 本部分关注平面子集如何相互作用、覆盖或填充空间。 覆盖问题与最小覆盖集： 研究如何用最小数量的特定形状（如圆、正方形）来完全覆盖一个给定的平面区域 $S subset mathbb{R}^2$。讨论了著名的开区间覆盖引理的平面推广，以及在特定限制条件下确定最优覆盖策略的挑战。 镶嵌与平铺的拓扑限制： 探讨了周期性和平铺（Tessellation）的概念。不仅限于欧几里得平铺（如正方形和六边形），还分析了非周期性平铺，特别是Penrose镶嵌的局部和全局拓扑特征，强调了晶体学与数学几何的交叉点。 Whitney 嵌入定理的应用： 虽然Whitney定理主要涉及高维流形，但其基础思想被用来分析平面上曲线的自交与非自交特性，为理解空间填充曲线的限制提供了理论框架。 第四部分：拓扑不变量与同胚 本部分探讨区分不同类型平面子集的工具，即拓扑不变量。 同胚与形变： 定义了平面子集之间的同胚概念，即保持拓扑性质的连续可逆映射。通过实例对比了平面上的圆盘与方形（拓扑等价）和圆盘与环面（拓扑不等价）的差异。 基本群与穿孔： 引入了基本的代数拓扑工具——基本群 $pi_1(X, x_0)$，用于区分具有不同“穿孔”结构的区域。例如，演示了圆环的基本群是 $mathbb{Z}$，而圆盘的基本群是平凡群，这是区分它们的有力代数工具。 嵌入流形的分类（局部视角）： 简要涉及了对嵌入在 $mathbb{R}^2$ 中的一维流形（如光滑曲线）的局部分类，侧重于奇异点的类型（如尖点、自交点）及其对整体拓扑的影响。 本书的读者预期应具备实分析、基础拓扑学和微积分的扎实背景，旨在为研究微分几何、几何拓扑和集合论的进阶学者提供一个专注于 $mathbb{R}^2$ 这一核心研究空间的深度视角。全书侧重于清晰的证明、严谨的论证以及对几何直觉的数学化提炼。

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我对这本书的阅读体验，可以用“迷失在概念的雾霭中”来形容。我本以为《Subsets of the Plane》会像一本介绍分形几何的入门读物那样，用清晰的图例和逐步递进的论证来展示复杂系统的美感。我设想它会解释如何通过迭代函数系统来构建出那些迷人的自相似图形。结果，我读到的是一系列关于“空集”的冥想，这些冥想的深度和广度，更像是东方宗教中的“空”的哲学阐述，而不是集合论中那个明确定义的元素缺失的概念。作者花了整整三分之一的篇幅，探讨“空”的意义——它不是没有，而是“等待被定义的可能性”。这听起来很美，但在数学语境下，空集有其固定的定义和明确的地位，不需要如此玄奥的哲学辩护。更令人困惑的是，书中偶尔会插入一些看似是公式推导的片段，但这些片段内部充满了矛盾。例如，某个推导的最后一步，作者写道：“因此，我们可以得出结论：所有白色的石头都是黑色的。”然后，他会紧接着下一段，开始讨论“如何为平面上的一个点赋予颜色”。这种自我推翻和逻辑上的混乱，使得任何试图从中提取有效信息的尝试都变得徒劳无功。这本书与其说是在探讨平面上的子集，不如说是在探讨“如何用一套看似严谨的语言体系去表达完全不连贯的思维”。

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拿到《Subsets of the Plane》时，我正处于一个对古典分析学感到厌倦的时期，渴望一些新鲜的视角来重新审视基础概念。我猜想这本书或许会以一种全新的、非传统的方式，重新定义我们对二维空间内点集、区域划分乃至度量的理解，或许会引入一些现代的范畴论观点来重构欧氏几何的基础。然而，我被引入了一个我从未设想过的叙事迷宫。这本书更像是一部高度风格化的电影剧本，充斥着抽象的对话和象征性的场景。我记得有一段描述了两个角色围绕着一张没有画出任何线条的白纸进行长时间的争论，他们的争论核心竟然是“是否存在一个完美的、不可分割的‘原点’”。这哪里是数学书？这完全是一部关于沟通障碍和认知局限的寓言。作者对语言的运用极其老练，每一个词汇都像是经过精心雕琢的碎片，散落在那些所谓的“证明”旁边，但这些证明，如果称之为证明的话，其有效性完全依赖于读者的主观接受度。它要求读者放弃对逻辑链条的依赖，转而沉浸于一种氛围之中。我尝试用我所知道的测度理论知识去套用其中的某些“例子”，结果发现那些例子在任何既定的数学框架下都是不成立的，它们只在作者构建的那个“情绪平面”上成立。这本书给我最大的困惑在于，它毫不掩饰地拒绝提供任何可验证的知识，却又以一种不容置疑的语气陈述着那些显然是虚构的“事实”。它成功地将一个本该是客观的数学主题，变成了一个极其主观、高度个人化的哲学宣言。

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这本书的标题《Plane of Subsets》——不对，《Subsets of the Plane》，光是这个名字就让人浮想联翩。我本以为这是一本关于集合论在几何学中应用的数学专著，也许是涉及拓扑学或者测度论的深奥探讨。我满怀期待地翻开扉页，准备迎接那些严谨的证明和晦涩的符号。然而，随后的内容却让我大跌眼镜，它完全没有触及任何我预想中的数学分支。首先映入眼帘的是一连串似乎是文学创作的场景描述，充满了对光影、空间和“边界”的哲学思辨。我记得其中一章描述了一个无限延伸的平面，但这个平面似乎不是欧几里得空间，而是某种心理投射的载体。作者似乎在用数学的术语来包装一种存在主义的焦虑，探讨个体在宏大背景下的“子集”状态。这种强烈的文理错位感，使得阅读体验极其分裂。如果说我期待的是一本教科书，那么我拿到手的更像是一本披着学术外衣的意识流小说。我尝试去理解那些引用的“公理”，它们更像是诗歌的断章，而不是数学公设。这本书的结构松散得令人发指，章节之间的逻辑跳跃性极大，仿佛作者在不同时间、不同心境下随手记录下的札记。对于一个追求清晰逻辑的读者来说，这简直是一种折磨。我花了大量时间试图在这些看似随机的叙述中构建一条主线，最终放弃了，转而把它当作一种高度概念化的艺术作品来欣赏，尽管这种“欣赏”也建立在极大的精神耗费之上。这本书，无疑，是对“平面”和“子集”概念的彻底颠覆，但这种颠覆方式，绝对不是我所期待的那种严谨的数学探究。

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这本书的装帧和字体选择极其精美，厚重的纸张和经典的衬线字体，无声地暗示着它是一部严肃的学术巨著。我带着对严谨逻辑的敬畏之心开始阅读，希望它能成为我研究计算几何时的一块垫脚石。我期待看到如何用集合的语言来描述曲线的稠密性，或者探讨黎曼曲面的子集结构。但《Subsets of the Plane》的内容，仿佛是被精心挑选出来的、最不具象化的语言片段的随机拼接。它描绘了无数的“边界”，但这些边界不是物理的，也不是拓扑的，它们是社会阶层、记忆碎片和未完成的对话所构筑的。例如，有一段文字描述了一个人在拥挤的地铁车厢里，试图将自己的“个人空间子集”与邻座乘客的“噪音子集”进行分离，但由于“压缩公理”失效，两者发生了不可避免的“交集渗透”。这种比喻的意图很明显，但它完全脱离了数学的范畴。我感觉自己像是在阅读一本被故意翻译错误的上百遍的哲学译本，每一个词汇都似曾相识，但整体意义却变得模糊不清、难以捉摸。它成功地将一个关于精确性的学科，变成了一个关于模糊性的艺术品，这对于需要清晰定义的读者来说，无疑是一场灾难性的阅读体验，它不仅没有提供知识，反而消耗了读者建立知识体系的耐心。

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说实话，我是在一个学术论坛上看到有人推荐这本书，说它“重新定义了集合的边界”。我当时激动坏了，心想这可能是继哥德尔之后，在基础逻辑领域又一次突破性的尝试。我期待看到作者如何处理不可数集与可数集之间的关系，或者如何利用新的公理系统来解决某个悬而未决的拓扑学难题。然而，当我真正开始阅读后，我发现所谓的“边界”指的是人类情感和理性之间的界限。这本书的叙事结构非常独特，它被分割成若干个“拓扑区域”，每个区域都对应着一种特定的情绪状态——比如“焦虑的开集”和“满足的闭包”。在“焦虑的开集”中，文字变得破碎、语速极快，充满了大量的感叹号和问句，仿佛在模拟心跳加速的过程。而在“满足的闭包”里，语言变得缓慢、冗长，充满了对静态场景的细致描摹，几乎没有动作发生。我努力寻找数学上的对应物，却发现这些情绪区域完全是人为划分的，它们与数学上的开集或闭集的定义毫无关系，只是借用了术语来制造一种错觉。这种对学科术语的滥用，让我感到一种智力上的被冒犯。它像一个穿着燕尾服的小丑，试图用高雅的姿态进行一场低级的恶作剧。我无法从中学到任何关于平面集合的知识，只能学到作者是如何运用文字来模拟一种特定的精神状态，这与我购买这本书的初衷相去甚远。

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