Problem Book for First Year Calculus pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Springer

作者:George W. Bluman

出品人:

页数:400

译者:

出版时间:1985-07

价格:USD 59.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780387961729

丛书系列:

图书标签:

• Calculus
• First Year
• Problem Book
• Mathematics
• Exercises
• Solutions
• Textbook
• Higher Education
• STEM
• Engineering

《微积分第一年习题集》内容概述（非原书内容） 本书旨在为初次接触微积分学习的大学生提供一套全面、循序渐进的习题资源，其设计理念侧重于夯实基础概念，并通过大量的计算和应用实例，帮助读者将理论知识转化为实际解题能力。本书的结构遵循标准大学微积分课程的逻辑顺序，内容涵盖了从预备知识回顾到单变量微积分核心概念的广泛领域。 第一部分：基础回顾与函数（Review and Functions） 本部分作为引入，旨在确保读者对高等数学学习所需的代数、三角函数以及函数基本概念有扎实的掌握。 第1章：预备知识与函数基础 代数与三角函数复习： 包含了对指数、对数、多项式运算、有理函数以及反三角函数的深入练习。特别强调了函数图像变换、定义域与值域的确定方法。 数列与级数初步： 引入序列和级数的基本概念，着重于等差数列和等比数列的通项公式及求和公式的熟练应用。 第2章：极限的严格定义与计算 本章是微积分学习的基石。习题设计从直观理解过渡到 $varepsilon-delta$ 语言的严格证明。 直观极限： 大量涉及通过观察函数图像和表格来估计极限值的练习。 代数求极限： 重点训练处理不定式（如 $0/0, infty/infty$）的技巧，包括因式分解、有理化以及利用共轭表达式进行简化。 夹逼定理与单侧极限： 涉及利用已知函数的界限来确定复杂函数的极限，以及区分左极限与右极限在处理分段函数时的重要性。 无穷极限与渐近线： 练习判断垂直渐近线，理解极限在无穷远处的行为。 第二部分：导数的概念与应用（Differentiation: Concepts and Applications） 本部分系统地介绍了导数的定义、求导法则及其在描述函数变化率方面的强大作用。 第3章：导数与导函数 导数的定义： 大量的定义式计算练习，要求读者能够使用极限定义来求出基本函数（如 $x^n, sqrt{x}, 1/x$）的导数。 基本求导法则： 恒定、幂、常数倍数、和/差法则的快速应用。 乘积法则与商法则： 强调区分在何种情况下应用这些法则，并进行多项式和有理函数的求导练习。 链式法则（The Chain Rule）： 本章的重点和难点。设计了多层嵌套函数的复合求导题组，要求读者能够清晰地识别“内层”和“外层”函数。 第4章：超越函数的求导 三角函数与反三角函数的导数： 熟练掌握 $sin x, cos x$ 等六大三角函数的求导，并深入练习涉及 $arcsin x, arctan x$ 的复合求导。 指数函数与对数函数的导数： 特别关注以任意底 $a$ 为底的指数函数和自然对数函数的求导，包括 $ln|f(x)|$ 的导数。 对数求导法： 针对复杂幂函数（如 $y = f(x)^{g(x)}$）的专用解法训练。 隐函数求导： 大量涉及在未明确解出 $y$ 的情况下求出 $dy/dx$ 的练习，这是后续隐式曲线分析的基础。 第5章：导数的应用 本章将导数理论与实际问题相结合，是考察学生综合应用能力的关键部分。 相关变化率问题（Related Rates）： 经典的几何问题集，例如水箱注水、影子长度变化、气球膨胀等，要求学生正确设置变量关系式，并根据时间变化率求出未知变化率。 函数的极值（Extrema）： 第一与第二导数检验： 练习如何利用一阶导数判断函数的增减性（确定局部最大值和最小值），以及利用二阶导数检验鞍点或确定函数的凹凸性。 绝对极值： 求解闭区间上函数的绝对最大值和最小值（端点值检验）。 中值定理： 罗尔定理和均值定理（MVT）的理论理解与简单应用，包括证明在特定条件下函数必有导数为零的点。 洛必达法则（L'Hôpital's Rule）： 针对 $0/0$ 和 $infty/infty$ 不定式的极限求解，以及如何通过代数变形将其他不定式（如 $0 cdot infty, 1^infty$）转化为洛必达可用的形式。 函数图像的描绘： 综合运用极限、导数（增减性、凹凸性）和渐近线信息，精确地绘制函数图像。 最优化问题： 涉及成本最小化、利润最大化、面积最大化等经典应用题，强调建立目标函数和约束条件的过程。 第三部分：积分学基础（Introduction to Integration） 本部分介绍定积分和不定积分的概念，并将积分视为导数的逆运算。 第6章：反导数与定积分 反导数（Antiderivatives）： 学习基础积分公式的逆运算，熟练掌握常数、幂函数、三角函数等反导数的求法，并正确添加积分常数 $C$。 黎曼和（Riemann Sums）： 通过左、右、中点黎曼和的计算，建立定积分作为极限的直观理解。 定积分的性质： 练习定积分的线性性质、区间可加性等。 第7章：微积分基本定理（The Fundamental Theorem of Calculus, FTC） FTC 第一部分： 理解定积分的上限函数 $F(x) = int_a^x f(t) dt$ 的导数是 $f(x)$。 FTC 第二部分（牛顿-莱布尼茨公式）： 学习使用反导数来计算定积分，这是实际计算定积分的主要工具。 积分中的链式法则（换元法的基础）： 在计算定积分时，预习如何应用 $u$-代换法。 第四部分：积分技巧与应用（Techniques and Applications of Integration） 本部分是计算能力的深度训练场。 第8章：积分技巧 变量代换法（u-Substitution）： 大量的、结构复杂的 $u$-代换练习，包括在定积分中如何对应地改变积分上下限。 分部积分法（Integration by Parts）： 详细练习如何选择 $u$ 和 $dv$，特别是针对乘积形式（如 $x e^x, x sin x$）和涉及到对数函数的积分。 三角函数积分： 涉及 $sin^n x cos^m x$ 和 $sec^n x an^m x$ 等标准形式的三角函数幂次积分。 三角代换（Trigonometric Substitution）： 针对含有 $sqrt{a^2 - x^2}, sqrt{a^2 + x^2}, sqrt{x^2 - a^2}$ 形式的积分，要求熟练进行代换（如 $x=asin heta$）。 有理函数积分（Partial Fraction Decomposition）： 详细训练多项式的长除法、因式分解，以及如何根据分母的因子类型（线性因子、重根、不可约二次因子）设置部分分式，并进行积分。 积分的数值近似： 梯形法则和辛普森法则的计算应用，以评估无法求出精确反导数的积分。 第9章：积分的应用 面积计算： 求解两条曲线之间围成的面积，以及涉及绝对值函数的面积计算。 体积计算： 介绍圆盘法（Disk Method）和垫片法（Washer Method），用于计算绕坐标轴旋转所得的旋转体体积。 壳层法（Shell Method）： 针对特定类型的积分，训练使用圆柱壳层法计算体积，并对比其与圆盘/垫片法的适用性。 弧长与曲面面积： 涉及函数 $y=f(x)$ 和参数方程下曲线的弧长公式的应用。 本书的特点在于其高度的“计算导向性”和“概念应用性”，通过分步解析的例题和难度递增的习题，确保学生能够从容应对微积分课程中的所有标准测试和作业要求。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

对我来说，这本书最大的贡献在于它系统性地打破了我对“微积分就是求导和积分”的刻板印象。起初，我以为微积分无非就是掌握几大公式然后进行机械运算，但这本书的某些章节，尤其是关于级数收敛性测试的部分，彻底颠覆了我的认知。那些对各种判别法的应用，比如比值检验、根值检验，以及更复杂的阿贝尔试验的应用，被设计成了极具迷惑性的组合题。你不能指望一种方法能解决所有问题，你必须根据级数的具体形式，快速判断哪种工具最有效率，或者哪种工具能最快地证明发散性。更让我印象深刻的是它对中值定理的考察。它不会直接让你代入函数验证罗尔定理，而是会设计一个复杂的函数，让你通过构造辅助函数或者利用微积分的几何意义来证明某个点的存在性。这要求学习者不仅要记住定理的表述，更要理解定理背后的深刻几何或物理意义。这本书的使用过程更像是一场马拉松式的智力训练，它不断地测试你的耐心、逻辑连贯性以及对基础知识的熟练程度。

评分☆☆☆☆☆

我曾试图找一些参考书来辅助学习，但很快就发现，很多参考书提供的例题过于简化，或者只针对某个特定主题进行重复练习。然而，这本《Problem Book》的结构简直是教科书级别的“集大成者”。它对每一个核心概念，从最基础的极限到更进阶的微分方程的初步应用，都提供了多维度的练习。我特别喜欢它在处理“证明题”上的处理方式。微积分不仅仅是计算，更是一种严谨的数学语言。这本书中包含的许多证明题，比如证明某个函数在某点可微时必连续，或者证明某个积分的某些性质，都是让你直接面对数学逻辑的硬骨头。它没有提供详细的步骤，你必须自己构建证明链条。有时候，一个证明需要你来回翻阅前面的定义和定理，构建一个清晰的逻辑桥梁。对于我这种偏向于理解理论深度的学生来说，这种“放手让你自己去试错”的教学方法是最好的。它教会了我如何在没有明确路线图的情况下，通过逻辑推理找到正确的答案。

评分☆☆☆☆☆

说实话，这本书的排版和设计初衷，似乎就不是为了让你“轻松阅读”而准备的，更像是一份精心设计的“挑战书”。它的重点完全倾斜于题目的质量和广度，而不是那些花里胡哨的图示或者冗长的背景介绍。拿到手上，最直观的感受就是：厚实，且内容密度极高。每一页都塞满了需要你动脑筋的表达式和需要你动手演算的步骤。我发现这本书的巧妙之处在于它对“陷阱”的设置。很多看起来很直接的题目，在深入计算后会发现隐藏的条件限制或者需要特殊的处理技巧，这大大提高了对细节的敏感度。比如，在涉及隐函数求导的章节，它会设置一些在特定点导数不存在或者不连续的情况，要求你必须严谨地论证每一步的有效性。此外，这本书对概念的覆盖范围非常全面，不局限于教科书的标准内容，它还涉及了一些在高等数学中才会深入探讨的初级内容，为后续学习铺平了道路。使用这本书时，我几乎必须备着一张足够大的草稿纸，因为许多中间步骤无法在脑海中完成。它迫使你回归到传统、严谨的数学解题模式中去，这在如今许多依赖图形计算器的时代，显得尤为珍贵和令人怀念。

评分☆☆☆☆☆

这本练习册的体验简直是场“洗礼”，尤其是对于刚刚踏入微积分世界的新生来说。我记得我刚拿到它的时候，心里是既期待又忐忑。那些习题的难度分布非常有层次感，绝不是那种只会堆砌简单计算的入门读物。初期的题目像是温柔的领航员，帮你熟悉微积分的语言和基本操作，比如极限的epsilon-delta定义，或者导数的链式法则在不同函数组合下的应用。但是，很快，难度就会陡然上升。我尤其欣赏它在概念深度上的挖掘。它不满足于让你知道“怎么做”，而是强迫你去思考“为什么是这样”。比如，在涉及黎曼和计算面积时，它会抛出一些非标准函数，让你不得不回归到积分的本质定义去思考，而不是套用公式。有些题目需要巧妙的代数变形，或者需要结合其他数学分支（比如三角恒等式或复数概念）才能找到解题的突破口，这对于培养数学直觉至关重要。我感觉自己每天都在和这些题目“搏斗”，但每一次的成功解决都带来了巨大的成就感。这本书的价值就在于，它用实际的题目训练了你的“数学肌肉”，让你真正掌握了微积分的工具，而不是停留在理论的表面。如果你只是想应付考试，这本书可能有点“过猛”，但如果你真的想打下坚实的基础，它绝对是不可或缺的“磨刀石”。

评分☆☆☆☆☆

这本书的使用体验，如果用一个词来形容，那就是“厚重感”。这不是一本可以轻松翻阅的消遣读物，它要求你投入时间、精力和专注力。我发现自己常常需要暂停很长时间，盯着一道题的某个代数展开式冥思苦想，因为它似乎总有一层细微的、需要洞察力才能看穿的障碍。例如，在处理涉及到泰勒级数展开式余项的题目时，它会要求你对拉格朗日余项或柯西余项进行精确的界限估计，这不仅考察了你对公式的记忆，更考察了你对余项函数性质的理解，比如在特定区间内函数的单调性和最大值。这种对细节的苛刻要求，使得这本书在市场上显得独树一帜。它不是那种“教你速成”的秘籍，而是“训练你成为一个真正的解决问题者”的工具。读完这本书后，我感觉自己对微积分的理解已经从“会用”提升到了“精通”的层面，即便是面对更抽象或更复杂的工程问题，我也能迅速找到微积分的切入点。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆