拓扑学 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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页数:183

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出版时间:2009-8

价格:22.00元

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isbn号码:9787030254054

丛书系列:

图书标签:

• 信了不学也不挂科
• 拓扑学
• 点集拓扑
• 代数拓扑
• 微分拓扑
• 几何拓扑
• 拓扑空间
• 连续映射
• 同伦
• 同调
• 群论
• 抽象代数

拓扑学：探索空间形状的无穷奥秘 这本书将带您踏上一段令人着迷的旅程，深入探索“拓扑学”这一迷人而深刻的数学分支。不同于我们日常生活中对物体形状和尺寸的直观理解，拓扑学关注的是事物在连续形变下保持不变的本质属性——那些不随拉伸、弯曲、压缩或扭曲而改变的“连接性”和“孔洞”的性质。 想象一下，将一个甜甜圈和一个咖啡杯在拓扑学的眼中进行比较。尽管它们的外形迥异，一个圆润光滑，一个带有把手，但它们都拥有一个“洞”。这种“洞”的数量，在拓扑学中被称为“亏格”（genus），是区分它们的最基本特征。一旦您理解了这一点，您就会发现，原来我们熟悉的许多物体，其内在的结构规律远比它们表面的形态来得更具普遍性和力量。 本书并非一部艰深的数学专著，而是以一种引人入胜的方式，向广大读者揭示拓扑学的核心思想和趣味应用。我们将从最基础的概念入手，比如“同胚”（homeomorphism），这个词听起来专业，但其实质非常直观：如果两个空间可以相互连续地变形，不撕裂、不粘合，那么它们就是同胚的，在拓扑学意义上是“相同”的。您将在这里看到，一个橡皮筋可以被拉伸成一条直线，一个橡皮球可以被压扁成一个饼，它们在拓扑学上都属于同一类物体。 我们将深入探讨“连通性”（connectivity）的概念，了解如何定义和分类不同的空间。从简单的点和线，到复杂的曲面和更高维度的空间，您将学会用拓扑学的语言来描述它们的结构。例如，我们将讨论“流形”（manifold）这一关键概念，它是现代拓扑学和几何学的基础，许多我们熟悉的几何对象，如球面、圆环面（甜甜圈的表面），都可以被看作是流形。 本书的亮点之一在于，它会生动地展示拓扑学在现实世界中的广泛应用。您会惊讶地发现，这个看似抽象的数学理论，实际上渗透到了科学和技术的各个角落。 在物理学中，拓扑学为理解宇宙的结构、基本粒子的性质，甚至量子计算的理论提供了重要的工具。例如，某些奇异的物理现象，如“量子霍尔效应”，其背后就有着深刻的拓扑学解释。我们还可以通过拓扑学来分析材料的性质，例如超导体或拓扑绝缘体。 在计算机科学领域，拓扑学在网络分析、数据挖掘、算法设计等方面发挥着重要作用。例如，分析社交网络中的连接关系，或者优化数据存储和检索的结构，都离不开拓扑学的思想。 在生物学中，DNA分子的缠绕方式、蛋白质的折叠结构，甚至大脑神经网络的连接模式，都可以用拓扑学来研究和理解。例如，DNA拓扑异构酶在维持DNA结构稳定和复制过程中起着至关重要的作用，其机制的理解与拓扑学紧密相关。 在工程学，尤其是机器人学和控制理论中，拓扑学可以帮助工程师分析和规划机器人的运动路径，或者设计具有鲁棒性的控制系统。 在艺术和设计领域，拓扑学的概念也为艺术家和设计师提供了新的灵感来源，通过扭曲和变形来创造出独特而富有想象力的视觉效果。 本书将通过丰富的图示和直观的例子，帮助您理解这些抽象的概念。我们会从简单的“图论”（Graph Theory）开始，它研究的是点与线之间的连接关系，是拓扑学最基础的部分之一。您将学习如何分析图的连通性、寻找最短路径，以及理解各种图的性质。 接着，我们将进一步探索“同调论”（Homology Theory）和“上同调论”（Cohomology Theory）。这些工具虽然听起来复杂，但它们是拓扑学中用来识别不同空间的“不变性”的重要手段，可以帮助我们区分那些看似相似但本质上不同的拓扑空间。通过这些理论，我们可以为空间赋予代数的“标记”，从而更精确地研究它们的结构。 此外，本书还会触及“纽结理论”（Knot Theory）。您会发现，即使是简单的绳结，其内在的拓扑性质也充满了学问。为什么有些绳结无法解开？它们之间的区别又是什么？纽结理论不仅是一个有趣的数学分支，在化学（DNA的超螺旋）、物理学（宇宙弦）等领域也有着潜在的应用。 本书的目标是让您感受到拓扑学的独特魅力：它以一种高度抽象的方式，揭示了宇宙万物之间深层次的、不随表面形态变化的联系。它挑战了我们对空间和形状的惯性思维，引导我们用一种全新的视角去审视世界。 阅读本书，您无需深厚的数学背景，只需怀有一颗好奇心和对未知探索的热情。我们相信，一旦您领略了拓扑学的风采，您将会在日常生活中，甚至在您所处的学科领域中，发现更多隐藏在表象之下的深刻规律。这不仅是一次知识的获取，更是一次思维方式的升华。让我们一起，在拓扑学的世界里，享受探索的乐趣吧！

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这本书在处理现代几何中的“大统一”思想方面做得相当出色。它不仅仅局限于对经典欧氏几何的推广，而是着力于展示不同数学分支——代数、分析、几何——是如何在拓扑学的框架下交汇融合的。我对书中关于谱序列（Spectral Sequences）的介绍印象最为深刻，尽管这部分内容相当前沿和晦涩，但作者通过引入一个非常巧妙的“筛选”过程的比喻，使得读者可以大致把握其计算思路和应用价值，而非仅仅停留在符号的推导上。这种对高级工具的“功能性”介绍，而非纯粹的“构造性”描述，极大地拓宽了我对现代数学工具箱的认知。书中对同伦论的论述，也体现了其高度的现代性，它强调了“邻近”的概念如何被转化为“形变收缩”的代数关系。美中不足的是，书中对这些工具的实际应用案例（例如在理论物理中的应用）着墨不多，使得一些读者可能会质疑这些抽象概念的现实意义。但作为一本纯粹的数学专著，它无疑是卓越的，它成功地引导读者从日常的经验几何迈向了对更高层次结构和不变性的深刻理解，读完之后，你对“空间”的定义将永远改变。

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坦白说，这本书的阅读体验是富有挑战性的，但回报也是丰厚的。它强迫你走出习惯的欧几里得空间，进入一个更广阔、更灵活的数学世界。作者在处理紧凑性、连通性和完备性这些基本概念时，展现出一种近乎偏执的严谨性。每一个定义都经过了仔细的打磨，每一个引理的证明都力求无懈可击。例如，在阐述魏尔斯特拉斯紧致性定理时，作者没有采用标准的构造性证明，而是从集合论的视角出发，层层递进地展现了紧致性作为一种“有限性替代品”的强大威力。这使得我对紧致空间的直观感受得到了质的飞跃。书中对代数拓扑的引入，特别是关于范畴论的初步接触，虽然篇幅不大，但其点到为止的精准度，让人明白了为什么现代数学如此依赖于这种抽象的语言来描述对象之间的关系。我个人感觉，如果这本书能再增加一些关于代数几何中局部化概念的应用实例，那就更加完美了。但就目前的内容而言，它无疑是一份对有志于深入研究几何和代数交叉领域的学习者的严肃邀请函。

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我必须承认，这本书的行文风格非常独特，带有一种浓厚的欧洲学术气息，它不像一些美式教材那样追求事事俱备的详尽，反而更像是一位大师在引导你进行一次深度的智力探险。它常常在关键时刻留白，鼓励读者自己去填补中间的逻辑鸿沟。这种风格对于那些已经有一定数学基础的读者来说是极好的“催化剂”，能极大地锻炼独立思考和解决问题的能力。我特别欣赏作者在讨论流形分类理论时所采取的叙事方式，它仿佛在讲述一个关于“维度”的史诗，从二维的平面和球面，到三维的空间，再到更高维度的可能性。书中对欧拉示性数的几何意义的解释，尤其令人印象深刻，它不仅仅是一个数字，而是整个几何对象拓扑性质的指纹。然而，对于初次接触这些概念的读者，这种“少即是多”的叙述方式可能会造成一定的阅读障碍，可能需要配合其他更具指导性的辅导材料。尽管如此，这本书所传达出的对数学美的追求，那种追求结构简洁和内在和谐的学术精神，是其他很多教材所不具备的，值得反复品味。

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这本书给我留下的最深刻印象，在于其对“连续形变”这一核心思想的极致挖掘。它不是简单地罗列定理和证明，而更像是一场对空间属性的哲学思辨。作者似乎在不断地追问：什么是不变的？在拉伸、扭曲甚至洞穿（在特定意义上）之后，哪些性质能够得以保留？这种提问的方式极大地激发了我的探索欲。我尤其喜欢其中关于基本群的章节，那些关于缠绕数的讨论，简直是教科书级别的精彩。通过巧妙地构造路径积分和覆盖空间，作者将一个看似纯粹的拓扑问题转化为一个关于单值性和连通性的代数问题，这种跨学科的思维转换能力令人叹服。书中的图示质量极高，很多复杂的流形和嵌入的例子都配有清晰易懂的插图，这对于理解那些高维空间的抽象结构至关重要。遗憾的是，书中对微分几何和黎曼几何的交叉点介绍得较为简略，这使得读者在试图将拓扑的“柔性”与度量的“刚性”结合起来理解时，会感到意犹未尽。但瑕不掩瑜，对于想要建立起严格的、基于极限和集合论的拓扑直觉的读者来说，这本书绝对是不二之选，它教会了你如何“看穿”表象，直抵事物的内在结构。

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最近读完了一本关于抽象代数和几何的入门读物，实在是让人大开眼界。这本书的作者似乎对如何将复杂的数学概念用最直观的方式呈现出来有着独到的见解。开篇部分，对群论的基本结构进行了深入浅出的探讨，即便是对代数结构仅有初步了解的读者，也能很快跟上思路。我特别欣赏作者在引入模空间和纤维丛时所采用的类比手法，那些在脑海中原本模糊不清的几何图像，一下子变得清晰锐利起来。书中穿插了一些历史轶事，讲述了这些理论是如何在不同数学家的手中逐步完善和发展的，这不仅增加了阅读的趣味性，更让人理解了数学思想演进的脉络。比如，在讨论到同调论时，作者没有急于给出繁琐的定义，而是先展示了“洞”的概念如何通过代数工具得以量化和分类，这种由浅入深的引导，使得原本望而生畏的领域变得触手可及。不过，后半部分在涉及某些高级拓扑不变量时，论证的跳跃性略有增加，可能需要读者对基础知识有更扎实的把握才能完全领会其精妙之处。总体而言，这是一本非常出色的教材，它成功地架起了初等几何与现代数学结构之间的桥梁，让人在享受思维体操的乐趣中，不知不觉提升了对空间和结构本质的洞察力。

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