Relations Between Combinatorics and Other Parts of Mathematics pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Amer Mathematical Society

作者:Symposium in Pure Mathematics Ohio State University 1978

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1980-06

价格:USD 50.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821814345

丛书系列:

图书标签:

• 组合数学
• 数学关系
• 离散数学
• 图论
• 代数
• 数论
• 拓扑学
• 博弈论
• 数学史
• 数学基础

好的，以下是一份关于不包含《Combinatorics and Other Parts of Mathematics》这本书内容的图书简介： --- 《拓扑几何学前沿探索：从黎曼流形到代数空间》 本书导言 在数学的广袤领域中，拓扑学和几何学构成了理解空间、形状以及它们之间连续变换关系的核心支柱。本书《拓扑几何学前沿探索：从黎曼流形到代数空间》旨在为读者提供一个深入而系统的视角，探索这一交叉学科的最新发展与深远影响。我们避免了纯粹的组合结构计数或离散结构研究，而是专注于连续、光滑以及代数化的几何框架。 本书的构建旨在引导读者从经典微分几何的基础出发，逐步攀升至现代代数几何和拓扑场的复杂前沿。这不是一本关于离散结构或计数方法的教科书；相反，它关注的是如何使用分析工具和代数结构来描述和分类光滑空间、度量空间以及更抽象的几何对象。 第一部分：黎曼几何的深度解析 第一部分聚焦于黎曼几何，这是微分几何中最核心的分支之一。我们从基础的流形概念、切丛和张量分析入手，迅速过渡到黎曼度量、联络和曲率的严格定义。重点将放在里奇曲率（Ricci Curvature）的性质及其在爱因斯坦流形和卡拉比-丘流形中的作用。 我们详细讨论了测地线方程的变分原理，并探讨了空间中最短路径的局部与全局行为。特别地，我们将深入研究怀尔（Weil）的示性类理论，例如陈示性类（Chern Classes）和庞加莱对偶（Poincaré Duality）在流形上的具体应用，这些都是描述拓扑不变量的强大工具，与组合计数无关。 书中专门辟出一章探讨怀尔（Weil）的特征类如何与纤维丛理论紧密联系，并展示它们如何作为微分形式的积分，揭示流形的内在结构，而非依赖于离散点的排列组合。我们通过傅立叶分析和谱理论的视角，阐述了希尔伯特空间上的算子如何作用于几何对象，例如通过热核（Heat Kernel）来研究拉普拉斯-德拉姆算子（Laplace-de Rham Operator）的谱性质。 第二部分：拓扑学与代数几何的交汇 本书的第二部分转向了拓扑学与代数几何的深刻融合。我们首先回顾了同调论（Homology Theory）和上同调论（Cohomology Theory）的基本概念，但关注点在于如何利用上同调群来区分拓扑空间，特别是奇异上同调（Singular Cohomology）和德拉姆上同调（de Rham Cohomology）之间的同构关系（德拉姆定理）。这些理论是分析连续形变的强大语言。 重点在于代数几何部分。我们引入了概形（Schemes）的概念，这是亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）对代数几何的革命性贡献。我们将探讨素理想谱（Spec of a Ring）的拓扑结构，并分析层理论（Sheaf Theory）在定义局部性质和全局截面之间的桥梁作用。 书中详细论述了凝聚层（Coherent Sheaves）的性质，以及如何利用这些层来定义和研究代数簇的几何性质。例如，我们讨论了柯汗-马祖尔（Serre）的判别法，以及如何通过局部上同调（Local Cohomology）来研究奇点的结构，这完全是基于环论和代数结构对几何对象的分析。 第三部分：辛几何与拓扑场论 第三部分探讨了辛几何（Symplectic Geometry）及其在理论物理中的应用。辛流形是具有特定结构（辛形式）的流形，其上的几何行为由泊松括号（Poisson Bracket）支配。我们详细分析了哈密顿动力学，以及李维尔（Liouville）定理在辛结构保持下的不变量性。 本书深入研究了弗洛尔同调（Floer Homology）及其与辛拓扑的联系。弗洛尔同调是一种基于瞬子（Instantons）或伪全纯曲线（Pseudeholomorphic Curves）的同调理论，它为区分不同辛流形提供了强大的拓扑工具。这里的“曲线”指的是满足特定微分方程的连续映射，而非离散路径。 最后，我们简要介绍了某些二维拓扑场论（Topological Quantum Field Theories, TQFTs）的数学基础。这些理论将几何对象（流形）与代数对象（向量空间或代数结构）联系起来，它们的核心在于拓扑不变量的计算，例如琼斯多项式（Jones Polynomial）的代数起源，尽管琼斯多项式有时出现在组合领域，但其在 TQFT 中的定义和性质完全植根于纤维丛和表示论的连续框架内。 读者对象与本书价值 本书假定读者已具备扎实的微积分、线性代数以及基础的拓扑学知识。它适合于对微分几何、代数几何以及数学物理感兴趣的研究生和高级本科生。 《拓扑几何学前沿探索》的核心价值在于其对几何学中连续结构和分析方法的强调，它将读者带入一个使用光滑函数、微分形式和代数范畴来描绘世界的境界，与任何侧重于离散对象计数或组合构造的领域划清界限。通过对曲率、示性类和概形的深入分析，本书为理解现代数学物理的深层结构提供了必要的理论基石。 ---

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