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出版者:North-Holland

作者:E. N. Houstis

出品人:

頁數:0

译者:

出版時間:1992-04

價格:USD 202.00

裝幀:Hardcover

isbn號碼:9780444892263

叢書系列:

圖書標籤:

• Expert Systems
• Scientific Computing
• Artificial Intelligence
• Knowledge Engineering
• Computational Science
• Problem Solving
• Algorithms
• Computer Science
• Machine Learning
• Automation

《應用數學與工程優化：從理論到實踐》 本書導言 在當代科學研究與工程設計領域，有效解決復雜的優化問題已成為推動技術進步的核心動力。無論是在結構設計、資源分配、過程控製，還是在金融建模和數據分析中，對係統性能進行最大化或成本進行最小化的追求始終是關鍵目標。本書《應用數學與工程優化：從理論到實踐》，旨在為讀者提供一套全麵而深入的理論框架和實用的工具集，用以駕馭這些復雜的優化挑戰。我們摒棄瞭對特定軟件或工具的過度依賴，轉而聚焦於優化問題的數學本質、算法設計的核心思想以及它們在跨學科應用中的實際部署。 第一部分：優化問題的數學基礎與建模 本部分奠定讀者理解後續高級主題的數學基礎。我們從優化問題的基本定義齣發，詳細闡述瞭可行域、目標函數和約束條件的數學描述。 第一章：優化問題的形式化 本章深入探討瞭數學規劃的經典形式——綫性規劃（LP）和非綫性規劃（NLP）。我們首先解析瞭凸集與凸函數的重要性，這是判斷全局最優解存在性和可求性的關鍵。對於綫性規劃，我們詳盡地介紹瞭單純形法（Simplex Method）的代數原理、大M法和兩階段法的應用場景。特彆地，本章引入瞭對偶理論，解釋瞭對偶問題與原始問題的內在聯係，以及靈敏度分析在工程決策中的價值。 第二章：非綫性規劃與KKT條件 對於非綫性問題，本書著重分析瞭優化解的必要和充分條件。拉格朗日乘數法被用來處理等式約束，而Karush-Kuhn-Tucker（KKT）條件則構成瞭處理不等式約束的基礎。我們細緻地剖析瞭KKT條件的四個核心互補鬆弛性、原始可行性、對偶可行性和零梯度條件，並討論瞭在何種條件下這些條件足以保證局部最優解的存在。對於無約束的非綫性優化，我們介紹瞭梯度下降法的收斂性分析，以及牛頓法和擬牛頓法（如BFGS算法）在加速收斂速度方麵的優勢與局限。 第三章：離散化與數值穩定性 在實際應用中，許多連續優化問題需要通過離散化技術轉化為可計算的模型。本章探討瞭將微分方程模型轉化為代數約束集閤的方法，例如有限元方法（FEM）在大型結構優化中的應用。同時，我們強調瞭數值穩定性問題，包括病態矩陣的處理、浮點運算誤差的纍積效應，以及在迭代算法中選擇閤適的步長策略以避免震蕩或不必要的計算成本。 第二部分：核心優化算法的深入解析 第二部分緻力於剖析那些在工程實踐中被廣泛采用的、具有魯棒性和高效率的核心優化算法。 第四章：約束優化算法的結構 本章專注於處理復雜約束集的算法。內點法（Interior-Point Methods）是處理大規模綫性與非綫性規劃的有力工具。我們詳細推導瞭對偶內點法的核心迭代公式，並討論瞭障礙函數（Barrier Function）的構造及其對算法穩定性的影響。對於約束處理，序列二次規劃（SQP）因其對二階信息的有效利用而被重點介紹，包括如何利用準牛頓近似來求解子問題。 第五章：全局優化策略與啓發式方法 現實世界中的許多優化問題具有多模態特性，容易陷入局部最優。本章轉嚮全局優化。我們討論瞭確定性的全局優化技術，如分支定界法（Branch and Bound）在組閤優化中的應用。此外，針對計算成本高昂的復雜係統，本書介紹瞭啓發式和元啓發式算法，包括模擬退火（Simulated Annealing）的物理退火機製、遺傳算法（Genetic Algorithms）的交叉與變異操作，以及粒子群優化（PSO）的群體智能特性，強調這些方法在提供“足夠好”解方麵的實用價值。 第六章：大規模問題的分解與並行化 隨著問題規模的爆炸性增長，單機計算已無法滿足需求。本章探討瞭如何將大型優化問題分解為更小、可並行處理的子問題。拉格朗日鬆弛法（Lagrangian Relaxation）被用作一種強大的分解技術，尤其適用於具有復雜耦閤約束的係統。我們還介紹瞭Benders分解法在兩階段隨機規劃中的應用，以及並行梯度方法的實現策略，以提高求解效率。 第三部分：優化在工程領域的應用案例 本部分將理論和算法與具體的工程應用場景相結閤，展示優化思維的實際威力。 第七章：結構優化與拓撲設計 本章關注機械與土木工程中的優化問題。我們以最小化結構重量（或最大化剛度）為目標，詳細介紹瞭均勻應力分布與應力集中問題的處理。特彆是，拓撲優化——決定材料在設計空間中的分布——的數學模型被係統性地闡述，包括密度法（SIMP法）的數學基礎及其對網格依賴性的討論。 第八章：過程控製與反饋優化 在化學工程、航空航天等領域，實時控製和優化是保障係統穩定運行的關鍵。本章探討瞭模型預測控製（MPC）中的優化核心。我們分析瞭如何將實時傳感器數據作為約束條件，並在每個時間步內求解一個有限視界的最優控製問題，以實現對係統狀態的動態跟蹤和優化。隨機過程下的魯棒優化方法，用於處理模型不確定性和外部擾動，也被納入討論。 第九章：組閤優化與調度 本章聚焦於資源分配和離散決策問題。旅行商問題（TSP）、設施選址問題和生産調度問題是典型的組閤優化難題。我們介紹精確求解（如整數綫性規劃，ILP）與啓發式近似求解的平衡點，並討論瞭分枝切割法（Branch and Cut）在提高整數規劃求解速度方麵的作用。 總結與展望 本書的最終目標是培養讀者“優化思維”。掌握本書內容後，讀者將不僅能熟練運用現有軟件工具，更重要的是，能夠準確地將一個現實世界的問題抽象為數學模型，選擇最閤適的算法進行求解，並批判性地評估所得解的質量與魯棒性。未來的研究方嚮，如機器學習與優化理論的深度融閤（如數據驅動的優化和可解釋性AI在優化中的應用），將在結語中作為延伸閱讀的指引。 本書適閤高年級本科生、研究生，以及希望係統性提升優化技能的工程師、研究人員和數據科學傢閱讀。

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