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页数:39

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出版时间:2009-7

价格:6.80元

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isbn号码:9787546301266

丛书系列:

图书标签:

• 生活
• 减法
• 极简
• 自我成长
• 情绪管理
• 断舍离
• 幸福
• 思考
• 哲学
• 人生

好的，这是一本名为《加法》的图书简介，内容详实，完全不涉及《减法》一书的任何主题或信息。 --- 图书简介：《加法》 一、本书概览：运算的基石与无限的可能 《加法》是一部全面、深入探讨自然数和整数加法运算的理论基础、历史演变、实际应用及其哲学意涵的专著。本书旨在为初学者提供清晰、易懂的入门路径，同时为数学爱好者和专业人士提供富有启发性的深度洞察。我们认为，加法作为最基础的算术运算，不仅是数字世界的“粘合剂”，更是理解更复杂数学结构（如乘法、指数、代数）的逻辑起点。 本书结构清晰，从最原始的“计数与集合的合并”概念出发，逐步过渡到抽象的公理化体系，最终探讨加法在现代科学与技术中的核心地位。我们力图展现，看似简单的“累加”过程，实则蕴含着深刻的数学美感与强大的构建能力。 二、内容详解：层层递进的知识体系 《加法》全书分为七大部分，共计三十章，内容覆盖了从基础概念到高级理论的完整光谱。 第一部分：加法的起源与直觉构建（第1-3章） 本部分追溯了加法概念在人类文明早期的萌芽。我们不从冰冷的符号开始，而是从人类最原始的计数需求和对“更多”的直觉理解入手。 第1章：史前计数与实物对应： 探讨古代文明（如苏美尔、古埃及）如何通过结绳、刻骨等方式记录数量的增加。重点分析了“集合的并集”作为加法原型的直观意义。 第2章：皮亚诺公理的奠基： 严谨介绍皮亚诺算术体系（PA），特别是定义“后继数”的概念，这是将加法建立在逻辑结构之上的关键一步。我们详细阐述了如何从后继函数定义出加法运算。 第3章：数轴上的可视化： 利用数轴模型，直观展示正整数的加法过程，强调方向性和累积性。通过物理运动的比喻，使抽象的加法概念具体化。 第二部分：自然数加法的基础性质（第4-7章） 本部分聚焦于自然数加法的核心代数性质，这些性质是后续所有算术运算的基础。 第4章：交换律与结合律的证明： 运用数学归纳法，对加法的交换律（$a+b = b+a$）和结合律（$(a+b)+c = a+(b+c)$）进行严格的、分步骤的证明。 第5章：加法恒等元与单位元： 探讨数字“零”在加法中的特殊地位，即加法单位元（$a+0 = a$）的定义和重要性。 第6章：加法与序关系： 分析加法如何与数的“大小”关系相互作用（如如果 $a>b$，则 $a+c > b+c$）。 第7章：加法算法的早期迭代： 介绍在不同计数系统（如罗马数字系统与阿拉伯数字系统）中，加法如何被系统化地执行。 第三部分：整数世界的扩展与负数的引入（第8-12章） 本部分将加法运算的范围扩展到负数，构建了完整的整数域。 第8章：有向数量的概念： 通过温度、海拔、资金盈亏等实例，引入负数的直观理解。 第9章：整数加法的定义与模型： 详细介绍如何通过“有序对”或“等价类”模型来定义负数的加法规则（如负加负、正加负）。 第10章：绝对值在加法中的作用： 分析当两个数异号时，加法结果的符号和大小如何完全由它们的绝对值决定。 第11章：整数加法的封闭性与一致性： 证明在整数集上，加法运算保持封闭性，并且其性质与自然数加法保持高度一致。 第12章：加法在代数结构中的角色定位： 初步引入阿贝尔群（Abelian Group）的概念，将整数加法置于更广阔的代数框架中。 第四部分：高效加法算法与计算复杂性（第13-17章） 本部分转向计算科学视角，探讨人类和机器如何以最高效的方式执行加法。 第13章：笔算进位机制的数学原理： 深入剖析我们日常使用的竖式加法，解释“进位”操作的数学本质——基于位值系统的累积与转移。 第14章：二进制加法与逻辑门： 详细介绍计算机硬件中的加法器设计，包括半加器和全加器的逻辑电路，以及如何使用异或（XOR）和与（AND）门实现加法。 第15章：大数加法的策略： 探讨处理超越标准计算机字长的大整数加法（如使用数组存储）的算法，及其时间复杂度分析。 第16章：快速傅里叶变换（FFT）在乘法中的预备作用： 尽管焦点是加法，但本章会简要说明如何通过转换域的线性加法特性，间接服务于快速乘法算法的构建。 第17章：浮点数的加法精度问题： 分析计算机中浮点数表示法（IEEE 754标准）下，加法运算可能引入的舍入误差和对齐问题。 第五部分：超越基础：多项式与函数加法（第18-21章） 本部分将加法概念推广到更抽象的数学对象上。 第18章：多项式加法： 研究如何对同次项进行系数相加，以及多项式加法如何保持其代数结构。 第19章：向量与矩阵的加法： 在线性代数中，向量和矩阵的加法是元素对元素的操作，本书将分析这种“分量式”加法如何保持空间的线性结构。 第20章：函数的逐点相加： 探讨定义 $h(x) = f(x) + g(x)$ 的函数加法，以及其在概率论和信号处理中的应用。 第21章：模运算与循环加法： 分析时钟算术（模 $n$ 运算）中的加法，这是密码学和周期性问题的基础。 第六部分：加法在高级数学中的体现（第22-26章） 本部分探讨加法如何在微积分、拓扑学等领域中扮演核心角色。 第22章：极限的加法性质： 证明 $lim(a_n + b_n) = lim a_n + lim b_n$，强调加法运算在分析学中的连续性。 第23章：无穷级数的收敛与加法： 探讨无穷多个项相加（级数）的收敛判断，以及如何区分条件收敛与绝对收敛。 第24章：积分与黎曼和的本质： 将定积分解释为无限多个“极小矩形面积”的累加过程，展示加法在积分定义中的核心地位。 第25章：线性组合与生成空间： 在向量空间理论中，任何向量都可以表示为基向量的线性组合，即一系列标量乘积与向量加法的最终结果。 第26章：加权平均与期望值： 在统计学中，期望值本质上是随机变量与其概率的加权总和。 第七部分：加法的哲学与认知科学（第27-30章） 最后一部分回归到人类对加法的认知和其在跨学科中的地位。 第27章：心算能力与认知负荷： 分析人类大脑处理加法运算的神经机制，以及记忆复式表（Multiplication Tables）对心算速度的影响。 第28章：加法与“整体大于部分之和”： 探讨协同作用（Synergy）的概念，在不同领域中，加法组合产生的效果如何超越了简单相加的预期。 第29章：加法作为建模工具： 探讨在物理学中，能量守恒、动量守恒等基本定律如何依赖于加法原理来描述系统的状态变化。 第30章：开放性展望： 总结加法作为数学的“第一定律”，并展望其在未来量子计算和复杂系统理论中的潜在新应用。 三、本书特色 1. 从直觉到严谨的桥梁： 本书不回避数学的严谨性，但始终辅以丰富的历史背景和直观的例子，确保读者能够“看得见”数字是如何组合的。 2. 跨学科的广度： 内容横跨数论、计算机科学、代数和微积分，展现了加法运算的普遍适用性。 3. 详尽的证明与推导： 包含大量核心定理的详细推导过程，特别是皮亚诺公理下加法的构造，满足专业读者的需求。 《加法》不仅仅是一本算术教科书，它是一部对“累积”、“合并”与“构建”这一人类基本思维模式的致敬与深度探索。阅读本书，您将重新认识这个最简单、却也最强大的数学工具。

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