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出版者:

作者:罗曼

出品人:

页数:513

译者:

出版时间:2009-8

价格:65.00元

装帧:

isbn号码:9787510004988

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

• 数学
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好的，以下是一份图书简介，旨在介绍一本名为《群论导论》的教材，但内容专注于其他数学领域，以满足您的要求。 --- 《拓扑学基础与应用》 内容简介 本书旨在为读者提供一个严谨且直观的拓扑学入门体验，重点关注代数拓扑与微分拓扑的基础概念及其在几何学和物理学中的实际应用。本书的结构设计力求在保持数学严谨性的同时，降低初学者的理解门槛，通过丰富的实例和可视化辅助，帮助读者建立对空间结构和连续形变的深刻洞察。 第一部分：点集拓扑：空间的结构与连续性 本书的开篇部分深入探讨了点集拓扑学的核心概念，这是理解后续更高级拓扑分支的基石。 1. 拓扑空间的定义与基本结构： 我们从度量空间出发，自然地过渡到开集、闭集、邻域和紧致性的概念。不同于仅停留在集合论的抽象定义，本书通过大量的例子，如欧几里得空间 $mathbb{R}^n$、有限集以及无穷维函数空间，阐释拓扑结构如何定义“接近性”和“连续性”。特别地，我们详细讨论了可数性和分离公理（如 $ ext{T}_1, ext{T}_2, ext{T}_3, ext{T}_4$ 公理）的重要性，并证明了紧致性和完备性在函数空间理论中的关键作用。 2. 连续函数与拓扑保持映射： 连续性的概念在拓扑学中被提升到核心地位。我们考察了连续函数如何保持拓扑结构，并引入了同胚（Homeomorphism）这一概念，用以刻画“拓扑等价性”。本书对同胚的概念进行了深入的探讨，并利用连续函数在紧致集上的性质来解决一些基础的分析问题。 3. 连通性与路径连通性： 连通性是描述空间“完整性”的重要工具。本书区分了连通性和路径连通性，并展示了它们之间的关系。我们引入了基本群（Fundamental Group）作为区分不可缩空间和可缩空间的代数不变量。书中花费了大量篇幅解释 $pi_1(S^1)$ 的计算过程，为后续代数拓扑的学习打下坚实基础。 4. 构造性拓扑：商空间： 商空间（Quotient Spaces）的构造是建立复杂拓扑空间（如图形、流形）的关键步骤。本书详细讲解了如何通过等价关系构造新的拓扑空间，并通过对球面、环面以及莫比乌斯带的构造过程，清晰地展示了商映射在几何构建中的强大威力。 第二部分：代数拓扑：不变量的探寻 第二部分转向使用代数工具来研究拓扑空间，将几何问题转化为可计算的代数问题。 5. 基本群与覆盖空间理论： 沿用第一部分的铺垫，本章将基本群的理论系统化。我们证明了基本群的性质（如乘积空间的群结构），并详细阐述了覆盖空间理论。读者将学习到 Lifting Property（提升性质）的精妙之处，并利用该性质来给出 $mathbb{R}^n$ 的许多基本事实的拓扑证明，例如“没有连续的自反射映射可以将圆周上的每一点映射到自身相邻的点上”（布劳威尔不动点定理的拓扑前奏）。 6. 同调论导论：链复形与欧拉示性数： 真正的代数不变量——同调群——在本章中被引入。我们从离散的链（Singular Chains）出发，构建了链复形（Chain Complexes）和边界算子（Boundary Operators）。本书侧重于单纯同调（Simplicial Homology）的计算，因为它更适合于处理由基本单元（单纯形）构成的空间。我们推导并证明了欧拉-庞加莱公式，并将其应用于多面体和球面，展示了如何通过同调群计算出拓扑空间的一个核心代数特征——欧拉示性数。 7. 奇点的代数表示： 我们探讨了高阶同调群（如相对同调）的初步概念，并简要介绍了截断同调（Mayer-Vietoris Sequence）的思想框架，用以处理由两个重叠子空间构成的空间的同调计算问题。 第三部分：微分拓扑基础与应用 最后一部分将视角转向光滑流形，这是现代几何学和理论物理学的核心语言。 8. 流形的局部结构： 本章定义了光滑流形（Smooth Manifolds），强调了坐标图集（Atlas）和转移函数的光滑性要求。我们详细考察了 $mathbb{R}^n$ 上的光滑结构，并过渡到球面 $S^n$ 作为一个非平凡流形的构造。 9. 切丛与向量场： 流形上的切空间（Tangent Space）是定义微分学和向量场的基础。本书清晰界定了切向量的定义，并将其推广到整个流形上的切丛（Tangent Bundle）。我们利用切丛的概念来分析向量场的存在性，并讨论了流（Flows）的概念。 10. 向量场的零点与庞加莱-霍普夫定理： 作为本部分的高潮，我们应用微分拓扑的工具来解决拓扑问题。通过切向量场的零点（奇异点）的指标（Index），我们导出了著名的庞加莱-霍普夫定理（Poincaré-Hopf Theorem）。本书利用此定理，以严格的方式证明了“任何光滑向量场在偶数维球面 $S^{2n}$ 上必然存在零点”，从而将代数拓扑（欧拉示性数）与微分几何（向量场）完美地结合起来。 适用读者与特色 本书适合数学、物理学及相关工程学科的高年级本科生或研究生作为教材或自学参考书。全书穿插了对微分几何（如黎曼度量、测地线）和代数几何（如概形理论的动机）的简要展望，为读者在后续深入学习提供清晰的路径图。每章末尾均附有难度分级的习题，旨在巩固理论理解并培养实际计算能力。本书的特色在于其平易近人的叙述风格，强调几何直觉与代数严谨性的平衡发展。

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说实话，在接触这本书之前，我对“群论”的认知，基本上就停留在“数学里一个很高级、很抽象的东西”这个层面。我甚至怀疑自己是否有能力去理解它。然而，这本书的出现，彻底颠覆了我的认知。作者的写作风格非常独特，他并没有采用那种枯燥乏味的教科书式的讲解方式，而是更像是在和你进行一次深入的数学对话。他会抛出一些看似简单的问题，然后一步步引导你深入思考，直到你发现其中的奥秘。我特别喜欢他解释“同态”和“同构”的部分。一开始，我看到这两个概念，觉得它们听起来差不多，都跟“相似”有关。但是，作者通过一系列巧妙的比喻和例子，比如两个不同的音乐作品，虽然旋律不同，但可能有着相同的结构和节奏，又或者像是在研究两个不同的数学系统，它们内部的运算规则虽然表现形式不同，但本质上却是相同的。他用了一个非常形象的比喻，把群比作一个“操作的集合”，然后同态就是“一个能够保持操作的映射”，而同构则是“一种特殊的同态，它是一一对应的”。这个解释让我茅塞顿开，我第一次真正理解了抽象代数中“结构”的重要性。这本书并没有回避那些复杂的证明和推导，但是作者总是能够将这些过程分解成易于理解的小步骤，并且在关键的地方给出清晰的解释和提示，让我觉得虽然在啃硬骨头，但并不至于啃不下去。而且，他会适时地穿插一些历史故事和名人轶事，比如伽罗瓦的生平，他的贡献，这些内容不仅增加了阅读的趣味性，更让我感受到数学研究背后那份执着和激情。读这本书，我不仅仅是在学习数学知识，更是在体验数学的魅力。

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这本书，说实话，拿到手里的时候，我的内心是充满忐忑的。我并非数学科班出身，只是对一些抽象的概念抱有强烈的好奇心，而“群论”这个词汇本身就自带一种高冷和神秘感，像是隐藏在象牙塔里的绝世武功秘籍。翻开第一页，作者开篇就用了一种非常直观的方式，从对称性这个我们日常生活中无处不在的概念入手，比如说桌子的对称性、雪花的对称性。我当时就觉得，嗯，这个作者似乎真的把我这个门外汉放在了心上，没有一上来就扔一堆复杂的定义和符号把我吓跑。然后，他开始引入群的定义，那个“封闭性”、“结合律”、“单位元”、“逆元”的四个性质，老实说，当时我看得是云里雾里，感觉像是在学一门新语言。但是，作者并没有就此打住，他紧接着就用了很多非常生动有趣的例子来解释这些性质，比如数字的加法、减法，甚至是一些简单的置换。我记得有个例子是关于一个正方形的旋转和翻转，通过这些操作来构建一个群。那个时候，我才慢慢领会到，原来这些看似抽象的数学概念，是可以和我们熟悉的几何图形联系起来的。而且，作者在讲解每一个概念的时候，都会留有一定的思考空间，他不会把所有的答案都直接喂给你，而是引导你去思考，去尝试自己去发现其中的规律。这种教学方式，对于我这种喜欢独立思考的读者来说，简直是福音。我经常会合上书本，在脑子里一遍遍地回想，试图理解这些操作是如何满足群的定义的。有时候，遇到不理解的地方，我会反复阅读几遍，或者翻到后面的例子再对照着看，直到豁然开朗。这本书的优点在于，它不仅仅是在传授知识，更重要的是在培养一种数学思维方式。它让我明白，学习数学，不仅仅是记住公式和定理，更是要理解这些概念背后的逻辑和联系。

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这本书给我的感觉，就像是作者在邀请我参加一场关于数学的探险。我不是被动地接受信息，而是主动地去发现和理解。在讲解“正规子群”和“商群”的时候，作者采用了非常巧妙的方法。他首先强调了在子群里面，左陪集和右陪集的关系，并且指出了当左陪集等于右陪集时，这个子群就具有特殊的性质，这就是正规子群。然后，他进一步解释了如何利用正规子群来构造一个新的群，也就是商群。他用了一个非常生动的比喻，把一个群想象成一个有很多元素的“盒子”，然后我们用一个正规子群来“打包”这些元素，形成不同的“包裹”（即陪集），然后这些“包裹”本身也构成了一个新的群。这个过程让我觉得非常有趣，也让我理解了为什么正规子群在群论中如此重要。他还探讨了群的“同态基本定理”，并且用非常清晰的图示来解释这个定理，让我第一次真正理解了同态如何连接了两个不同的群，并且如何通过核（kernel）来构建商群。我记得当时我反复看了这个定理的证明，并且尝试用自己理解的方式去重述它。这本书的优点在于，它不仅提供了理论知识，更重要的是展示了这些理论是如何被建立起来的，以及它们之间是如何相互关联的。他鼓励读者去思考，去质疑，去发现。我经常会合上书本，在脑子里构建这些抽象的概念，并且尝试用不同的方式去理解它们。

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不得不承认，这本书在某些章节确实给我带来了不小的挑战，但正是这些挑战，让我对群论的理解更加深刻。作者在讲解“群的阶”和“元素的阶”时，用了非常详尽的例子，并且着重强调了它们之间的关系。他解释了群的阶是指群中元素的数量，而元素的阶是指一个元素经过几次运算后能够回到单位元。他用了很多不同的例子来展示不同阶的元素，以及它们在群中的分布情况。我记得当时他举了一个例子，关于模n整数加法群，让我第一次真正理解了元素的阶是如何影响群的结构的。他还详细介绍了“拉格朗日定理”（Lagrange's Theorem），这个定理揭示了子群的阶一定是它所属的群的阶的约数。这个定理的证明过程充满了巧妙的推理，我当时花了很长时间去理解它，并且尝试用不同的方式去复现证明。他还探讨了“循环群”的性质，以及如何利用循环群来研究更复杂的群。这本书的优点在于，它并没有回避那些核心的、重要的定理，而是努力将它们以最清晰、最易懂的方式呈现出来。它让我看到了群论的深度和广度，也让我对数学的严谨性和创造性有了更深的认识。

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坦白说，我最初被这本书吸引，是因为它名字里带着“导论”二字，这让我觉得它可能比一些更深入的群论书籍更容易入门。然而，当我真正翻开这本书，我才意识到，“导论”并不意味着“简单”，而是意味着“系统”和“全面”。作者在讲解“有限群”和“无限群”的概念时，用了非常多的例子来区分它们。比如，他用数字的加法和乘法来分别解释有限群和无限群的例子，让我很快就区分了这两种类型的群。然后，他深入探讨了有限群的一些重要性质，比如“西罗定理”（Sylow Theorems）。老实说，西罗定理的证明过程非常复杂，充满了技巧和推理，我当时看得是惊心动魄。但是，作者将整个证明过程分解成了一系列的小定理，并且在每一步都给出了清晰的解释和逻辑推导，让我觉得虽然难度很大，但并非无法攻克。他强调了西罗定理在判断一个有限群是否为可解群中的重要作用，以及它在研究有限单群分类问题中的基础性地位。我记得我为了理解西罗定理，花了很多时间和精力，反复阅读，尝试自己去复现证明的每一步。这本书的优点在于，它并没有因为是“导论”就简化那些核心的、重要的定理，而是努力将它们以最清晰、最易懂的方式呈现出来。它让我看到了群论的深度和广度，也让我对数学的严谨性和创造性有了更深的认识。

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不得不说，这是一本真正能够启发思考的书。我通常会避免阅读那些只会简单堆砌定义和定理的教材，因为它们往往无法触及数学的灵魂。而《群论导论》则完全不同。作者在介绍每一个概念时，都力求从最根本的逻辑出发，并且用非常生活化的语言来解释。比如，在讲解“子群”的时候，他并没有直接给出定义，而是先讨论了在一个已有的群里面，是否存在一些“小团体”，这些小团体本身也满足群的所有性质。这个循序渐进的过程，让我觉得理解起来非常自然。更让我印象深刻的是，他对于“陪集”的解释。我之前对陪集的理解非常模糊，总觉得它就是一个集合的“位移”。但作者通过分解群的元素，然后用陪集将群分成若干个“等价类”，并且展示了这些陪集之间的关系，让我看到了陪集在理解群的结构，特别是在证明拉格朗日定理时，其核心作用。他甚至还探讨了群的“阶”这个概念，以及如何利用陪集的数量来计算群的阶。在讲解过程中，他会不断地抛出一些需要读者自己去证明的小问题，这些问题看似简单，但却能够有效地巩固之前学到的知识。我经常会花上很长的时间去思考这些问题，并且尝试自己去推导。有时候，我会卡住，然后翻回前面的章节，重新梳理思路，直到找到解决问题的关键。这种反复的琢磨和探索，让我对群论的理解更加深刻。这本书不仅仅是知识的传授，更是一种思维的训练。

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每次翻开这本书，我都感觉像是进入了一个充满逻辑美感的世界。作者在讲解“群的同态和同构”时，用了非常多的例子，并且着重强调了它们之间的区别和联系。他解释了同态不仅仅是保持运算的映射，更重要的是它能够“保留结构”。然后，他进阶讲解了同构，即一对一的同态，它意味着两个群在结构上是完全相同的，只是表达形式不同。他用了很多不同的例子来展示同构，比如不同描述的相同群，或者看似不同但经过巧妙变换就能变成相同的群。我记得当时他举了一个例子，关于循环群的同构，让我第一次真正理解了“抽象”的意义——即使两个群的元素和运算符号完全不同，但如果它们满足相同的结构性质，那么它们就是同构的。他还详细地介绍了“同态基本定理”，并且用非常直观的图示来解释它，让我深刻理解了同态映射是如何将一个群“压缩”成另一个群，并且通过“核”来连接原群和像群。我当时花了很长时间去研究这个定理的证明，尝试用自己的语言去复述它，并且寻找它在实际问题中的应用。这本书的优点在于，它不仅仅是告诉我们“什么是同构”，更重要的是展示了“为什么同构很重要”，以及“如何发现同构”。它让我觉得，数学的魅力在于发现隐藏在现象背后的普遍规律。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我最大的感受，就是作者对于数学的深刻理解和对读者的耐心引导。他并没有像一些书籍那样，上来就抛出一大堆复杂的定义和定理，而是循序渐进，用非常平缓的节奏来带领读者进入群论的世界。在讲解“子群”的概念时，他并没有直接给出定义，而是先从“群的子集”入手，然后逐步引导读者去思考，什么样的子集也能够构成一个群。他用非常生动的例子，比如整数集合中的偶数集合，在加法运算下构成一个子群，让我很快就理解了子群的定义和性质。然后，他进一步探讨了“生成元”的概念，以及如何用生成元来生成一个群。他解释了有限生成群的性质，以及一些重要的定理，比如“凯莱定理”（Cayley's Theorem），这个定理让我第一次看到了将任意一个抽象的群“具体化”为置换群的可能性。我记得当时我花了很长时间去理解凯莱定理的证明，尝试用不同的方式去理解这个定理的意义。这本书的优点在于，它不仅仅是知识的堆砌，更是一种教学方法的体现。它让我在学习的过程中，始终保持着一种探索的乐趣，并且能够真正地理解和掌握所学的知识。

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这本书给我的感觉，就像是一位经验丰富的向导，带着我在这片抽象的数学大陆上探索。他并不是直接把我丢到某个景点，而是先给我介绍地形地貌，让我了解整体的概况。在讲解“群的表示”时，作者用了非常多的线性代数的知识。我之前虽然学过线性代数，但总觉得它只是一种工具，而这本书让我看到了线性代数在群论中的强大应用。他解释了如何用矩阵来表示群的元素，以及如何通过矩阵的乘法来模拟群的运算。这个过程让我觉得，原来抽象的群可以被具体地“可视化”，这是一种非常美妙的体验。他重点介绍了“群表示的不可约性”的概念，并且解释了如何通过分解群表示来理解群的结构。我记得当时他举了一个例子，关于对称群的表示，以及如何将它分解成几个不可约表示。这个过程让我觉得，群的表示就像是一个“放大镜”，可以帮助我们更清晰地看到群的内部结构。他还探讨了“特征标”（Character）的概念，以及特征标表在分类和研究群中的重要作用。我当时花了很长时间去研究特征标表的构建和应用，试图理解为什么不同的群会有不同的特征标表，以及它们之间有什么样的联系。这本书的优点在于，它将抽象的群论概念与具体的线性代数工具相结合，让我觉得学到的知识更加有血有肉，也更有用武之地。

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这本书的写作风格非常吸引我，它不像是一本枯燥的教科书，更像是一位充满智慧的长者在和我进行一场关于数学的深度对话。作者在讲解“群的同态”时，用了非常多的例子，并且着重强调了它们之间的区别和联系。他解释了同态不仅仅是保持运算的映射，更重要的是它能够“保留结构”。然后，他进阶讲解了同构，即一对一的同态，它意味着两个群在结构上是完全相同的，只是表达形式不同。他用了很多不同的例子来展示同构，比如不同描述的相同群，或者看似不同但经过巧妙变换就能变成相同的群。我记得当时他举了一个例子，关于对称群的同构，让我第一次真正理解了“抽象”的意义——即使两个群的元素和运算符号完全不同，但如果它们满足相同的结构性质，那么它们就是同构的。他还详细介绍了“同态基本定理”，并且用非常直观的图示来解释它，让我深刻理解了同态映射是如何将一个群“压缩”成另一个群，并且通过“核”来连接原群和像群。我当时花了很长时间去研究这个定理的证明，尝试用自己的语言去复述它，并且寻找它在实际问题中的应用。这本书的优点在于，它不仅仅是告诉我们“什么是同构”，更重要的是展示了“为什么同构很重要”，以及“如何发现同构”。它让我觉得，数学的魅力在于发现隐藏在现象背后的普遍规律。

评分☆☆☆☆☆

简直是教材的范本. 简明不失全面，文笔晓畅，步骤详尽. 还在用⭕️☀️1⃣书当教材的，建议一开始就读这本 4.10. 还是有非常莫名其妙的错误证明的...

评分☆☆☆☆☆

本书的作者很喜欢介绍历史，而且对一些问题的处理不同于一般教材。

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简直是教材的范本. 简明不失全面，文笔晓畅，步骤详尽. 还在用⭕️☀️1⃣书当教材的，建议一开始就读这本 4.10. 还是有非常莫名其妙的错误证明的...

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本书的作者很喜欢介绍历史，而且对一些问题的处理不同于一般教材。

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