具体描述
《高等数学(下)》内容简介:高等数学（也称为微积分,它是几门课程的总称）是理、工科院校一门重要的基础学科。作为一门科学，高等数学有其固有的特点，这就是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。抽象性是数学最基本、最显著的特点--有了高度抽象和统一，我们才能深入地揭示其本质规律，才能使之得到更广泛的应用……
《代数几何入门》 本书旨在为有志于深入理解现代数学各个分支的读者提供一个坚实的代数几何基础。代数几何作为数学中一个极其丰富且充满活力的领域，以其独特的视角，将几何直观与代数工具相结合，探索由多项式方程定义的几何对象——代数簇。本书从最基本的概念出发，循序渐进，力求使读者能够清晰地掌握代数几何的核心思想与方法。 第一部分：基础知识回顾与代数簇的初步认识 在开始代数几何的旅程之前，我们首先回顾一些必需的代数基础。这包括对交换环、理想、模以及域论的简要介绍，重点关注与代数几何直接相关的概念，如多项式环及其性质。我们将引入代数簇的核心定义，即在代数闭域上的仿射代数簇，并展示如何通过一组多项式方程来刻画几何对象。本书将详细阐述多项式方程组的解集与理想之间的对应关系，这是代数几何的基石。我们将通过大量具体的例子，例如直线、平面、抛物线、二次曲面等，帮助读者建立直观的几何理解，并学习如何用代数语言描述这些对象。 第二部分：射影几何与簇的推广 为了更全面地研究代数簇，我们引入射影空间的思想。射影空间克服了仿射空间在处理无穷远点时的局限性，使得许多几何性质更加统一和完备。我们将定义齐次坐标，并在此基础上构建射影代数簇。射影簇的研究是代数几何中不可或缺的一部分，它为理解曲线、曲面等在高维空间中的行为提供了更广阔的视野。本书将深入探讨射影簇的性质，例如它们的紧致性以及在射影空间中发生的几何变换。 第三部分：理想、代数簇与几何性质的联系 本部分将深入探讨理想与代数簇之间的深刻联系。我们将介绍希尔伯特零点定理（Hilbert's Nullstellensatz），这是代数几何的奠基性定理之一，它建立了代数（理想）与几何（簇）之间的一一对应关系。通过这个定理，我们可以理解代数性质（如理想的性质）如何反映出几何对象的结构。我们将讨论簇的不可约性、维度等重要的几何不变量，并学习如何从代数结构中计算和理解这些不变量。例如，我们将学习如何通过理想的素分解来判断簇的不可约分支。 第四部分：模与几何对象的结构 模是抽象代数中的重要概念，在代数几何中，模扮演着描述几何对象集合的关键角色。我们将介绍在代数簇上定义的模，并探讨如何使用模来研究一类几何对象的整体结构。例如，研究平面代数曲线的模空间，可以帮助我们理解不同曲线之间的关系以及它们的分类。本书将介绍模的基本构造方法，并给出一些经典的模空间的例子，如线丛的模空间等。 第五部分：几何态射与变换 几何态射是代数簇之间的映射，它们在代数几何中扮演着类比拓扑学中连续映射的角色。本书将定义代数态射，并讨论其性质，如连续性、可逆性等。我们将学习如何用代数的方法来刻画几何变换，例如同构、同胚等。通过研究态射，我们可以理解不同代数簇之间的几何关系，以及如何将一个簇“变形”到另一个簇。此外，我们还将介绍一些重要的几何变换，如度量、旋转、伸缩等在代数几何中的代数表达。 第六部分：曲线与曲面——经典案例的深入分析 在掌握了代数几何的基本工具后，本书将引导读者深入研究二维和三维的代数簇，即代数曲线和代数曲面。我们将详细分析一些经典的例子，如圆锥曲线、三次曲线、球面、椭球面等。我们将运用前面学到的代数和几何工具，分析这些对象的性质，例如它们的几何形状、奇点、交点数等。特别地，我们将对代数曲线的分类进行初步的介绍，并展示代数几何方法在解决几何问题中的强大威力。 第七部分：代数几何的应用前景 本书的最后部分将简要介绍代数几何在现代科学技术中的广泛应用。从密码学中的椭圆曲线密码，到理论物理中的弦理论，再到计算机图形学中的曲面建模，代数几何都展现出了其不可替代的价值。通过了解这些应用，读者可以进一步认识到代数几何的理论深度和实践意义，并为日后的深入研究或应用打下基础。 本书力求语言清晰，逻辑严谨，并配有丰富的例题和练习，以帮助读者巩固所学知识。通过对本书的学习，读者将能够初步掌握代数几何的基本理论框架，培养用代数方法解决几何问题的能力，并为进一步探索更高级的代数几何内容或相关数学分支做好充分准备。
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