範德瓦爾登的《代數學》是現代數學的一部奠基之作，這部書不僅對提高數學傢的學識修養有很大意義，對現代數學如撲拓學、泛函分析等以及一些其他科學領域也有重要影響。全書共分兩捲，本書是第一捲，分成11章：前5章以最小的篇幅包括瞭為所有其餘各章作準備的知識，即有關集閤、群、環、域、嚮量空間和多項式的最基本的概念；其餘各章主要講述交換域的理論，包括Galois理論和實域。

目錄

引言

第1章 數與集閤

1.1 集閤

1.2 映射，勢

1.3 自然數序列

1.4 有限與可數集閤

1.5 分類

第2章 群

2.1 群的概念

2.2 子群

2.3 群子集的運算，陪集

2.4 同構與自同構

2.5 同態，正規子群，商群

第3章 環與域

3.1 環

3.2 同態與同構

3.3 商的構成

3.4 多項式環

3.5 理想，同餘類環

3.6 整除性，素理想

3.7 Euclid環與主理想環

3.8 因子分解

第4章 嚮量空間和張量空間

4.1 嚮量空間

4.2 維數不變性

4.3 對偶嚮量空間

4.4 體上的綫性方程組

4.5 綫性變換

4.6 張量

4.7 反對稱雙綫性型與行列式

4.8 張量積，縮並與跡

第5章 多項式

5.1 微分法

5.2 多項式的零點

5.3 內插公式

5.4 因子分解

5.5 不可約性判定標準

5.6 因子分解在有限步下的完成

5.7 對稱函數

5.8 兩個多項式的結式

5.9 結式作為根的對稱函數

5.10 有理函數的部分分式分解

第6章 域論

6.1 子體，素體

6.2 添加

6.3 單純域擴張

6.4 域的有限擴張

6.5 域的代數擴張

6.6 單位根

6.7 Galois域（有限域）

6.8 可分與不可分擴張

6.9 完全域及不完全域

6.10 代數擴張的單純性，本原元素定理

6.11 範數與跡

第7章 群論續

7.1 帶算子的群

7.2 算子同構和算子同態

7.3 兩個同構定理

7.4 正規群列與閤成群列

7.5 pn階群

7.6 直積

7.7 群的特徵標

7.8 交錯群的單純性

7.9 可遷性與本原性

第8章 Galois理論

8.1 Galois群

8.2 Galois理論的基本定理

8.3 共軛的群、域與域的元素

8.4 分圓域

8.5 循環域與純粹方程

8.6 用根式解方程

8.7 n次一般方程

8.8 二次、三次與四次方程

8.9 圓規與直尺作圖

8.10 Galois群的計算，具有對稱群的方程

8.11 正規基

第9章 集閤的序與良序

9.1 有序集閤

9.2 選擇公理與Zorn引理

9.3 良序定理

9.4 超限歸納法

第10章 無限域擴張

10.1 代數封閉域

10.2 單純超越擴域

10.3 代數相關性與無關性

10.4 超越次數

10.5 代數函數的微分法

第11章 實域

11.1 有序域

11.2 實數的定義

11.3 實函數的零點

11.4 復數域

11.5 實域的代數理論

11.6 關於形式實域的存在定理

11.7 平方和

索引

Bartel Leendert van der Waerden (February 2, 1903, Amsterdam, Netherlands – January 12, 1996, Zürich, Switzerland) was a Dutch mathematician.

Van der Waerden learned advanced mathematics at the University of Amsterdam and the University of Göttingen, from 1919 until 1926. He was much influenced by Emmy Noether at Göttingen. Amsterdam awarded him a Ph.D. for a thesis on algebraic geometry, supervised by Hendrick de Vries. Göttingen awarded him the habilitation in 1928.

In his 27th year, Van der Waerden published his Algebra, an influential two-volume treatise on abstract algebra, still cited, and perhaps the first treatise to treat the subject as a comprehensive whole. This work systematized an ample body of research by Emmy Noether, David Hilbert, Richard Dedekind, and Emil Artin. In the following year, 1931, he was appointed professor at the University of Leipzig.

The Third Reich made life difficult for Van der Waerden as a foreigner teaching in Germany, but he refused to give up his Dutch nationality. He filled the chair in mathematics at the University of Amsterdam, 1948–1951, then moved to the University of Zurich, where he spent the rest of his career, supervising more than 40 Ph.D. students.

Van der Waerden is mainly remembered for his work on abstract algebra. He also wrote on algebraic geometry, topology, number theory, geometry, combinatorics, analysis, probability and statistics, and quantum mechanics (he and Heisenberg had been colleagues at Leipzig). In his later years, he turned to the history of mathematics and science. His historical writings include Ontwakende wetenschap (1950), which was translated into English as Science Awakening (1954), Geometry and Algebra in Ancient Civilizations (1983), and A History of Algebra (1985).