Differentiable Manifolds (Modern Birkhäuser Classics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Birkhäuser Boston

作者:Lawrence Conlon

出品人:

页数:432

译者:

出版时间:2008-01-11

价格:USD 39.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780817647667

丛书系列:Modern Birkhäuser Classics

图书标签:

• 微分流形
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好的，这是一本关于拓扑几何与微分几何的权威著作的简介，旨在全面介绍该领域的核心概念与前沿理论，同时避免提及您指定的书籍名称及其内容。 --- 《拓扑学与微分几何：现代几何学的基石与展望》 内容简介 本书是一部深度聚焦于现代数学核心分支——拓扑学与微分几何的综合性教材与参考专著。它旨在为研究生、高级本科生以及希望深入研究几何学基础的数学研究人员，提供一套严谨、全面且富有洞察力的知识体系。全书结构清晰，逻辑严密，从基础概念的构建出发，逐步推向现代几何学的复杂结构与深刻应用。 全书分为三个主要部分：基础拓扑学、流形理论的建立与微分几何的核心结构。 第一部分：拓扑学的严谨基础 本部分首先奠定了现代几何学的根基——拓扑学。我们从集合论和基本逻辑出发，系统地介绍了拓扑空间的定义及其基本性质。重点讲解了开集、闭集、紧致性、连通性等核心概念，并探讨了这些概念在不同空间结构下的表现。 连续映射与同胚是本部分的关键。通过对连续函数和拓扑等价性的深入分析，读者将掌握如何从拓扑学的角度对空间进行分类和比较。我们详细阐述了度量空间的概念及其与拓扑空间的联系，并引入了完备性（如巴拿赫空间）的概念，为后续微分几何中涉及的分析工具做铺垫。 此外，本书对代数拓扑的入门概念进行了详尽的介绍，特别是基本群（Fundamental Group）的构造及其性质。通过环路和覆盖空间的概念，读者将首次领略到如何利用代数工具来区分拓扑结构上不同的空间，为理解更高阶的同调理论打下坚实的基础。 第二部分：流形理论的系统构建 第二部分是本书的核心，聚焦于微分几何的语言和对象——流形。我们将“光滑”的概念引入拓扑空间，从而定义出光滑流形（Smooth Manifolds）。 首先，我们详细讨论了坐标系、图册（Atlas）和转移函数的精确定义，这是在局部欧几里得空间上构建全局几何结构的必备工具。接下来的章节致力于向量场（Vector Fields）与张量场（Tensor Fields）的构造。我们详细解释了切空间（Tangent Space）的概念，它不仅是理解微分运算的基础，也是衡量空间弯曲程度的起点。 微分形式（Differential Forms）的引入是实现几何分析的关键一步。本书系统地介绍了 $k$ 形式，外积（Exterior Product）的定义，以及著名的外微分算子 $d$。我们深入探讨了 $d$ 算子的代数性质及其与拓扑学中代数结构之间的深刻联系，特别是德拉姆上同调（de Rham Cohomology）的构建。通过德拉姆理论，我们将拓扑学的洞察力提升到了一个全新的、可微分的层次。 第三部分：黎曼几何与曲率的探索 第三部分将理论推向微分几何的巅峰——黎曼几何。在光滑流形的基础上，我们引入了黎曼度量（Riemannian Metric），从而赋予流形以长度、角度和体积的概念。 联络（Connection）的引入是理解测地线和曲率的先决条件。本书详细区分并分析了仿射联络和黎曼联络。我们着重讲解了平行移动（Parallel Transport）的概念，这是在曲面上“移动”向量而不改变其方向的几何操作。 曲率理论是本部分的高潮。我们推导并分析了黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）的精确表达式，阐释了它如何量化流形在不同方向上的弯曲程度。本书随后探讨了几个关键的派生概念： 1. 里奇曲率（Ricci Curvature）及其在爱因斯坦场方程中的重要性。 2. 截面曲率（Sectional Curvature），它提供了对特定二维切平面上曲率的局部度量。 3. 第二基本形式及其在嵌入理论中的应用。 最后，本书探讨了测地线方程，即空间中“最直”的路径，并将其与变分原理联系起来。我们简要介绍了测地完备性的概念，以及黎曼几何在广义相对论和微分拓扑中的前沿应用。 全书特点： 深度与广度并重： 兼顾了从拓扑到黎曼几何的完整脉络，既有严格的证明，又不乏直观的几何解释。 分析与代数的融合： 强调代数拓扑与微分分析工具在现代几何研究中的协同作用。 丰富的例证： 包含大量经典的几何对象（如球面、环面、球面上的张量分析）作为实例，帮助读者掌握抽象概念。 数学严谨性： 确保所有定义和定理的表述都符合当前数学界的最高标准。 本书不仅是一本教学资料，更是一部能够引导读者进入现代几何研究前沿的智力探险指南。

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我是一个正在攻读理论物理博士的学生，我的研究方向涉及高维时空结构和量子场论。在文献阅读的过程中，“微分流形”这个概念出现的频率越来越高，我深知掌握这门工具对于深入理解现代物理理论至关重要。当我注意到《Differentiable Manifolds (Modern Birkhäuser Classics)》这本书时，我首先关注的是它是否能够提供一种严谨且系统性的学习框架。我猜测，这本书不会仅仅停留在概念的介绍，而是会深入到数学证明的细节，并清晰地阐述定理的逻辑推导过程。考虑到“Birkhäuser Classics”的定位，我预期这本书的写作风格会偏向学术化，语言精准，逻辑严密，可能包含大量的定义、引理、定理和证明。我希望这本书能帮助我理解流形上的张量分析，这是描述物理定律不可或缺的语言。例如，我期待书中能够清晰地解释张量的协变和逆变性质，以及它们在流形上的外微分运算。此外，我非常好奇书中是否会涉及到流形上的积分理论，特别是斯托克斯公式及其在物理学中的推广。对于我而言，理解这些工具的数学根基，能够更好地辨别不同理论之间的细微差别，并为我自己的研究提供更扎实的理论支撑。我希望这本书能够成为我案头的必备参考书，在我遇到理论瓶颈时，能从中找到启发和解惑的线索。

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说实话，我是一个数学系的本科生，刚刚接触到拓扑学和一些初步的代数概念。我听说微分流形是连接这些基础知识与更高级几何理论（比如黎曼几何和微分几何）的关键桥梁。因此，当我看到《Differentiable Manifolds (Modern Birkhäuser Classics)》这本书时，我的主要想法是它能否用一种相对易于理解的方式，将这个复杂的主题介绍给我。我不太确定它会从哪里开始，但我希望它能给我一个清晰的“地图”，告诉我微分流形到底是什么，以及为什么数学家们会研究它。我期待书中会有一些直观的例子，比如球面、圆环面（甜甜圈）等，来帮助我建立空间感。我也希望它能解释清楚“光滑”这个词在数学上的具体含义，以及如何在这个“光滑”的空间里进行微积分运算。我听说切线空间和向量场是微分流形的核心概念，我希望这本书能详细地解释它们，并且最好能提供一些可视化的解释，尽管我知道在抽象空间中这可能很困难。我最害怕的是看到一大堆我完全看不懂的符号和公式，而对它们背后的意义一无所知。所以，我暗自希望这本书的作者能够考虑到初学者的感受，在引入复杂概念时，能循序渐进，并且提供一些“为什么”的解释，而不仅仅是“是什么”。

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作为一个沉浸在数学世界多年的“老书虫”，我尤其钟情于那些能够展现数学思想之深邃与精巧的经典著作。当我得知《Differentiable Manifolds (Modern Birkhäuser Classics)》这本在数学界享有盛誉的著作得以重印时，我便对其充满了好奇与期待。我并非直接的数学研究者，但对数学的美学和逻辑结构有着极高的欣赏。我猜测，这本书大概率是一部关于微分流形理论的百科全书式的著作，它会以一种极其严谨和全面的方式，系统地梳理和阐述微分流形这一核心概念。我预设，书中会对流形的拓扑基础、光滑结构的定义、不同类型的流形（如李群、纤维丛等）的性质进行深入的探讨。或许，它还会涉及一些与微分几何紧密相关的概念，如联络、曲率张量，甚至可能触及到某些重要的几何定理，比如高斯-博内定理。对于我来说，阅读这样一本著作，更多的是一种智力上的探索和精神上的享受。我渴望从中领略数学家们如何将抽象的概念编织成严谨的理论体系，如何在看似混沌的几何空间中发现秩序与和谐。我期望这本书能够以其深刻的洞察力和精湛的数学语言，带给我一次令人难忘的思维旅行，让我对数学的理解上升到一个全新的高度。

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作为一个初次接触微分几何的数学爱好者，我一直被其抽象的美丽所吸引，但又常常因为概念的晦涩而望而却步。当我偶然看到这本《Differentiable Manifolds (Modern Birkhäuser Classics)》时，我感到一丝希望。这本书的出版年份和“Modern Birkhäuser Classics”的标签立刻引起了我的兴趣，这通常意味着内容经典且具有深远的学术价值。我并没有立刻翻开书页，而是花了些时间思考这本书可能涵盖的内容。微分流形，这个词本身就充满了想象空间——光滑的、弯曲的空间，可能比我们日常熟悉的欧几里得空间更加复杂和有趣。我设想着，这本书大概会从最基础的拓扑空间概念讲起，逐步引入流形的定义，比如如何用坐标卡片来“铺”满一个流形，以及这些坐标卡片之间需要满足的平滑过渡条件。我猜测，书中必然会深入探讨切空间的概念，这是理解流形上微积分的基石，也许还会介绍向量场、微分形式这些核心工具。对我而言，最吸引人的是，这些抽象的工具究竟能用来描述哪些现实世界的现象。我期待着书中能够给出一些引人入胜的应用，比如在物理学中，描述时空的几何结构，或者在计算机图形学中，处理复杂的曲面模型。我甚至大胆地设想，这本书会不会涉及一些更高级的主题，如黎曼几何，这门学科在广义相对论中扮演着至关重要的角色。总之，在真正阅读之前，我对这本书的期待是它能成为我理解微分几何这座宏伟殿堂的一把坚实的钥匙，带领我探索那些由数学家们精心构建的、超越直观认知的奇妙世界。

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我是一名资深的数学教师，多年来一直在教授微积分和线性代数等基础课程。我深知，要为学生打下坚实的数学基础，引导他们进入更高级的数学领域，一本优秀的教材是至关重要的。《Differentiable Manifolds (Modern Birkhäuser Classics)》这本书的出现，让我看到了一个为本科高年级或研究生提供深入学习微分流形知识的绝佳机会。我设想这本书在内容编排上会非常系统化，从最基本的集合论和拓扑学预备知识开始，然后逐步深入到流形的定义、微分结构、切空间、向量场、微分形式等核心内容。我尤其期待书中在“光滑结构”的引入上能够做到细致入微，解释清楚局部坐标变换的条件以及它们如何定义全局的微分结构。我也会关注书中是否包含了对流形上各种重要运算的阐述，比如外微分、楔积、李导数等，以及它们在几何和代数上的意义。对于我而言，一本好的教材不仅要有严谨的数学表述，更要能够激发学生的学习兴趣。因此，我希望能看到书中包含一些精选的、能够体现微分流形之美的例子，比如曲面的高斯曲率、向量场的积分曲线等。此外，如果书中能够提供一些练习题，并且这些题目能够覆盖从基本概念的理解到复杂问题的解决，那么它将成为我教学中不可或缺的宝贵资源。

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